概率论计算习题

概率论计算:

1.已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,作不施加抽样,求下列事件的概率。(1)两只都就是正品？(2)两只都就是次品？(3)一只就是正品,一只就是次品？(4)第二次取出的就是次品？

解:设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件,由等可能概型有:(1) 452897108)

1|2()1()21(=?==A A P A P A A P

(2) 45

191102)

1|2()1()

2,1(=?==A A P A P A A P (3) 45169

810292108)

1|2()1()1|2()1()

21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=???=+=A A P A P A A P A P A P

2.某电子设备制造厂所用的晶体管就是由三家元件厂提供的,根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中就是均匀混合的,且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只晶体管,求它就是次品的概率。(2)在仓库中随机地取一只晶体管,发现就是次品,问此次品就是一厂产品的概率？

解:设Bi(I=1,2,3)表示任取一只就是第I 厂产品的事件,A 表示任取一只就是次品的事件。

(1)由全概率公式

0125

.003

.005.001.080.002.05.0)

3|()3()2|()

2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P (2)由贝叶斯公式 24.00125.002.015.0)

()1|()1()|1(=?==A P B A P B P A B P

3.房间里有10个人,分别佩戴从1号到10叼的纪念章,任选三人记录其纪念章的号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率。

解:由等可能概型有: (1)12131025==

C C P ; (2)2013102

4==C C P

4.6件产品中有4件正品与2件次品,从中任取3件,求3件中恰为1件次品的概率。 解:设6件产品编号为1,2……6,由等可能概型

53361224==C C C P 5.设随机变量X 具有概率密度?????≤>-=0,

00,3)(x x x ke x f 。(1)确定常数k;(2)求P(X>0、1) 解:(1)由

1)(=∞-+∞?dx x f 有333303301==-+∞=-+∞-??

k k x d x e k dx x ke 所以(2) 7408.0331.0)1.0(=-+∞=>?dx x e x P

6.一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明,在任一时刻t,每个设备被使用的概率为0、1,问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率就是多少？(2)至多有3个设备被使用的概率就是多少？(3)至少有1个设备被使用的概率就是多少？

解:由题意,以X 表示任一时刻被使用的设备的台数,则X~b(5,0、1),于就是

(1)

0729.039.021.025

)2(===C X P (2)

9995.051.055

9.041.045[1)]

5()4([1)

3(1)

3()2()

1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

(3)

40951.059.001.005

1)

0(1)1(=-==-=≥C X P X P

7.设随机变量X 的概率密度为,

,0,40,8)(?????<<=其它x x x f

求)31(≤

解:2183)31(==≤

dx x x P

8.由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ=10、05,σ=0、06的正态分布,规定长度在范围10、05±0、12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。

解:由题意,所以为

0456.0)]

2(1[2)]06

.012.0()06.012.0([1)

12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P

9.设X~N(3,22)求:(1))

3(),2|(|),104(),52(>>≤<-≤

解:(1)

5328

.0)5.0()1()232()235()52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

.0)5.3()5.3()2

34()2310()104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P 6977.0)]2

32()232([1)

22(1)

2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P

5

.0)0(1)3(=Φ-=>X P

(2)由P>c=P(x ≤c),即 3,0232

1)23()2

3()23(1==-=-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以

求Y=X 的分布律。

解:Y=X 2的全部取值为0,1,4,9且P(Y=0)=P(X=0)=5

1,

P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=30

715161=+, P(Y=4)=P(X=-2)=5

1, P(Y=9)=P(X=3)=30

11故Y 的分布律为

11.设二维随机变量(x,y)具有概率密度?????>>+-=其它,00,0,

)2(2)(y x y x e x f (1)求分布函数F(x,y);

(2)求概率P(Y ≤X)

解:(1)

?????>>----=??

???>>+-=∞

-∞-=????其它其它,

00,0),1)(21(,00,0)2(20

0),(),(y x y e x e y x dx y x e x dy y dxdy y x f y x y x F (2) 31])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤????dy dx y x e y dxdy

y x f X Y P

求X 及Y 的边缘分布律。

13.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为???≤≤=其它,010,6),(x y x f ,边缘概率密度)(),(y y f x x f 。

解:

?????≤≤-=???????≤≤=∞

-+∞=??其它其它,

010),2(6,

010,62

),()(x x x x dy x x dy y x f x x f

?????≤≤-=???????≤≤=∞-+∞=??其它其它,010),(6,

010,6),()(y y y y dx y y dx y x f y y f

14.设(X,Y)的概率密度为?????<<<<--=其它,04

2,20),6(),(y x y x k y x f

(1)确定常数k;(2)求P(X<1,Y<3);(3)求边缘概率密度)(x x f 解:(1)

81,18,8)6(2

402),(===--=∞-+∞∞-+∞????k k k dy y x k dx dxdy

y x f 得由

(2)