导数及其应用基础典型题归类解析
基本题型归类
一、题型一：导数及导函数的概念题 1利用极限求导
例1．已知s=22
1gt ，求t=3秒时的瞬时速度。 练习题 求函数y=
2
4
x 的导数。 二、题型2：导数的几何意义的深刻领会导数的几何意义要深刻把握: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。
1、已知曲线上的点求此点切线斜率
例1．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )
A ．4
B ．16
C ．8
D ．2
练习题 （1）：已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－3
2
)，则过点P 的切线的倾斜角
为________． （2）：求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 2已知切线斜率求相关点坐标
例2 函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝_________.
练习题 下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π
4
的是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．(14，116)
D ．(12，1
4)
三、题型2：常见函数导数的运算及基本应用 1、对数函数求导 例1．f (x )＝log
2
x ；
练习题 1、已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．
2 f (x )＝2－x .
3已知f (x )＝x a ，则f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )
A ．4
B ．－4
C ．5
D ．－5 四 、复合函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x cos x ；
(2)y＝
x
1＋x
；
(3)y＝lg x－e x；
练习题求下列复合函数的导数：(1)f(x)＝ln(8x)；
(2)f(x)＝(x＋1)(1
x
－1)；
(3)y＝5log2(2x＋1)．
(4)y＝sin2x－cos2x.
五、求导的应用
例1、已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.19
3 B.
16
3
C.13
3 D.
10
3
练习（1）．若函数f(x)＝e x
x在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为
_____．
练习（2）若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝() A．－1 B．－2 C．2 D．0
六、导数中利用待定系数法求解析式
例1、已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.求f(x)的解析式．七、：借助导数处理单调区间、极值和最值问题
例．求下列函数的单调区间
．(1)y＝x－ln x；
(2)y＝1 2x.
例、若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝___，c＝___
练习题：若函数y＝－4
3x
3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
八用导数解复杂函数中的恒成立问题
例．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≥1
3B．a＝1 C．a
＝2 D．a≤0
练习题已知函数f(x)＝ax－a
x－2ln x(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，
求a的取值范围．
九、通过导数解决函数极值问题
例、函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．
练习题函数f(x)＝－1
3x
3＋
1
2x
2＋2x取极小值时，x的值是()
A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3
例、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝() A．2B．3 C．4 D．5
练习题（1）： 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( )
A ．a ＝－4，b ＝11
B ．a ＝－4，b ＝1或a ＝－4，b ＝11
C ．a ＝－1，b ＝5
D ．以上都不正确 练习题 （2）：若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________． 例设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．
练习题 ：已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( )
A ．有极小值
B ．有极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．无极值 通过导数解决最值问题
例、（06浙江卷）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）
(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4
练习（1）：函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________． （2）：函数y ＝x e x 的最小值为________．
例 函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10B ．－71C ．－15 D ．－22
练习(1):已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．
练习(2)．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝_______，b ＝________.
例．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .
(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 练习题 设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
九、题型5：定积分问题
1、计算定积分的值 例．（1）
?
-2
1
5)1(dx x ；
（2）
dx x x ?
+2
)sin (π
；
2、求定积分中的参数值
例 dx b ax x M 2
1
13
)(?-+-=，若使M 最小，则b a ,需为何值？
练习： 已知0)()13(1
0=++?dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ?的取值范围。 3、应用定积分处理平面区域内的面积
例求抛物线x y =2与直线032=--y x 所围成的图形的面积。
练习（1）. 求由抛物线5
2x
y =，12-=x y 所围成图形的面积。 （2）.：由抛物线342-+-=x x y 及其在点)0,3(),3,0(B A -处两切线所围成的图形的
面积。
综合练习题
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t
+?+?C ．3t +? D ．9t +?
3.已知212
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
4．曲线y ＝x 3－2x 2－4x ＋2在点(1，－3)处的切线方程是________． 5．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线斜率k 为________．
6．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为______________________ 7 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为A 3B -3C 5 D -5
8 下列求导数运算正确的是 A 2
1
1()1x x
x '+=+ B 21(log )ln 2
x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2
(cos )2sin x x x x '=- 9函数2sin x y x
=
的导数为_________________________________ 10 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是1
22
y x =+，则
(1)(1)f f '+=_________
11. 若函数2)(3-+=ax x x f 在区间(1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(3,)+∞
B ．[3,)-+∞
C ．(3,)-+∞
D ．(,3)-∞-
12.函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )
13、函数y =1 +3x
－x 3
有( )
A.极小值－1，极大值1
B.极小值－2，极大值3
C.极小值－2，极大值2D 极小值－1，极大值3 14函数y =
2
16x
x
+的极大值为A.3B.4 C. D .5 15函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为A.0 B.1 C.2 D.4 16.函数3)1(+=x y ，当x=-1时（）A ．有极大值B ．有极小值C ．既无极大值也无极小值D ．无法断定
17.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于A.6 B.0 C.5 D.1 .18若曲线2y x ax b =++在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A.a =1,b =1
B.a =-1,b =1
C.a =1,b =-1
D.a =-1,b =-1
19.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( ) 20.函数y =x cos x 在3
x π
=处的导数值是 . 21.设f (x )=x ln x ,若f ′0()2x =,则0x 等于( )
22.设0()f x =cos 10()x f x f ,=′21()()x f x f ,=′(x ),…,1()n n f x f +=′()x n ,∈N ,则
2010()f x 等于
A.sin x
B.-sin x
C.cos x
D.-cos x
23.已知2
21()x f x x
+=的导函数为f ′(x ),则f ′(i)等于(i 为虚数单位)( ) A.-1-2iB.-2-2i C.-2+2iD.2-2i
24.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 25.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.
26.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 27.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则
a =___________,
b =___________.
其中正确的命题有 （ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
28.函数234242x x x y +-=在区间[1,2]-上的最大值是 ，最小值是 ． 29.函数()(23)(2)(31)(1)f x x x x x =-+++-在x=3处的导数是 。 30已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为4
3
3, 则a=
31、函数512322
3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）
A. 5，15
B. 5，4-
C. 5，15-
D. 5，16-
31.223y x x =--+在区间[a ,2]上的最大值为154
,则a 等于( )
A.32
- B.12C.12- D.12
或32
-
32.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A.(2)-∞, B.(0,3) C.(1,4)D.(2),+∞ 33已知函数y =ax 与b y x
=-在(0),+∞上都是减函数,则函数325y ax bx =++的单调递减
区间为
34.函数32()39f x x ax x =++-,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( ) A.2B.3 C.4D.5
35若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(-2,2)B.[]22-, C.(1)-∞,- D.(1),+∞
37.函数y =sin 2x x x -,∈,22ππ??
-????的最大值是 ，最小值是 .
三、解答题
1求函数y =x 3－27x 的极值
2．已知函数y ＝13x 3＋4
3的图象为曲线C .求曲线C 在点P (2,4)处的切线方程．
3已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值以及此时f ′(x )的值．
4设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值及递增区间
5求抛物线2y x =过点P （1，0）的切线方程。
6已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线方程07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.
7已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.
8 设函数32()2f x x x x =--+．（1）求()f x 的单调区间和极值；
（2）求()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值．
9 已知函数32
()6f x ax ax b =-+在]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，求b
a ,的值．
10已知抛物线24y x =-与直线y=x+2. (1)求两曲线的交点; (2)求抛物线在交点处的切线方程.
11已知函数3()3f x x x =-, (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[-3,2]上的最值.
12、已知函数3
1431
)(3+-=x x x f （1）求)(x f 的极值（10分）
（2）若函数k y =的图像与)(x f 的图像有三个交点，求k 的取值范围 （4分）
13已知
c x bx ax x f +-+=2)(2
3在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
14设函数
R x x x x f ∈+-=,56)(3
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. 15已知函数3()16f x x x =+-. (1)求曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l 为曲线y =f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y =f (x )的某一切线与直线14
y x =-+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
16.已知函数f (x )3232
ax x =-+1(x ∈R ),其中a >0.
(1)若a =1,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程; (2)若在区间11[]22
-,上,f (x )>0恒成立,求a 的取值范围.
.17设函数32()91(f x x ax x a =+--<0),若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线12x +y =6平行,求:
(1)a 的值; (2)函数f (x )的单调区间. 18.设a 为实数,函数f (x )=e x -22x a x +,∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值;
(2)求证:当a >ln2-1且x >0时,e 221x x ax >-+.