命题逻辑一、选择题(每题 3 分)
1、下列句子中哪个是命题( C )
A、你的离散数学考试通过了吗B
C 、是有理数 D
2、下列句子中哪个不是命题
( C )
A 、你通过了离散数学考试
B
C
、
我说的是真话 D
3、下列联接词运算不可交换的是( C )
A、 B 、C
4、命题公式P Q 不能表述为( B ) A、P 或Q B 、非P每当Q
、请系好安全带！
、本命题是假的
、我俩五百年前是一家
、淮海工学院是一座工厂
、 D 、
C 、非P 仅当Q
D 、除非P ，否则Q
5、永真式的否定是( B )
A、永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、以上答案均有可能
6、下列哪组赋值使命题公式P (P Q) 的真值为假( D )
7、下列为命题公式P (Q R)成假指派的是( B )
A
、100 B 、101 C 、110 D 、111
8、下列公式中为永真式的是( C )
A
、P (P Q) B 、P (P Q) C、(P Q) Q D 、(P Q) Q
9、
下列公式中为非永真式的
是( B )
A
、(P P) Q B、(P P) Q C、P (P Q) D、P ( P Q) 10
、下列表达式错误的是( D )
A
、P (P Q) P B 、P (P Q) P
C
、P ( P Q) P Q D 、P (P Q) PQ
11
、下列表达式正确的是( D )
A 、P P Q
B 、P QP
C 、Q (P Q)
D 、(P Q) Q
A、P假Q真 B 、P假Q假C 、P真Q真D P真Q假
12、下列四个命题中真值为真的命题为( B )
1) 2 2 4当且仅当3 是奇数2) 2 2 4当且仅当3不是奇数；
3） 2 2 4 当且仅当 3是奇数 4） 2 2 4 当且仅当 3不是奇数
与（ 2） B 、（ 1）与（ 4） C 、（2）与（ 4） D 、（3）与（ 4）
P ：龙凤呈祥是成语， Q ：雪是黑的， R ：太阳从东方升起，则下列假命题为
在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是
在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（
、填充题（每题 4 分）
1、设 P ：你努力， Q ：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为 P
2、设 P ：它占据空间， Q ：它有质量， R ：它不断运动， S ：它叫做物质， 则 “占据
空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为 S P Q R .
3、一个命题含有 n 个原子命题，则对其所有可能赋值有 2n 种 .
4、
推理规则 A ( A
B) B 的名称为假言推理 .
5、 推理规则
B ( A
B)
A 的名称为拒取式 .
A 、（1）
13、设
A 、 P Q R
B 、Q P S
C 、
14、设 P ：我累， Q ：我去打球， 则命题： 除非我累，否则我去打球”的符号化为（ A 、 P
、P PQ D
15、设 P ：我听课， Q ：我睡觉， 则命题 我不能一边听课，一边睡觉” 的符号化为
A 、 P
、P PQ D
提示： (P Q) PQ
16、设 P ：停机； Q ：语法错误； R ：程序错误，
则命题
停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（
A 、 P
Q R B 、 P Q R C 、 Q R 、Q
RP
17、设 P ：你来了； Q ：他唱歌； R ：你伴奏
则命题
如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ）
A 、
(Q R) B 、 P (Q R) C 、 P (R
Q) D 、 P (Q R)
18、
A 、 存在并且唯一
B 、存在但不唯一
C 、 不存在 不能够确定 19、 A 、 存在并且唯一 B 、存在但不唯一
C 、 不存在
不能够确定
20、 n 个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ A 、
、 2n
n 2 2n
21、 n 个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ A 、
、 2n
n 2 2n
Q .
6
、推理规则 A ( A B) B 的名称为析取三段论.
7
、推理规则(A B) (B C ) A C 的名称为前提三段论
8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.
9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1.
10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0.
n
11、n个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n.
n
12、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22.
三、问答题(每题 6 分)
1、设A、B是任意命题公式，请问A B, A B分别表示什么其有何关系答：A B表示A 蕴含B，A B表示A永真蕴含B；其关系表现为：若A B 为永真式，则有A B .
2、设A、B是任意命题公式，请问A B, A B分别表示什么其有何关系答：A B表示A 等值于B，A B表示A与B逻辑等价；
其关系表现为：若A B 为永真式，则有 A B.
3、设A、B、C是任意命题公式，若A C B C ，则A B 成立吗为什么
答：不一定有A B ；
若A为真，B 为假，C 为真，则A C B C 成立，但A B 不成立.
4、设A、B、C是任意命题公式，若A C B C ，则A B 成立吗为什么
答：不一定有A B ；
若A为真，B 为假，C 为假，则A C B C 成立，但A B 不成立.
5、设A、B 是任意命题公式，A (A B) B 一定为真吗为什么答：一定为真；因A (A B) B
A ( A B)
B (A A) ( A B) B
F ( A B) B A B B T . (用真值表也可证明)
6、设A、B 是任意命题公式，(A B) (A B) A一定为真吗为什么
答：一定为真；因(A B) ( A B) ( A B) ( A B) A (B B)
AF A . (用真值表也可证明)
四、填表计算题(每题 10 分) 1、对命题公式 A (p q) ( p (1)用 0 或1填补其真值表的
空格处； 解：
pq 00 01 10 11
主析取范式 A (2) ；主合取范式 A 2、对命题公式 A ( p q) r ，要求
(1)用 0 或1填补其真值表的空格处； (2)求该命题公式的主析取范式与主合取范式 解：
p
q
r
p
q
A
0 0 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 1
1
0 0 0 1
1
0 1 0 0
1
1 0 1 0
1
1
1
1
1
主析取范式 A (1,3,4,7) ；主合取范式 A
(0,2,5,6)
3、对命题公式 A (p q) (p r) ，要求
pq ( p q) pq A
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1
1
q) ，要求
2)求该命题公式的主析取范式与主合取范
式
1 0 1 0
(0,1,3) .
主析取范式 A (2,3,5,7) ；主合取范式 A (0,1,4,6)
1)用 0 或1填补其真值表的空格处； (2)求该命题公式的主析取范式与主合取范式
解：
4、对命题公式 A ( p q) ( p
r ) ，要求
1)用 0 或1填补其真值表的空格处； (2)求该命题公式的主析取范式与主合取范
式 主析取范式 A
pq r
p q p r A
000 001 010 011 100 101 110 111
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1
(5,6,7) ；主合取范式 A
(0,1,2,3,4)
解：
5、对命题公式 A （ p q ） r ，要求
（1）用 0 或1填补其真值表的空格处； （2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式 解：
主析取范式 A （1,3,5,6,7） ；主合取范式 A （0,2,4）
五、证明题（每题 10 分）
R (Q P) R
Q P
右. （用真值表也可证
明）
3、证明下列逻辑恒等式：
P
Q PQ P Q .
证明：左 P Q
P Q
P Q
PQ
PQ
P
Q
PP
P Q Q P Q Q
PQ
P
Q
PQ
PQ 右 . （用真值表也可证
明）
4、用逻辑推理规则证明： (a b)
c
， d ，
cd
a b .
(P R) Q P R
Q 右. （用真值表也可证明）
2、证明下列逻辑恒等式：
P Q R R Q P
证明：左 （ P Q ）
R
P QR
证明 左 ( P Q) ( R Q) (P
R) Q
1、证明下列逻辑恒等式： (P Q) (R Q) (P R) Q .
证明:(1) c d P
(2) d P
(3) c T (1),(2) ( 析取三段论)
(4) (a b) c P
拒取式)
(5) (a b) T (3) ，(4) (
(6) a b T (5) ( 德. 摩根律) .
5、用逻辑推理规则证
明：p q , p s, s r r q .
证明: (1)
p s P
(2) s r P
前提三段论)
(3) p r T (1),(2) (
(4) r p T (3) ( 逆反律)
(5) pq P
(6) p q T (5) ( 蕴含表达式)
(7) r q T (4) ，(6) ( 前提三段论) .
6、用逻辑推理规则证
明：p q ，p r，q r ，r ，s p s.
证明: (1) r P
(2) q r P
(3) q T (1),(2) ( 析取三段论)
(4) p q P
拒取式)
(5)
p T (3) ，(4) (
(6) s p P
(7) s T (5) ，(6) ( 析取三段论) .
7、用逻辑推理规则证
明：(p q) (r s) ，(q p) r ，r p q 证明: (1) r P
(2) (q p) r P
析取三段论)
(3) q p T (1),(2) (
(4) r s T (1) ( 加法式)
(5)(p q) (r s)
(6) p q
(7) (p q) (q p)
(8) p q
8、用逻辑推理规则证明：s p ,证明: (1) s
(2) s p
(3) p
(4) p r q
(5) r q
(6) q
(7) s q
9、用逻辑推理规则证明：(p q)证明：(1) p q
(2) p
(3) p q
(4) (p q) r
(5) r
(6) (p q) r (p q)
10、用逻辑推理规则证明：p q,证明：( 1) p
(2) p q
(3) q
( 4) q r
(5) r
(6) r s
(7) s
(8) p s
T(4) ，(5) ( 拒取式) T
(3) ，(6) ( 合取式) T (7)
( 等值表达式) .
p r q, r s q.
P
P
T (1),(2) ( 析取三段论)
P
T (3) ，(4) ( 假言推理)
T (5) (简化式)
CP.
r (p q) r
P ( 附加前提)
T (1) (简化式)
T (2) (加法式)
P
T (3),(4) (假言推理)
r CP.
q r,r s p s.
P ( 附加前提)
P
T (1) ，(2) ( 析取三段论)
P
T (3) ，(4) ( 析取三段论) P
T (5) ，(6) (假言推理) CP.
11、用逻辑推理规则证明： (p q) (r s)， (r s) t p t .
证明：(
1) p
P ( 附加前提)
(2)
p
q
T (1) (加法式)
(3)
(p q) (r
s)
P
(4)
r
s
T (2) ， (3) (假言推理) (5)
r
T (4) (简化式)
(6)
r
s
T (5) (加法式)
(7)
(r s)
t
P
(8)
t
T (6) ， (7) (假言推理)
(9)
p
t
CP .
12、用逻辑推理规则证
明： (t
w) s, q s,t s q t
证
明：( 1)
q
P ( 附加前提 )
(2)
qs
P
(3)
s
T (1) ， (2) ( 析取三段论 )
(4)
(t
w)
s
P
(5)
(t
w) T (3) ，(4) ( 拒取式 )
(6)
(
t
w)
T (5) ( 蕴含表达式 )
(7)
t w
T (6) ( 德.摩根律 ) (8)
t
T (7) ( 简化式 )
(9)
q
t
CP .
证明：(1)
b
P ( 附加前提 ) (2) b (a s)
P
(3) as T (1) ， (2) (假言推理) (4) a
T (3) ( 简化式 ) (5) a b c P
(6) bc
T (4) ， (5) (假言推理) (7)
c
T (6) ( 简化式 )
13、用逻辑推理规则证明： a b c ， (e
f ) c ， b (a s) b
e .
(8) (e f) c P
(8) ( 拒取式)
(9) (e f) T (7) ，
(10) (e f) T (9) ( 蕴含表达式)
德. 摩根律)
(11) ef T (10) (
(12) e T (11) ( 简化式)
(13) b e CP.
14、用逻辑推理规则证明：p q ，p q q.
证明：(1)
q P( 附加前提)
(2) p q P
拒取式)
(3) p T (1),(2) (
(4) p q P
(5) q T (3),(4) ( 假言推理)
(6) q q T (1),(5) ( 合取式)
由( 6)得出矛盾式，故原命题有效
15、用逻辑推理规则证明：p q ，(p q) (t s)
证明:(1)(t s) P ( 附加前提)
(2) (p q) (t s) P
(3) (p q) T (1),(2) ( 拒取式)
(4) (( p q) (p q)) T (3) (等值与蕴含表达式)
(5) (p q) ( p q) T(4) ( 德.摩根律)
(6) (p q) (p q) T (5) ( 结合律或范式等价
(7) p q T (7) ( 简化式)
(8) (p q) T (4) ( 德.摩根律)
(9) pq P
(10) (p q) (p q) T (9),(10) ( 合取式)
由( 10)得出矛盾式，故原命题有效
16、用逻辑推理规则证明：p q，p r ，(q r )不能同时为真.
证明：(1)
pr
(2) p
T (1) ( 简化式 )
(3) pq
P
(4) q
T (2),(3) ( 假言推理 ) (5) (q r)
P
(6) qr
T (5) ( 德 . 摩根律 ) (7) q
T (6) ( 简化式 ) (8)
T (4),(7) ( 合取式 )
由
( 8)得出矛盾式，
故原命题有效 .
17、证明下列命题推得的结论有效： 或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容
易学，那么逻辑并不难学 . 因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学 . 证明：设 p ：逻辑难学； q ：有少数学生不喜欢逻辑学； r ：数学容易学 .
该推理就是要证明： p q, r p q r .
(1) pq P
(2) pq T (1) ( 蕴含表达式 ) (3) rp P
(4) rq T (2),(3) ( 前提三段论 ) (5)
qr
T (4) ( 逆反律 ) .
18、证明下列命题推得的结论有效： 如果今天是星期三， 那么我有一次离散数学或数字逻辑
测验； 如果离散数学课老师有事， 那么没有离散数学测验； 今天是星期三且离散数学老师有 事. 所以，我有一次数字逻辑测验 . 证明：设 p ：
今天是星期三； q ：我有一次离散数学测验；
r ：
我有一次数字逻辑测验； s ：离散数学课老师有事 .
该推理就
是要证明： p
(q r ), s
q , p s r .
(1) ps
P
(2) p
T (1) ( 简化式 )
(3) s
T (1) ( 简化式 ) (4)
sq
P
(5)
q
T (3) ， (4) (假言推理)
(6) p (q r)
P
(7)
qr
T
(2)
，(6)
（假言推理）
(8)
r T (5) ，(7) ( 析取三段
论 ）
19、证明下列命题推得的结论有效： 如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是 飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑 . 所以，羊不吃草。
证明：设 p ：马会飞； q ：羊吃草； r ：母鸡是飞鸟； s ：烤熟的鸭子还会跑 该推理就是要证明：
(p q)
r, r s , s
q .
(1)
s
P
(2)
r
s P
(3)
r
T (1) ， (2) ( 拒取式 )
(4)
(p q) r
P
(5)
(p q)
T (3) ，（4） （ 拒取式 ）
(6)
p
q
T (5) (
德. 摩根律 ）
(7)
q
T (6) ( 简化式 ） .
20、证明下列命题推得的结论有效：若
A 队第一，则
B 队或
C 队获亚军；若 C 队获亚
军，
则 A 队不能获冠军；若 D 队亚军，则 B 队不能获亚军； A 队获第一 .所以， D 队不是亚军 证明、设 a ： A 队得第一； b ：B 队获亚军； c ： C 队获亚军； d ：D 队获亚军 .
该推理就是要证明： a
(b c), c
a , d
b,a d
（1） a
P
（2） a
(b c)
P
（3） b c T （ 1），（2）（ 假言推
理 ）
（4） c
a P
（5）
c
T （1），
（4）
（ 拒取式 ） （6） b
T （ 3），（ 5） （ 析取三段论 ）
（7） d b
P
（8）
d
T （6），（7）
（拒取式 ） .