第12讲 随机变量的数字特征习题课
教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。
教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数
学期望和方差。
教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程：
一、知识要点回顾
1. 随机变量X 的数学期望()E X
对离散随机变量 ()()i i i
E X x p x =∑
若1,2,i =L ，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞-∞
=?
假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。
2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。
对离散随机变量 [()]()()i i i
E g X g x p x =∑
对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞
-∞
=?
假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元
实函数。
对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i
j
E g X Y g x y p x y =∑∑
对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
=?
?
假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）
(), ()E c c c =为常数 ()(), ()E cX cE X c =为常数
()(), (,)E aX b aE X b a b +=+为常数
()()()E X Y E X E Y +=+ 1
1
()()n
n
i i i i i i E c X c E X ===∑∑
若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =。
若12,,,n X X X L 相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X =L L 。
5. 随机变量X 的方差222(){[()]}()[()]D X E X E X E X E X =-=-，这里假定
2(),()E X E X 都存在。
6. 方差的性质
()0, ()D c c =为常数 2()(), ()D cX c D X c =为常数 2()(), (,)D aX b a D X a b +=为常数
若,X Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y +=+。
若12,,,n X X X L 相互独立，12,,,n c c c L 为常数，则21
1
()()n
n
i i i i i i D c X c D X ===∑∑。
7. 随机变量X 的k 阶原点矩 ()()k k X E X ν=
随机变量X 的k 阶中心矩 (){[()]}k k X E X E X μ=- 易知，112()(),()0,()()X E X X X D X νμμ=≡=。
8. 随机变量X 与Y 的协方差
cov(,){[()][()]}()()()X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- 22()()()2cov(,), (,)D aX bY a D X b D Y ab X Y a b +=++为常数
cov(,)cov(,)X Y Y X =
cov(,)cov(,), (,)aX bY ab X Y a b =为常数
cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z +=+
若cov(,)0X Y =，则称X 与Y 不相关。若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 一定不相关，反之不成立。
9. 随机变量X 与Y 的相关系数(,)
R X Y =
|(,)|1R X Y ≤
|(,)|1Y a bX R X Y =+?=
10. 切比雪夫不等式：若随机变量X 的数学期望()E X 与方差()D X 存在，则对任意正 数ε有
2
()
()D X P X E X εε?-≥?≤?? 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。
二 、典型例题解析
1.已知随机变量X 的概率分布为
求2(46)E X +。
分析 由要点2，令2()46g X X =+，代入公式即可。 解
3
2
21(46)(46) 220.360.4100.312
i i
i E X x p =+=+=?+?+?=∑
注 计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。 通常用后一种方法较简便。
2.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度01,01
(,)0x y x y f x y +≤≤≤≤?=??其它，
求(),(),(),(),(),cov(,),(,)E X E Y D X D Y E XY X Y R X Y 。
分析 题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。 解
11
1
0()(,)()17
()212
E X xf x y dxdy xdx x y dy
x x dx +∞+∞
-∞-∞
==+=+=
?
?
???
又
11
2220
1
2
0()(,)()15
()212
E X x f x y dxdy x dx x y dy
x x dx +∞+∞
-∞
-∞
==+=+=
?
?
???
所以
2
2
2
5711
()()[()]1212144
D X
E X E X ??=-=-=
??? 按对称性有
711
(),()12144
E Y D Y =
=
1
1
1
0()(,)()11
()233
E XY xyf x y dxdy xdx y x y dy
x x dx +∞+∞
-∞-∞
==+=+=
?
?
???
1771
cov(,)()()()31212144
X Y E XY E X E Y =-=-?=-
11(,)14411
R X Y =-
=-?? 注 二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以 要点3所列公式应会灵活应用。
3.填空
(1) 已知()4,()1,(,)0.6D X D Y R X Y ===，则(32)D X Y -=____________。
(2) 随机变量,X Y 相互独立，又1
(2),(8,)4X P Y B ::，则(2)E X Y -=____________，
(2)D X Y -=____________。
(3) 设,X Y 独立且同分布
01
1233
X
p
，则(,)E X Y =____________。 (4) 随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计
{}()2P X E X -<≥____________。
分析 在要点8中取3,2a b ==-代入公式解答(1)；由已知公式得()2E X =，
()2D X =1()824E Y =?=，133
()8442
D Y =??=，
在利用方差性质解答(2)；对于(3)，可求出随机变量Z XY =的概率分布再求()E XY ，或由,X Y 都服从“0-1”分布得，再代相应公式；对于(4)，用2,()2D X ε==带入切比雪夫不等式。 解
(1)
(32)9()4()12(, 9441120.62125.6
D X Y D X D Y R X Y -=+-=?+?-???=
(2) (2)()2()2222E X Y E X E Y -=-=-?=- 3(2)()4()2482
D X Y D X D Y -=+=+?
= (3) 解一
01
549
9
XY
p
，54
()0199
E XY ∴=?+?
解二 224
()()()339E XY E X E Y ==?=
(4) 22()21
{|()|2}1122
D X P X
E X ε-<≥-=-=
注 填空主要用于复习概念，熟悉各种计算公式，通常计算量较小。
4.一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，求数学期望()E X 和方差()D X 。
分析 先引入新随机变量1,i i=1230,i i X ?=??
第个部件需要调整
（，，）
第个部件无需调整，则3
1i i X X ==∑,i X 相互独立，利用3
1
()()i i E X E X ==∑，3
1
()()i i D X D X ==∑完成计算。
解 由i X 服从“0-1”分布，()i i E X p =，()(1)i i i D X p p =-，1,2,3i =，得
1()0.1E X =,1()0.09D X =,2()0.2E X =,2()0.16D X =,3()0.3E X =,3()0.21D X =
故()0.10.20.30.6E X =++=，()0.090.160.210.46D X =++=。
注 利用性质来计算数学期望和方差往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。
5.甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。
分析 X 可能取值为4,5,6,7，按古典概型计算X 取各值的概率得到X 的概率分布，由此算出)(X E 。
解
1552.04.06.0}4{ 44=+==X P
141
444{5}0.60.40.60.40.2688
P X C C ==??+??= 24222455{6}0.60.40.60.40.2995
P X C C ==??+??=
34333466{7}0.60.40.60.40.2765
P X C C ==??+??=
()40.155250.268860.299570.2765 5.7E X ∴=?+?+?+?=
注 对应用题而言，大量计算是计算概率，这就要求掌握好以前所学过的各种计算概率的方法。
6.设随机变量X 服从Γ分布，其概率密度1,0()()00x
x e x f x x ααββα--?>?
=Γ??≤?
，其中
0,0αβ>>是常数，求(),()E X D X 。
分析 按定义求()E X ，又22()()[()]D X E X E X =-，计算中涉及Γ函数，
10
(),(0),(1)()s x s x e dx s ααα+∞--Γ=>Γ+=Γ?
。
解 0
()()
x
E X x e dx ααββα+∞
-=Γ?
1110()() ()()x
x e d x t x ααβα
βββββα-+∞+--==Γ?令 (1)()()()ααααβαβαβ
Γ+Γ=
==ΓΓ
又 2
10
()()
x
E X x e dx ααββα+∞
+-=Γ?
1211
0()() ()()
x
x e d x t x ααβαβββββα-+∞+--+==Γ?令 222
(2)(1)()(1)()()ααααααβαβαβΓ++Γ+===ΓΓ
故
22
2(1)()D X ααααβββ
+=-= 注 Γ分布也是一种常用分布，例如指数分布是1
1,αβλ
==
的Γ分布，统计中很
有用的2χ分布是1
,22
k αβ==的Γ分布。
7. 设(,)X Y 在区域{}(,)|0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布，求()E X ，
(32)E X Y -，()E XY 。
分析 设区域D 的面积为A ，则(,)X Y 在D 上服从均匀分布时，联合概率密度
1
,(,)(,)0,(,)x y D
f x y A x y D
?∈?=????，本题中12A =，所以2,(,)(,)0,x y D f x y ∈?=??其它，接着按要点
3计算。
解 1
11
00
1
()22(1)3
x E X dx xdy x x dx -==-=
??
? 1112000
1(32)2(32)(2108)3
x
E X Y dx x y dy x x dx --=-=-+-=??
? 111
230
01()2(2)12
x
E XY dx xydy x x x dx -==-+=
??
? 注 二维随机变量服从均匀分布也是常见的情形。可以自然的推广到n 维随机变量服从均匀分布，其联合概率密度写法是类似的。
8.计算下列各题
(1) 设X 与Y 相互独立，()()0,()()1E X E Y D X D Y ====，求2[()]E X Y +. (2) 设X 与Y 相互独立，其数学期望与方差均为已知值，求()D XY
分析 根据要点4,5,6中相关公式计算。
解 (1) 22222[()](2)()2()()E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++ [][]2
2
()()2()()()()D X E X E X E Y D Y E Y =++++ 100102=++++=
(2) [][]2
2
222()()()()()()D XY E XY E XY E X Y E X E Y ??=-=-??
[][]22
22()()()()E X E Y E X E Y =- []
{
}[]{
}
[][]2
2
22
()()()()()()D X E X D Y E Y E X E Y =++-
[][]2
2
()()()()()()D X D Y E Y D X E X D Y =++
注 由已知值导出未知值，通常要熟练掌握相关公式。使用公式应注意其成立条件，其中独立性这一条件是很重要的。关于独立性，有以下重要结论：设X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，
则()g x 与()h y 相互独立。本题用到，X 与Y 相互独立时，2X 与2Y 也相互独立，这里，2()g x x =，2()h y y =。
9. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度221,1
(,)0,
x y f x y ?+≤=??其它，试问：(1) X 与
Y 是否相互独立？(2) 是否相关？
分析 根据(,)()()X Y f x y f x f y =是否成立回答(1)；根据cov(,)0X Y =是否成立回答(2)。
解 (1) ,X Y 的边际概率密度分别为
1()(,)0,X x f x f x y dy +∞
-∞
?=≤?==????
其它，
1()(,)0,Y y f y f x y dy +∞
-∞
?=
≤?==???
?
其它
，
由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 与Y 不相互独立。
(2) 1
()()0X E X xf x dx +∞-∞
-===??
， （利用奇函数性质）
，
1
()()0Y E Y yf y dy +∞
-∞
-===?
?
，
221
1
()(,)x y E XY xyf x y dxdy xydxdy π
+∞
+∞
-∞
-∞
+≤==
??
??
21
21
230
1
1
cos sin sin 202d r rdr d r dr π
π
θθθθθπ
π
=
=
=?
??
?g
所以cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，X 与Y 不相关。
三、 总结
随机变量的分布函数完整的描述随机变量的统计特征，但在实际中要找出随机变量的分布函数，或概率分布、概率密度，有时是十分困难的。而许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征数字就可以了。这说明掌握特征数字、即数学期望、方差等等的概念、计算及相关计算是十分重要的。
学习随机变量的数字特征，要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念；了解切比雪夫不等式与大数定律。