一、等差数列的前n 项和公式
()()
112212
12
()22n n n n a a S n n na d
d d n a n S An Bn +=
-=+?
?=+-=+ ??
?类似于
二、
（1）对于项数为()2k k N +∈的等差数列，有
()2111
=-k k k k k k k S k a a S ka S ka S S kd S a S a +++=+===奇偶奇偶奇偶
（2)对于项数为()21k k N +-∈的等差数列，有
()()21211-1
k k k k k S k a S ka S k a S S a a S k
S k -=-==-===
-奇偶奇中偶奇偶
例：已知等差数列的前n 项和为377，项数n 为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为7:6，求中项。
解：设()21n k k N +=-∈，则中项为k a ，
()21213777
16n k k S S k a S k S k -==-===-奇偶
解得137377
7,291313
S k a ====， 即中项为29
三、等差数列的前n 项和的最值
公差0d > ? {}n a 为递增等差数列，n S 有最小值。 公差0d < ? {}n a 为递减等差数列，n S 有最大值。 公差0d = ? {}n a 为常数列。
特别地，当10,0a d ><时，n S 有最大值（所有非负项之和） 当10,0a d <>时， n S 有最小值（所有非正项之和）。
例：在等差数列中，已知，前n 项和为，且，求当n 取何值时，取最大值，并求此最大值。
{}n a {}n a 120a =n S 1015S S =n S
解法一：根据题意可得
1091514
1020152022
3
5
d d d ???+
=?+=-
得
可求565
33
n a n =-+
所以130a =，
即当12n ≤时，0n a >； 当14n ≥时，0n a <。
所以当1213n =或时，n S 有最大值， 且最大值为1213130S S ==
解法二：根据题意，()20n S An Bn A =+≠，如图所示
由
，得当1213n =或时，n S 取最大值，
125
20,22
B a A B A =+=-
=， 得25125
66n S n n =-+，
可求得12130S =
1015
S S =
解法三、由
知11121314150a a a a a ++++=，即1350a =，
得130a =，5
3
d =-，故当1213n =或时，n S 取最大值，
最大值为()
1131213131302
a a S S +===
求等差数列前n 项和n S 的最值常用方法：利用等差数列单调性或性质求出正负转折项；或根据二次函数图像的性质求最值。
四、等差数列的性质
等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则：
（1）等长度截取，232,,,k k k k k S S S S S --L 成等差数列公差为2k d （2）算术平均值，312,,,123S S S L 为等差数列，公差为2
d
若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和为n S 与n T ，则21
21
m m m m a S b T --=
例 设是等差数列的前n 项和，若
，则_____。 解：因为4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，设48,3S m S m ==则
8412816122,3,4S S m S S m S S m -=-=-=，则1610S m =，所以
816310
S S =。
1015
S S =n S {}n a 481
3S S =816
S S =
解
已知两个等差数列和前n 项和分别为和，且
，则使得
为整数的正整数n 的个数是_____ 解：
()()()()2121
212172145
213
71911271
n
n n n
n n n a a b n b A B n n n n n ---=
-=-+=-++=
+=+
+
所以12,3,4,6,12n +=即1,2,3,5,,11n =共5个数。
{}n a {}n b n A n B 7453
n n A n B n +=+n
n
a b
五、等差数列{}n a 各项取绝对值后组成的数列{}n a 的前n 项和
例：已知数列的通项()112n a n n N +=-∈，求数列{}n a 的前n 项和。 解：由1120n a n =-≥得 5.5n ≤， 即当5n ≤时，112n a n =-， 当6n ≥时，211n a n =-，
所以当5n ≤时，21210n n T a a a n n =+++=-L
当6n ≥时，
()()1256712125221050
n n
n T a a a a a a a a a a a a n n =+++----=-+++++++=-+L L L L 故数列{}n a 的前n 项和()()2
2105,10506,n n n n n N T n n n n N ++?-≤∈?=?-+≥∈??
含绝对值的数列求前n 项和注意分类讨论。
{}n a n T