P
H G
F
D 甲
乙
丙 丁
平谷区2011～2012学年度第二学期初三第二次统一练习 数 学 试 卷 2012．6
考生须知
1．试卷分为试题和答题卡两部分，共12页，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答。 2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚。 3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B 铅笔。
4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。请保持卡面清洁，不要折叠。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．4的平方根是
A ．16
B ．4
C ．±2
D ．2 2．近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温．据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为203 000人，把203 000用科学记数法表示为
A ．420.310?
B ．52.0310?
C ．42.0310?
D ．32.0310? 3．如图，□ABCD 的一个外角∠DC
E =70°, 则∠A 的度数是 A ．110° B ．70° C ．60° D ．120° 4．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四 个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指 在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）， 则指针指在甲区域内的概率是
A ．1
B ．12
C ．13
D ．14
5．正八边形的每个内角为
A ．120°
B ．135°
C ．140°
D ．144°
6．右图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么关于该班40名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误．．
的是 A ．极差是3 B ．众数是8
C ．中位数为8
D ．锻炼时间超过8小时的有21人
7．下列等式成立的是 A ．
1
1112+=
--x x x B ．()()2
233--=-a a C ．()c b a c b a +-=+- D ． 2
2
))((b a a b b a -=-+ 8．如图是一个长方体，AB =3，BC =5，AF =6，要在长方体上系一根绳子连结AG ，绳子与DE 交于点P ，当所用绳子的长最短时，AP 的长为 A ．10 B 34 C ．8 D ．
254
A
D
E
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y =
中，自变量x 的取值范围是_____________．
10．分解因式：2242a a -+= __________ ．
11．如图，在⊙O 中，直径AB =6，∠CAB =40°，则阴影部分的面积是 ． 12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 是
AC 上一点，点E 是CB 延长线上一点，且AD =BE ，连结 DE 交AB 于点F ．
（1）若AC =6，AD =4，则BEF ADF S S ??-= ； （2）若AD =3，AC >3，则BEF ADF S S ??-= ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．()1
31360cos 23-??
? ??--+?--π
14．用配方法解方程：0242=--x x
15．先化简，再求值：24
2
2
x x x +--，其中2x =．
16．如图，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥ED 于D ，∠ACB =90°，AC =BC ． 求证：AD =CE ．
17．已知：正比例函数111(0)y k x k =≠和反比例函数2
22(0)k y
k x
=≠的图象 都经过点A （）.
（1） 求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；
（2） 设点P 是反比例函数图象上的点，且点P 到x 轴和正比例函数图象的距离相等，求
点P 的坐标.
18．列方程（组）解应用题：
夏季里某一天，离供电局30千米远的郊区发生供电故障，抢修队接到通知后，立即前去抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1．5倍，求这两种车的速度．
A
四、解答题（本题共20分，第小题5分）
19．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°， AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．
20．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是⌒
AD 的中点， 连结BE 交AC 于点G ，BG 的垂直平分线CF 交BG 于 H 交AB 于F 点.
（1） 求证：BC 是⊙O 的切线； （2） 若AB =8，BC =6，求BE 的长.
21．某校对中考前一次数学模拟考试进行抽样分析，把样本成绩按分数段分成
A B C D E 、、、、五组（每组成绩含最低分，不含最高分）进行统计，并将结果绘制成下
面两幅统计图.请根据图中信息，解答下列问题： （1）求A 组人数在扇形图中所占圆心角的度数； （2）求D 组人数；
（3）判断考试成绩的中位数落在哪个组？（直接写出结果，不需要说明理由）
22. 在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角 形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形 的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图， 请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图， 并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小
（含小明的设计方案示意图）. 图（1）
分数段
B A
D E 12% 22%
30%
26%
C
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知抛物线2
2y x mx m =-+-．
（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2）若m 是整数，抛物线2
2y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．
24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．
（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证
明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE
分别交AG 、AD 于P 、H ．
① 求证：AG ⊥CE
② 如果AD =4，DG CE 的长．
25．如图，抛物线42
++=bx ax y ()0≠a 与x 轴交于点A (－2，0)和B (4，0)、与y 轴交
于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是 以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标； (3)点M 、Q 分别从点A 、B 以每秒1个单位 长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M
到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒 3
2
个单位
长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物 线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线 l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时 间t (秒)与△APQ 的面积S 的函数关系式．
A B C D E F G 图2 A B C D E F
G 图1
A
图3
平谷区2011～2012学年度第二学期初三第一次统一练习 数学试卷参考答案及评分参考 2012.6
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
13．解：()1
31330cos 23-??
?
??--+?--π
=312
3
23-+?
- ……………………………………………………………………….4分 =2-……………………………………………………………………………………………5分 14．解：0242=--x x
242=-x x …………………………………………………………………….1 分 42442+=+-x x ………………………………………………………………. 2分
6)2(2=-x ….. …………………………………………………………………3分 62±=-x ….. …………………………………………………………………4分
∴621+
=x ，622-=x ………………………………………………………5分
15．解：原式x
x x ---=24
22….. ……………………………………………………………1分 x
x --=242 ….. …………………………………………………………………2分 (2)(2)
2x x x
+-=
- ….. …………………………………………………………3分
(2)x =-+….. …………………………………………………………………4分
当2x =时，原式22)=-+=5分
16．证明：∵ BE ⊥CE ，AD ⊥ED ，
∴ ∠E =∠D =90°. ….. …………………1分 ∵ ∠ACB =90°，
∴ ∠BCE +∠ACD =90°. ∵ ∠B+∠BCE =90°，
∴ ∠B =∠ACD . . ……………………………2分 在BEC △和CDA △中，
E D B ACD BC AC
∠=∠??
∠=∠??=?
∴ △BCE ≌△CAD ．…………………………………………………………………………4分 ∴ AD =CE . …………………………………………………………………………………5分 17．解：(1) 因为111(0)y k x k =≠和2
22(0)k y k x
=
≠的 图象都经过点A （13，）.所以 123,3k k ==. 所以 123
3y x y x
==
，. ........................................2分 (2) 依题意（如图所示），可知，点P 在∠AOx 的平分线上. 作PB ⊥x 轴，由A （13，）可求得∠AOB=60°， 所以 ∠POB=30°. 设(,)P x y ，可得
3
tan 303
y x =?=. 所以 直线'PP 的解析式为 3
3
y x =
.....................................................................................3分 把3y x =
代入3y =，解得3x =±. 所以 (3,1)'(3,1)P P --和.（'P 点的坐标也可由双曲线的对称性得到）.....................5分 18．解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时．………………1分
根据题意，得
303015
.1.560
x x =+ ……………………….………………………….2分 解这个方程，得 40.x = ….. ………………………………………………………3分
经检验，x = 40是原方程的根………………………………………………………4分
∴ 1.5 1.54060.x =?=
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．………………………….5分
….. …………………………………………………………………………3分 B
A
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.解：连结AC 在Rt △ADC 中，
∵ ∠D =90°，AD =4，CD =34， ∴ AC =
22CD AD +=8，…….……………………………1分
3tan ==
∠AD
DC
DAC . …..……………………………2分 ∴ ∠DAC =60°. ……………………………………………………………………………3分 ∵ ∠BAD =150°， ∴ ∠BAC =90°. ∴ BC
=
1022=+AB AC . …………………………………………………………4分
∴ 四边形ABCD 的周长20+ ……………………………………………………….5分 20．（1）证明：连结AE .
∵ BG 垂直平分CF ， ∴ CB =CG ， ∴ ∠1=∠2.
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠E =90°. .........................................................................1分 ∴ ∠3+∠4=90°. ∵ ∠3=∠1=∠2， ∴ ∠2+∠4=90°.
∵ ⌒AE =⌒
ED ， ∴ ∠ABE =∠4.
∴ ∠2+∠ABE =90°.
∴ BC 是⊙O 的切线...........................................................................................................2分 （2）∵ BC 是⊙O 的切线，
∴ ∠ABC =90°.
由勾股定理，可得 AC =10..............................................................................................3分 ∵ CG =CB =6， ∴ AG =4.
可证 △AEG ∽△BEA ,
∴
41
82
AE AG EB AB === (4)
分 设AE =x ，BE =2x .
由勾股定理，可得
222
(2)10x x +=.解得 x =
∴ 2BE x == (5)
B
分
21．解：（1）A 组人数所占的百分比：1(26%30%22%12%)10%-+++=， ········· 1分 A 组人数在扇形图中所占的圆心角的度数：36010%36??=； ······························· 2分 （2）样本人数：1530%50÷=（人）， ······························································ 3分
D 组人数=5022%11?=（人）
； ······································································ 4分 （3）考试成绩的中位数落在C 组..............................................................................................5分 22．
正确画出图形2分
图（1）2
72AEF S cm ?=；.................................................................................................3分
图（2）21235AEF S cm ?=；...........................................................................................4分 图（3）2363AEF S cm ?=.
比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ............................................5分
五、解答题 （本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）证明：令0y =，则2
20x mx m -+-=．
因为2
48m m ?=-+2
(2)40m =-+>， ··························· 1分
所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点． ····························· 2分
（2）因为关于x 的方程2
20x mx m -+-=的根为2(2)4
m m x ±-+=，
由m 为整数，当2
(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．
设22
(2)4m n -+=（其中n 为整数）， ··············································· 3分 所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=．
因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，
所以 2222n m n m +-=??-+=?，；或222 2.n m n m +-=-??-+=-?，
解得 2m =．
经检验，当2m =时，关于x 的方程2
20x mx m -+-=有
整数根． 所以 2m =...................................5分
（3） 当2m =时，此二次函数解析式为
22
2(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）
． 抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，
． 设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，
． 在直角三角形1AM O 中，由勾股定理，得2AO =
，
C F
C
D
图（2） 图（3）
A
由抛物线的对称性可得，AB AO ==
又 2222+=， 即 222
OA AB OB +=． 所以 △ABO 为等腰直角三角形．且11M A M B =． 所以 1(1)M ，0为所求的点． ················································· 6分
若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，． 过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．
由勾股定理，有22222M A M N AN =+；222
22M B M O OB =+．
即 2222
(1)12y y ++=+． 解得 1y =．
所以 2(0)M ，1为所求的点． ··················································· 7分 综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，）． 24．证明：（1）AG CE =成立．
∵ 四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形， ∴ ,,GD DE AD DC ==…………………………1分
∠GDE =∠90ADC =?.
∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC .
∴ △AGD ≌△CED .………....................………2分 ∴ AG CE =.………………………………………3分 （2）①由（1）可知△AGD ≌△CED ， ∴ ∠1＝∠2 . ∵ ∠3＝∠4，∠4＋∠2＝90°， ∴ ∠3＋∠1＝90°
∴ ∠APH ＝90?. ∴ .AG CH ⊥……………………………………5分 ② 过G 作GM AD ⊥于M .
∵ BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴ 45ADB GDM ∠=∠=?.
∴ ∠DGM ＝45°. ∵ DG
∴ 1MD MG ==. …………...................................................................6分
在Rt
△AMG 中 ，由勾股定理，得
AG =∴ CE =AG ……………………………………………………………7分
25．解：（1）∵抛物线过点A (－2，0)和B (4，0)
∴ ???=++=+-044160424b a b a 解得?????=-=1
21b a
∴ 抛物线的解析式为42
1
2++-=x x y …………1分
（2）抛物线的对称轴为1=x
令x =0，得y =4，∴()04C ，
设T 点的坐标为()h ,1，对称轴交x 轴于点D ，过C 作CE ⊥TD 于点E 在Rt △ATD 中， ∵TD =h ，AD =3
∴22229h TD AD AT +=+=………………………………………………………………2分 在Rt △CET 中， ∵E ()4,1
∴ET =h -4，CE =1 ∴()142
222
+-=+=h CE TE CT
∵AT =CT
∴()2
2
914h h +=+-，………………………3分
解得1=h .
∴()1,1T . ...............….………………………………………………………………………4分 （3）当20≤ ∴△APM ∽△ACO ∴ CO PM AO AM = ∴PM =2t ∴t t PM AQ S 62 1 2+-=?=………………6分 当32≤ ∴BM =t -6.由OC =OB =4，可证BM =PM =t -6. ∵BQ =t t 2 3 5)2(232-=-- ∴AQ =t t 2 312356+=??? ??- - ∴()344 3 623121212++-=-???? ??+=?= t t t t PM AQ S ．……………………………..8分 综上所述，()?? ???≤<++-=≤<+-=)32(34432062 2t t t S t t t S
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