两角和差的正弦余弦正切公式练习题
知 识 梳 理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝
tan α±tan β
1?tan αtan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α
.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝
1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2
，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
，sin α±cos α＝2sin ? ????
α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a
一、选择题
1．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(
-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(
+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ
αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2
Z k k ∈+≠ππα且)(2
Z k k ∈+≠ππβ；
④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是
（ ）
A ．21+
B ．12-
C ．2
D ． 2
3．当]2
,2[π
π-
∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）
A ．最大值为1，最小值为－1
B ．最大值为1，最小值为2
1-
C ．最大值为2，最小值为－2
D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3
2
tan tan ,7)tan(βαβαβα-=
?=+则的值 （ ）
A ．2
1 B ．
2
2 C ．2
2-
D ．2
2±
5．已知
=-=+=-<<<αβαβαπαβπ
2sin ,53
)sin(,1312)cos(,432则 （ ）
A ．6556
B ．－6556
C ．5665
D ．－56
65
6． 75sin 30sin 15sin ??的值等于
（ ）
A ．
4
3 B ．
8
3 C ．8
1
D ．
4
1 7．函数)4
cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=π
π其中为相同函数的是
（ ）
A ．)()(x g x f 与
B ．)()(x h x g 与
C ．)()(x f x h 与
D ．)()()(x h x g x f 及与
8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===
则,8
1
tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．
3
π
B ．
4
π C ．π65 D ．π4
5
9．设0)4
tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπ
θ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）
A ．p+q+1=0
B ．p －q+1=0
C ．p+q －1=0
D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是
（ ）
A ．
4
12
--a a
B ．－
4
12
--a a
C ．2
14a a --±
D ．4
12
--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ?与1的关系为
（ ）
A ．1tan tan >+
B A B ．1tan tan
C ．1tan tan =?B A
D ．不能确定
12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是
（ ）
A ．4
1
B ．
2
3
C ．2
1
D ．4
3
二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）
13．已知m =-?+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .
14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2?= 则∠B=
.
15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,2
2
sin sin +=
+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--?ππ)34
sin(x +?π
．
18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02
1
50sin 50sin 222=-
+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.
19．求证：y
x x
y x y x 2
2sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．
20．已知α，β∈（0，π）且7
1
tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.
21．证明：x
x x
x x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.
22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，
B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2
cos C
A -的值.
两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案
一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A
二、13．m 14．3π
15．32-- 16．]214,214[-
三、17．原式=)34
cos()33
sin()33
cos()34
sin(x x x x -----ππππ=
4
6
2-．
18．)4550sin(2
)
21
50(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，
12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====
3275tan )2tan(+==- αβ．
19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2
222sin sin cos cos )]
()sin[()cos()sin()cos()sin(?-?-++=--+++=左
=-=+-=y
x x
y x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13
tan ,
tan(2)1,
2.3
4
ααβαβπ=-=-=-
21．左=
=+=?=?-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22
cos
23cos sin 2cos 23cos 2sin
23cos 2cos 23sin
右．
22．由题设B=60°，A+C=120°，设2
C
A -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,224
3cos cos cos 1
cos 12
=
-=-
=+ααα
即C A
故222cos =-C A ．