A
图1
图2
图5
圆的总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
点与圆的位置关系:
点在圆内 d 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d 外离（图1） 无交点 外切（图2） 相交（图3） 内切（图4） 内含（图5） 无交点 D B B A B A O 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 圆心角定理 圆周角定理 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆， 所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° BC BD =AC AD = M A P A 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA 圆内相交弦定理及其推论： （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积 相等 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ∴PA ·PB=PC ·PA （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O 中，∵直径AB ⊥CD ∴ 22CE DE EA EB == D B l O （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴ 圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A 、B 两点 ∴O1O2垂直平分AB 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：在Rt △O1O2C 中， （2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中 △ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，OD:BD:OB= （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，OE :AE:OA= （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，AB:OB:OA= 弧长、扇形面积公式 （1）弧长公式： （2 ）扇形面积公式： 2PA PC PB =PC PB PD PE = 221AB CO == 1::21:1: 1: :2180 n R l π= 21 3602n R S lR π= = 总结归纳：《 圆》的知识考点 圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理．．．．与判定定理．．．．及公式．．。 一、圆的有关概念 1、圆。?????????????????? ?????????????????????????静（集合）动 →封闭曲线围成的图形 2、弦、直径、切线。→直线 3、弧、半圆。 →曲线 4、圆心角、圆周角。 5、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质 6、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质 二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角） 1、圆的对称性。→ ???中心对称轴对称 2、垂径定理及其推论。 3、弧、弦、圆心角之间的关系定理 4、圆周角定理及推论。→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角 5、切线的性质定理。 6、切线长定理。 三、判定定理 切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径 四、点、直线、圆与圆的位置关系 1 2 3 五、正多边形和圆 1、有关概念 正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距 2、方法思路：构造等腰．．（等边．．）三角形、直角．．三角形，在三角形中求线、角、面积。 六、圆的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2πr, l= 180 r n π 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S 圆=πr 2 ， S 扇形=3602r n π ，或 S 扇形=lr 21 （即S 扇形 S 圆锥= 母线底面圆l r π 3、求面积的方法 直接法→由面积公式直接得到 间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换 与 圆 有 关 的 计 算 一、周长：设圆的周长为C ，半径为r ,扇形的弧长为l ,扇形的圆心角为n . ① 圆的周长：C ＝２πR ；②扇形的弧长：180 n r l π= 。 例题1．(05崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。两位老人同时出发，以相同的速度由A 处到B 处散步，甲老人沿 1122ADA A EA A FB 、、的线路行走，乙老人沿ACB 的线路行走，则下列结论正确的是( ) （A ）甲老人先到达B 处 （B ）乙老人先到达B 处（C ）甲、乙两老人同时到达B 处（D ）无法确定 例题2．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的“渐开线”，其中CD 、DE 、EF …的 圆心依次按A 、B 、C 循环，将它们依次 平滑相连接。如果AB=1，试求曲线CDEF 的长。 例题3．（06芜湖）已知如图，线段AB ∥CD ，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm ，⊙O 的半径为10cm,从A 到D 的表面很粗糙，求⊙O 从A 滚动到D ，圆心O 所经过的距离。 例题4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈。 A 4 B 3 C 5 D 3.56. 例题5．(08大兴二模)如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水 平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B （直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C 间的距离BC 的长为L m ，当手握板子处的点C 随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了_________m ． 例题6．(08房山二模)如图，∠ACB ＝60，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为. 二、面积：设圆的面积为S ，半径为r,扇形的面积为S 扇形，弧长为l . ①圆的面积：2 S r π= ②扇形的面积：21 3602 n r S lr π==扇形 ③弓形面积：S S S =±弓形扇形 例题1．（05丰台练习二）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，如果 ∠A ＝120°，CD ＝2，则扇形OBAC 的面积是____________。 例题2．（江西省）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两不相交，且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ） A 12πcm 2 B 8 πcm 2 C 6πcm 2 D 4 πcm 2 例题3．(08大兴)北京市一居民小区为了迎接2008年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD 场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A 、B 、C 、D 为圆心且半径均为3m 的四个扇形的半径等于图中⊙O 的直径，已测得 6AB m =，则绿 化地的面积为( )2m A. 18π B. 36π C. 454 π D. 92π 例题4．如图，⊙O 的半径为20，B 、C 为半圆的两个三等分点，A 为半圆的直径的一个 端点，求阴影部分的面积。 例题5．(08房山)如图1是一种边长为60cm 的正方形地砖图案，其图案设计是：①三等分AD （AB=BC=CD ）②以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交AD 于B 、交AG 于E ；③再分别以B 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，交AD 于C 、交AG 于F 两弧交于H ；④用同样的方法作出 右上角的三段弧．图2是用图1所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是_______cm 2（结果保留π）． 例题6. (08西城)如图,在Rt ABC ?中,90BAC ?∠=,AB=AC=2,若以AB 为直径的 圆交BC 于点D,则阴影部分的面积是 . 例题7. (08朝阳)已知：如图，三个半径均为1 m 的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C 、D 、E ，直线MN （地面）分别与⊙O 2、⊙O 3相切于点A 、B ．（1）求图中阴影部分的面积；（2）请你直接写出图中最上面的铁管（⊙O 1）的最低点P 到地面MN 的距离是______________m ． 例题8．(08海淀)如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你估算包装用的材料为多少（边缝忽略不计）。 三、侧面展开图： ①圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ； ②圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ， 它的弧长是这个圆锥的底 面的 。 例题1．(05丰台)圆柱的高为6cm ，它的底面半径为4cm ，则这个圆柱的侧面积是( ) A. 482πcm B. 242πcm C. 482cm D. 242cm 例题2．（05丰台）如果圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，那么它的侧面积是( ) A. 152πcm B. 202πcm C. 242πcm D. 402πcm 例题3．(05海淀）如图圆锥两条母线的夹角为120?，高为12cm ，则圆锥侧面积为______，底面积为______。 例题4．（05朝阳）如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A. 102πcm B. 102cm C. 202πcm D. 202cm 例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是( ) A. 8πcm 2 B. 10π cm 2 C. 12πcm 2 D. 9πcm 2 四、正多边形计算的解题思路： 正多边形???→连 OAB 转 化等腰三角形OD ????→作垂线转 化 直角三角形。 可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。 例题1．（05朝阳）正n 边形的一个内角是135?，则边数n 是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 例题2．如图，要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形，得到正六边形，它的边长为__________。 例题3．如图扇形的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形，点C 、D 、E 分别在OA 、OB 、AB 上，过点A 作AF ⊥ED ，交ED 的延长线于点F ，垂足为F 。若正方形的边长为1，则阴影部分的面积为______。（福建福州） 圆 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种：① 点在圆外 ，② 点在圆上 ，③ 点在圆内 ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为： ①d > r ，②d = r ，③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种：① 相交 ，② 相切 ，③ 相离 ； 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d < r ，②d = r ，③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种： ① 内含 ，② 相内切 ，③ 相交 ，④ 相外切 ，⑤ 外离 ； 两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r （R ≥r ）之间的数量关系分别为： ①d < R-r ，②d = R-r ，③ R-r < d < R+ r ，④d = R+r ，⑤d > R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 直径 的一端，并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。 与圆有关的计算 1.圆的周长为 2πr ，1°的圆心角所对的弧长为 180r π ，n °的圆心角所对的弧长 为 180r n π ，弧长公式为180 r n l π=n 为圆心角的度数上为圆半径) . 2. 圆的面积为 πr 2 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 3602 r π ，n °的圆心角所在 的扇形面积为S= 360n 2R π? = rl 21 (n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）. 3.圆柱的侧面积公式：S= 2 πr l （其中为 底面圆 的半径 ，为 圆柱 的高.） 4. 圆锥的侧面积公式：S= （其中 为 底面 的半径 ，为 母线 的长.） 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 A 组 一、选择题（每小题3分，共45分） 1．在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）。 A ．C 在⊙A 上 Ｂ．C 在⊙A 外 C ．C 在⊙A 内 Ｄ．C 在⊙A 位置不能确定。 2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。 A ．16cm 或6cm Ｂ．3cm 或8cm C ．3cm Ｄ．8cm 3．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 4．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ）。 A ．130° Ｂ．60° C ．70° Ｄ．80° 5．如图1，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°， 则∠DFE 的度数是（ ）。 A ．55° Ｂ．60° C ．65° Ｄ．70° 6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其 中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 图1 图2 7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。 A ．内含 Ｂ．内切 C ．相交 Ｄ． 外切 8．已知半径为R 和r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ）。 A ．R ＋r Ｂ．R 2 +r 2 C ．R+r Ｄ．2Rr 9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。 Ａ．10π B ．12π Ｃ．15π Ｄ．20π 10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是 （ ）。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11．下列语句中不正确的有（ ）。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个 12．先作半径为 2 3 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。 A ．7)332( Ｂ．8)332( C ．7)23( Ｄ．8)2 3 ( 13．如图3，⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( ) A ．12-π Ｂ．12-2π C ．14-4π Ｄ．6-π 14．如图4，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）。 A ．4－ 94π B ．4－98π C ．8－9 4π D ．8－98 π 15．如图5，圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ，AC 、BD 交于E ，则图中相似三 角形有（ ）。 A ．2对 Ｂ．3对 C ．4对 Ｄ．5对 图3 图4 图5 二、填空题（每小题3分，共30分） 1．两圆相切，圆心距为9 cm ，已知其中一圆半径为5 cm ，另一圆半径为_____. 2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。 3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。 4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。 5．矩形ABCD 中，对角线AC ＝4，∠ACB ＝30°，以直线AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。 6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。 7．圆的半径为4cm ，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。 8．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm ，另一条弦长为8cm ，则两条平行弦 之间的距离为_________。 9．如图6，△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，∠BOC=100°，MN 是过B 点而垂直于OB 的直线，则 ∠ABM=________，∠CBN=________； 10．如图7，在矩形ABCD 中，已知AB=8 cm ，将矩形绕点A 旋转90°，到达A ′B ′C ′D ′ 的位置，则在转过程 中，边CD 扫过的(阴影部分)面积S=_________。 图6 图7 三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分） 1．如图，P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D 。 (1)PO 平分∠BPD ； (2)AB=CD ；(3)OE ⊥CD ，OF ⊥AB ；(4)OE=OF 。 从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。 2．如图，⊙O 1的圆心在⊙O 的圆周上，⊙O 和⊙O 1交于A ，B ，AC 切⊙O 于A ，连结CB ，BD 是⊙O 的直径，∠D ＝40°求：∠A O 1B 、∠ACB 和∠CAD 的度数。 3．已知：如图20，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，BC=43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何？并证明你的结论。 A B C 4．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC 。 5．如图⊿ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点，求证：DE 是⊙O 的切线。 6．如图，已知扇形OACB 中，∠AOB ＝120°，弧AB 长为L ＝4π，⊙O ′和弧AB 、OA 、OB 分别相切于点C 、D 、E ，求⊙O 的周长。 C 图③图② 图①B M P P E E D D B C B C A A N M P E D C A 7．如图，半径为2的正三角形ABC 的中心为O ，过O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成 的阴影部分的面积。 8．如图，ΔABC 的∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AC ＝3，两个外切的等圆⊙O 1，⊙O 2各与AB ，AC ，BC 相切于F ，H ，E ，G ，求两圆的半径。 9．如图①、②、③中，点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五 边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD ，DB 交AE 于P 点。 ⑴求图①中，∠APD 的度数； ⑵图②中，∠APD 的度数为___________，图③中，∠APD 的度数为___________； ⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。 B 组 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，把一个量角器放置在∠BAC 的上面，则∠BAC 的度数是（ ） （A）30o．（B）60o．（C）15o．（D）20o． （第1题）（第2题） 2．如图，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条圆弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（） （A）12πm．（B）18πm．（C）20πm．（D）24πm． 3．如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（） （A）4．（B）8．（C）12．（D）16． 4．用一把带有刻度尺的直角尺，（1）可以画出两条平行的直线a和b，如图①；（2）可以画出∠AOB的平分线OP，如图②；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③；（4）可以量出一个圆的半径，如图④．这四种说法正确的有（） 图①图②图③图④ （A）4个．（B）3个．（C）2个．（D）1个． 5．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形，其中∠AOB为120o，OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（） （A）2 64cm π．（B）2 112cm π．（C）2 114cm π．（D）2 152cm π． （第5题）（第6题）（第7题） 6．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56o，则α的度数是（） （A）52o．（B）60o．（C）72o．（D）76o． 7．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是（） （A）第①块．（B）第②块．（C）第③块．（D）第④块． 8．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（） （A）π．（B）3π．（C）4π．（D）7π． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．某单位拟建的大门示意图如图所示，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB＝3.7米，BC＝6米，则弧AD的中点到BC的距离是____________米． （第9题）（第10题）（第11题） 10．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为_____________cm． 11．如图，∠1的正切值等于_____________． 12．一个小熊的头像如图所示．图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来．请你写出这种位置关系，它是____________． （第12题）（第13题）（第14题） 13．如图，U型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为______________m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） 14．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）如图所示．则三个几何体的体积和为cm3．（计算结果保留 ） 三、解答题（每小题6分，共18分） 15．如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C = 25°，求∠A的度数． 16．如图，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE ＝BF ，请你找出线 段OE 与OF 的数量关系，并给予证明． 17．如图，P 为正比例函数x y 2 3 = 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）． （1）求⊙P 与直线2=x 相切时点P 的坐标； （2）请直接写出⊙P 与直线2=x 相交、相离时x 的取值范围． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm ，如图甲．用尺量 出整卷卫生纸的半径（R ）与纸筒内芯的半径（r ），分别为5.8cm 和2.3cm ，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm ？（π取3.14，结果精确到0.001cm ） 图① 图② 19．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周 逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动． （1）如果∠POA ＝90o ，求点P 运动的时间； （2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判 断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由． 20．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、 B、C的抛物线上； （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线． 五、解答题（每小题8分，共16分） 21．如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点 α=． 为A，∠MOA＝α，且sin0.6 （1）求点M离地面AC的高度MB（单位：厘米）； （2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）． 22．图①是用钢丝制作的一个几何探究具，其中△ABC 内接于⊙G ，AB 是⊙G 的直径，AB ＝6，AC ＝3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图②），然后点A 在射线OX 由点O 开始向右滑动，点B 在射线OY 上也随之向点O 滑动（如图③），当点B 滑动至与点O 重合时运动结束． （1）试说明在运动过程中，原点O 始终在⊙G 上； （2）设点C 的坐标为（x ，y ），试求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的 取值范围； （3）在整个运动过程中，点C 运动的路程是多少？ 图① 图② 图③ 参考答案 A 组 一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D 9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C 二、1、4 cm 或 14cm ； 2、9π； 3、32π，34π； 4、4：3； 5、)3824( π； 6、12+2π； 7、（ 3 8π-34）cm 2 ；8、7cm 或1cm ； 9、65°，50°；10、16πcm 2 。 三、 1、命题1，条件③④结论①②, 命题2，条件②③结论①④. 证明：命题1∵OE ⊥CD , OF ⊥AB, OE=OF ， ∴AB=CD, PO 平分∠BPD 。 2、∠A O 1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。 3、作AD ⊥BC 垂足为D, ∵AB=AC ，∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵BC=43, ∴BD= 2 1 BC=23. 可得AD=2.又∵⊙A 半径为2, ∴⊙A 与BC 相切。 4、连接BD ，证△PAD ∽△DCB 。 5、连接OD 、OE ，证△OEA ≌△OED 。 6、12π。 7、4π-36。 圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 一、圆的概念 圆的章节知识点总结 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d < r ? 点C 在圆内； 2、点在圆上? d = r ? 点 B 在圆上； A 3、点在圆外? d > r ? 点 A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离? d > r ? 无交点； 2、直线与圆相切? d = r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交? d < r ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） ? 无交点 ? d > R + r ； 外切（图 2） ? 有一个交点? d = R + r ； 相交（图 3） ? 有两个交点? R - r < d < R + r ； 内切（图 4） ? 有一个交点? d = R - r ； 内含（图 5） ? 无交点 ? d < R - r ； 图1 图4 图5 O A B C O A D C O A O 五、垂径定理 弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论. 即：AB 是直径;② AB ⊥CD ;③CE =DE ;④ 弧BC =弧BD (B C=B D);⑤ A C=A D;中任意 2 个条件推出其他 3 个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD C D 六、圆心角定理 圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个结论也即：①∠AOB =∠DOE ;②AB =DE ;③OC =OF ;④BA =ED E 推论 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； F 推论 2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等； O 推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；D A C B 七、圆周角定理 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半. 符号语言：①∵在O 中，∠C、∠D 都是弧AB 所对的圆周角∴∠C =∠D ②∵ ∠AOB 和∠ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴ ∠AOB = 2∠ACB 图形语言： C C B B B A B A O 推论 1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90?的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在O 中，AB 是直径∴∠C=90?;或∵∠C=90?∴AB 是直径 A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; ４、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d<ｒ 点C 点在圆上 d=r 点Ｂ在圆上 点在此圆外 d ＞r 点Ａ在圆外 2 直线与圆的位置关系： 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d ＜ 3 圆与圆的位置关系： 外离(图1） 无交点 外切(图2) 相交(图3） 内切（图４) 内含(图５) 无交点 D B B A 四 垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论１:（１)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （３)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共４个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它３个结论，即： ①A Ｂ是直径 ②AB ⊥ＣＤ ③CE ＝DE ④ ⑤ 推论２:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙Ｏ中,∵AB ∥ＣD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ＡC Ｂ 圆周角定理的推论: 推论１:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙Ｏ中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ＡB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角 BC BD =AC AD = 圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 图1 图2 图4 图5 D 圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d 初中圆的知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中圆的知识点总结 圆的记忆口诀： 常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。 圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆， 直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难， 要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连 直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件， 如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦。 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也 叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； A 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 图4 图5 1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：?? ?半径 —定长圆心—定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种： 初中圆知识点总结 1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。 4、同圆或等圆的半径相等。 5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。 6、和已知线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 7、到已知角的两边距离相等的点组成的图形，是这个角的平分线。 8、到两条平行线距离相等的点组成的图形，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。 9、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 10、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。 11、推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧。③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等，所对的弦的弦心距相等。 15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（注：这是用来证明三角形是直角三角形的一种方法） 20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（这个定理现在的书上没有）。 第一讲 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0， 取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1 2D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． （二）点与圆的位置关系 （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为 A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系； 1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：???半径—定长圆心 —定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种： 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的心、外心、重心、垂心 (1)三角形的心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形切圆的圆心，在三角形部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： 初中数学——《圆》 【知识结构】 ????? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? ?? ????????? ?? ??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含 内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆 一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性 （1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。 三、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 知2推3定理：①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 知1推3定理： ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④弧BA=弧BD 五、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论： 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧是等弧； 2 对的弦是直径。 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形。 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内 对角。 七、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d r ?点A在圆外； 八、三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 九、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r
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