?
【知识精读】
（9）二元一次方程的整数解
1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，
若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程 ax+by=c 有整数解
显然 a,b 互质时一定有整数解。
例如方程 3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。
返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x －2y=1 都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而 3 不能整除 10；（4，2）＝2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法：
若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解
1 - 11y 1 - y - 10 y 1 - y 解：x= = = -
2 y (1) ,
5 5
5 1 - y 设 = k (k 是整数），则 y=1－5k (2) ,
5
把（2）代入（1）得 x=k －2(1－5k)=11k －2
?x = 11k - 2
∴原方程所有的整数解是? y = 1 - 5k （k 是整数）
方法二：公式法：
设 ax+by=c 有整数解
?x = x 0
? y = y
?x = x 0 + bk 则通解是?
（x 0,y 0 可用观察法）
? 0 ? y = y 0- ak
3、 求二元一次方程的正整数解：
i.
出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值
ii.
用观察法直接写出。
【分类解析】
例 1 求方程 5x －9y=18 整数解的能通解 解：x=
18 + 9 y = 15 + 10 y + 3 - y = 3 + 2 y + 3 - y
5 5 5
?
? ?
? ?
y =
3 - y 设 5
= k （k 为整数），y=3－5k, 代入得 x=9－9k
?x = 9 - 9k
∴原方程整数解是?
y = 3 - 5k （k 为整数） 又解：当 x=o 时，y=－2，
?x = 0
?x = 0 - 9 y ∴方程有一个整数解? y = -2 它的通解是? y = -2 - 5k （k 为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解 解：x=
100 - 6 y = 20 - y - y
(1)，
y
5
5
设 = k (k 为整数)，则 y=5k,(2) 5
把（2）代入（1）得 x=20－6k ，
?x > 0 ?20 - 6k > 0 20 ∵ ? y > 0
解不等式组? 得 0＜k< ,k 的整数解是 1，2，3，
6 ? ?5k > 0
?x = 14 ?x = 8 ?x
= 2 ∴正整数解是?
? y = ? ? y = 5 ? 10 ? y = 15 例 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？
解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y 都是正整数）
?x = 1 ∵x ＝1 时，y=7，∴ ? y = 7 是一个整数解
?x = 1 + 5k
∴通解是? y = 7 - 3k （k 为整数）
?1 + 5k > 0 1 解不等式组 得解集是- < k < 7 ∴ k=0 1 2
?
?7 - 3k > 0
整数 ， ，
5 3 ?x = 1 ?x =
6 ?x = 11
把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解? ? ?
? 7 ? y = 4 ? y = 1
答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。
【实战模拟】，
1、求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2,、求方程的正整数解：①5x+7y=87；②5x+3y=110
3、一根长10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300 毫米，乙种毛
坯长250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4、兄弟三人，老大20 岁，老二年龄的2 倍与老三年龄的5 倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
①4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6、一张试巻有20 道选择题，选对每题得5 分，选错每题反扣2 分，不答得0 分，小这军
同学得48 分，他最多得几分？
7、用观察法写出方程3x+7y=1 几组整数解：
?
?
参考答案
?x = 4 ?x = 4 + 7k
1. 公式法①由特解? y = 0 得通解?
y = 0 - k （k 为整数） ? ?
②由特解??x = 5 得通解??x = 5 - 11k
y = 2 y = 2 - 5k （为 k 整数）
? ?
1 - 10 y 1 - y
?x = 10k - 3 整除法①∵x=
3
= 3 －3y,……∴通解是? y = 1 - 3k （k 为整数）
?x = 3k - 1
②通解是? y = 5 - 11k （k 为整数）
?x = 2 ?x = 9 ?x = 16 ?x = 22 + 3k 22
2. ① ?y =
? ?
② ? － ＜k ＜0 …… ? 11? y = 6?y = 1 ? y = 0- 5k
3 ?甲＝5 ?甲＝10 ?甲＝15 ?甲＝20 ?甲＝25 ?甲＝19
3. 有 6 种截法? ? ? ? ? ?
?乙＝34 ?乙＝28 ?乙＝22 ?乙＝16 ?乙＝10 ?乙＝5
4. 16，13
5. A ，D.
6. 12
7.（略）
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
行列式解二元一次方程组 在研究用消元法解二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 中，可得解的公式 ??? ??? ?--=--=．，122112211 2211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，显然，那个公式本身还看不出它的明显规律，也不易经历，因此那个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利经历呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就能够达到以上目的，由此，能够看出行列式能关心解决刚才提出的问题、 1、符号 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式，a 1、a 2、b 1、b 2叫做那个二阶行列式的元素， a 1、a 2、 b 1、b 2这四个元素排成二行二列〔横排叫行，竖排叫列〕、例如，a 2是位于第二行第一列上的元素，b 1是位于第一行第二列上的元素、 2、二阶行列式的展开形式为 2 2 11b a b a ＝a 1b 2－a 2b 1，它的展开方法是，将a 1、 a 2、 b 1、b 2四个数排列成正方形，即 2 21 1b a b a 能够看出a 1b 2－a 2b 1是如此两项的和，一项为哪一项正方形中实线表示的对角线〔叫做主对角线〕上两数的积，再添上正号；一项为哪一项虚线表示的对角线〔叫做副对角线〕上两数的积，再添上负号、这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法那么、 3、二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 的解的行列式表示法， 2 2 11 2 2 11b a b a b c b c x = ， 2 2 112 2 11b a b a c a c a y = ，〔a 1b 2－a 2b 1≠0〕 为简便起见，设2 2 11b a b a D = ，2 2 11b c b c D x = ，2 2 11c a c a D y = ，那么当D ≠0
二元一次方程与正整数解专题训练 一、求二元一次方程的正整数解 策略：首先从奇偶性出发分析，再展开运算求解。 例：求二元一次方程3423x y 的正整数解。 解：∵,x y 都是正整数，∴4y 是偶数； ∵23是奇数，∴ 3x 是奇数，x 也就是奇数；当1x ＝时，3423y ＝，5y ；当x ＝3时，33423y ＝， 3.5y ； 当x ＝5时，35423y ＝，2y ； 当x ＝7时，37423y ＝，0.51y ； 综合分析可得，方程的正整数解为 1 5x y 52 x y 练习： 1、求二元一次方程2519x y 的正整数解。 解：∵,x y 都是正整数，∴2x 是偶数；
∵19是奇数，∴5y 是奇数，y 也就是奇数； 当1y 时，215x ＝19，7x ； 当3y 时，235x ＝19，2x ； 当5y 时，255x ＝19，31x ； 综合分析可得，方程的正整数解为 71x y 23 x y 2、求二元一次方程1 1732x y 的正整数解。 解：∵,x y 都是正整数，∴x 是3的倍数； 当3x 时，1 133 2y ＝7，12y ；当6x 时，1 163 2y ＝7，10y ；当9x 时，1 193 2y ＝7，8y ；当12x 时，1 1123 2y ＝7，6y ；当15x 时，1 1153 2y ＝7，4y ；当18x 时，1 1183 2y ＝7，2y ；当21x 时，1 12132y ＝7，01y ； 综合分析可得，方程的正整数解为
312x y 610x y 98x y 126x y 154x y 18 2 x y 二、依据正整数解求参数的值 策略：依据其中一个未知数的系数分类，根据整除性确定范围求解。 例：已知关于x 、y 的二元一次方程27x y m 只有三组正整数解，求 m 的值。解：（1）当m 为奇数时，y 也是奇数。 ∵只有三组正整数解，∴y ＝1，3，5； 35 解二元一次方程公式知识点设ax+by=c，dx+ey=f，x=(ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:{5x+6y=72x+3y=4,变为{5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。加减消元法。顺序消元法。(这种方法不常用)消元法的例子(1)x-y=3(2)3x-8y=4(3)x=y+3代入得(2)3(y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。(3)另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4 解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明： 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5 二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题 1、若关于x，y的方程组 2 6 x y mx y -= ? ? += ? 有非负整数解，则正整数m为（）． A.0，1 B.1，3，7 C.0，1，3 D.1，3 2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组 210 320 mx y x y += ? ? -= ? 有整数解，则m2的值 为（）． A.4 B.4，49 C.1，4，49 D.无法确定 3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组 ()11 2 x a y x y ?+-= ? -+= ? 的解是整数． 4、 4 22 ax y x y += ? ? -= ? （a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______． 5、当整数m=______时，方程组 211 48 x my x y += ? ? += ? 的解是正整数． 6、正整数a取______时，方程组 5 2 x y ax y += ? ? -= ? 的解是正整数． 7、请回答下列问题： （1）当方程组 25 20 x ay x y += ? ? -= ? 的解是正整数时，整数a的值为______． （2）m为正整数，已知二元一次方程组 210 320 mx y x y += ? ? -= ? 有整数解，则m2=______． 8、关于x，y的方程组 25 342 x y a x y a +=- ? ? -= ? 的解都是正整数，求非负整数a的值． 9、当关于x、y的方程组 212 30 x my x y += ? ? -= ? 的解为正整数时，求整数m的值． 10、已知方程组 24 20 x my x y += ? ? -= ? ，当方程组的解是正整数时，求整数m的值，并求出方程的 所有正整数解． 11、若m为正整数，且已知关于x、y的二元一次方程组 220 520 mx y x y += ? ? -= ? 的解为一组整数， 求m2的值． 12、m取什么整数值时，方程组 24 20 x my x y += ? ? -= ? 的解是正整数？并求它的所有正整数解． 二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： 二元一次方程提高 一．选择题（共14小题） 1．（2013?漳州）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（） A．B．C．D． 2．（2012?临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（） A．5B．3C．2D．1 3．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2=2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（） A．﹣4 B．2C．4D．﹣2 4．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（） A．B．C．D． 5．x，y是正整数，且有2x×4y=1024，则x，y的取值不可能是下列哪一组结果（） A．B．C．D． 6．（2009?东营）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=﹣6的解，则k的值是（） A． ﹣B．C．D． ﹣ 7．若方程组的解为x，y，且﹣4＜m＜4，则x﹣y的取值范围是（） A．﹣1＜x﹣y＜1 B．﹣2＜x﹣y＜2 C．﹣3＜x﹣y＜0 D．﹣3＜x﹣y＜1 8．若方程组的解满足x+y=0，则a的取值是（） A．a=﹣1 B．a=1 C．a=0 D．a不能确定 9．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=﹣1 C．x+y=9 D．x+y=9 10．关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（） A．a=0，b=0 B．a=﹣2，b=1 C．a=2，b=﹣1 D．a=2，b=1 11．若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（） A．k≠2 B．k=﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2 12．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值为（）A．不能确定B．a=3、c=1、d=1 C．a=3c、d不能确定D．a=3、c=2、d=﹣2 13．若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（） A．3B．﹣3 C．﹣4 D．4 14．三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（） A．4B．3C．2D．1 二．填空题（共7小题） 15．已知关于x、y的方程是（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+y=﹣5．则当a=_________时，该方程是二元一次方程．16．若方程3x2（m+n）﹣3（m﹣n）﹣3﹣2y5（m+n）﹣7（m﹣n）﹣1=1是二元一次方程，则m=_________，n=_________．17．方程x+2y=7的所有自然数解是_________． 18．设：a、b、c均为非零实数，并且ab=2（a+b），bc=3（b+c），ca=4（c+a），则=_________． 19．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是_________． 20．已知方程2x﹣3y=z与方程x+3y﹣14z=0（z≠0）有相同的解．则x：y：z=_________． 21．已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=_________． 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。接下来分享二元一次方程的万能公式， 供参考。 二元一次方程万能公式 b^2-4ac>=0,方程有实数根，否则是虚数根。 实数解是: [-b+sqrt(b^2-4ac)]/2a [-b-sqrt(b^2-4ac)]/2a 二元一次方程的解法 代入消元法 (1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b 的形式; (2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程; (3)解这个一元一次方程，求出x的值; (4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解; (5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。 换元法 解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。 加减消元法 (1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以 适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。 (2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。 (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。 二元一次方程整数解、配套类专练 一．选择题（共5小题） 1．二元一次方程3x+2y＝17的正整数解的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2．方程x+2y＝4的正整数解有（）组． A．1B．2C．3D．4 3．二元一次方程2x+3y＝21的正整数解有几个（） A．2个B．3个C．4个D．5个 4．关于x，y的二元一次方程2x+11y＝50的正整数解的个数（） A．1B．2C．3D．4 5．方程2x+3y＝10的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 二．解答题（共25小题） 6．一张桌子由桌面和四条桌腿组成，1立方米木材可制作桌面50张或制作桌腿条300．现有5立方米的要木材，问应如何分配木材，可以使桌面与桌腿配套，共能配成多少张桌子． 7．某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，每天只能生产其中一种零件，甲、乙、两种零件分别取3个、2个、才能配成一套，要在45天内生产最多成套的产品，问甲、乙两种零件应各生产几天？ 8．某校办工厂有36名工人，每人每天可制作桌子5张或凳子8条，应怎样分配制作桌子和凳子的人数，才能使桌子和凳子配套？（一张桌子配两条凳子） 9．小敏和小强参加社会实践，要用白板纸做长方体包装盒，准备把所有白板纸分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白板纸可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒． （1）现有12张白板纸，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？ （2）在（1）条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白板纸经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；否则说明理由． 10．某厂生产一批西装．每3米布可以裁上衣2件或裁裤子3条．现在共有布600米．为了 二元一次方程的“特殊解” 我们知道，任何一个二元一次方程都有无数多个解，但二元一次方程的特殊解例如“自然数解或者正整数解”，往往是有限多个。例如二元一次方程5 2= +y x 的解有无数多个，但是其正整数解只有2个，分别是 1, 3 x y = ? ? = ? 和 2, 1; x y = ? ? = ? 自然数解有 3个，分别是 1, 3, x y = ? ? = ? 2, 1, x y = ? ? = ? 0, 5. x y = ? ? = ? 二元一次方程的特殊解在解决实际问题时，可 以助你一臂之力。 例12008年北京奥运会的球类比赛的门票价格如下： 某球迷购买了x张男篮比赛的门票，y张足球比赛的门票，共用去12000元。 ⑴列出二元一次方程； ⑵写出各种购票的方案。 析解：⑴男篮比赛的门票x张，每张1000元，费用为1000x元；足球比赛的门票y张，每张800元，费用为800y元，所以可得到二元一次方程12000 800 1000= +y x。 ⑵根据题意，求各种购票的方案，就是求二元一次方程12000 800 1000= +y x 的自然数解的问题，方程12000 800 1000= +y x经过整理可以化为60 4 5= +y x， 易得出其自然数解为 0, 15, x y = ? ? = ? 4, 10, x y = ? ? = ? 8, 5, x y = ? ? = ? 12, 0. x y = ? ? = ? 所以有以下购票方案：购男 篮比赛门票12张；或者购男篮比赛门票8张，足球比赛5张；或者购男篮比赛门票4张，足球比赛门票10张；或者购足球比赛门票15张。 例2 当围绕一点拼在一起边长相等的正五边形和正十边形，怎样组合才能 1 / 2 育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法 一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。 读懂材料第 页: 1.知识点1： 一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2： 当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。 （3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？ 二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根 解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0 (5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值 四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分） 413 2x y x y x +=??+?-=??用代入消元法解二元一次方程组 知识点梳理 用代入法解二元一次方程组的步骤是： （1）把方程组中的一个方程变形，写成____________________的形式； （2）把它_______________中，实现消元，得到一个一元一次方程； （3）解这个________________； （4）把求得的值代入到_________，从而得到原方程组的解． 基本技能：用代入法解方程 例1 【综合创新训练】 1．当a=3时，方程组1 22ax y x y +=??+=? 的解是_________． 2. 已知???==11y x 和???-=-=21 y x 是关于x 、y 的二元一次方程22=-by ax 的两解，则a = ，b = 3．已知方程2x+3y=2，当x 与y 互为相反数时，x=______，y=_______． 4．已知x=-1，y=2是方程组的13 11 ax by bx ay +=??+=-?解，则ab=________． 用加减消元法解二元一次方程组 知识梳理 1．方程组231 534m n m n +=??+=? 中，n 的系数的特别是_______，所以我们只要将两式________，?就可以消 去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的． 2．方程组532 534 m n m n -+=??+=?中，m 的系数的特别是________，所以我们只要将两式________，就可以 消去未知数m ，化成一个一元一次方程，进而求得方程组的解． 会选择适合的方法解方程组： 2(2)4379:2:5(1)(2)(3)22 475 50025022500000x x y x y x y x y x y x y ++=+==???? ? ?+=-=+=??? 2x ＋y ＝5 3x －y ＝10 （9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中， 若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解 显然a,b 互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。 方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x= 5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (5 1=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2 ∴原方程所有的整数解是???-=-=k y k x 512 11（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解? ??==00y y x x 则通解是???-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。 【分类解析】 例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解：x= 5 3235310155918y y y y y -+ +=-++=+ 240x x a ++=24m 12 x x -1211x x +2212x x +4k 第12课时 根与系数的关系 一、【教学目标】 1. 掌握一元二次方程的根的判别式; 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系 二、【重点难点】 重点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系. 难点:一元二次方程的根的判别式及根 与系数的关系的应用 三、【教学流程】 【考点回顾】 (一)、根的判别式 1、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式Δ= ； 2、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a ≠0） （1）有两个不相等的实数根的条件 ； （2）有两个相等的实数根的条件 ； （3）没有实数根的条件 ； 【小试牛刀】 1、一元二次方程3x 2﹣2x-1=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 2、如果关于x 的方程 有两个相等的实根，那么a ＝ . 3、已知关于x 的方程x2+（1﹣m ）x+ =0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ． (二)、一元二次方程的根与系数的关系： 若 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为 X 1、x 2， 且b 2 ﹣4ac ≥0 则x 1+x 2= ； x 1x 2= ； 【比比看 谁最行】 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两根，求下列代数式的值。 （1） （2） （3）（x 1+1）（x 2+1） （4） 【典例分析】 关于x 的方程kx 2 +(k+2)x+ =0有两个不相等的实数根. ⑴求k 的取值范围. ⑵是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0? 若存在，求出k 的值；若 不存在，说明理由. 第 28课时 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关 键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2 ）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1?行程问题： （1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而 行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是遠度-路 程 两者的行程差=开始时两者相距的路程；总士空反几「.；厂L.； 时间醬 ⑵相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。 （3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； ③顺水速度—逆水速度=2 X水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2.工程问题：工作效率X工作时间=工作量. 3.商品销售利润问题： 、、、利润率=直址攀处：＜1叩％、、 （1）利润=售价—成本（进价）；（2）=i ; （3）利润=成本（进价）x利润率； 标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价x打折率； 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4 .储蓄问题： （1）基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做 本金。②利息：银行付给顾客的 酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时 间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利 息的税款叫做利息税。 （2）基本关系式 ①利息=本金x利率x期数 ②本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x （1 + 利率x期数） ③利息税=利息x利息税率=本金x利率x期数x利息税率。 ④税后利息=利息x （1—利息税率）⑤年利率=月利率x 12⑥ 月利率宰利率工丄 ——“二元一次方程”课堂教学实录与点评 在江苏省第三届“苏派名师”课堂教学研讨活动中，笔者应邀为来自全省的初中数学老师呈现了一堂概念课《二元一次方程》，它是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》(七年级下册）第十章“二元一次方程组”的第一节内容．巧妙的设计、灵活的教法，学生主体性的充分发挥，给听课老师以极大的教益和深刻的印象，赢得了与会老师的高度评价． 1 教学实录 1．1 创设情境，导入新知 师：同学们，今天的学习从我们身边两个熟知的问题开始，请回答下列问题． 问题1．某市在暑假期间组织了中学生篮球联赛，比赛规则是：赢一场得3分，输一场得1分； （1）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了5场；请列出方程； （2）一支球队在联赛中共积分20分．若设该队赢了x场，输了y场；请列出方程． 问题2．初一(7)班有18名学生相约到公园划船，需要租用船只，公园有A、B两种型号的船，A型船可坐2人，B型船可坐3人，每艘船都坐满．问有多少种租船的方法?（请先设未知数并列出方程） 生1：， 生2：， 生3：设A型船租了x艘，B型船租了y艘；根据题意得：2x + 3y = 18． 1．2 类比旧知，探索新知 师：这三个方程中的第一个方程大家应该很熟悉，它叫…? 生 ：一元一次方程． 众 师：请同学们回忆一元一次方程的定义． 生：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程．(投影) 师：后面两个方程能叫一元一次方程吗？如果不能，请大家取个名称． ：二元一次方程． 生 众 师：请同学们观察这两个方程有哪些共同特点，说说命名二元一次方程的理由． 生1：有两个未知数，未知数的次数都是1． 师：本节课，我们就来学习新的知识“二元一次方程”．（教师板书：二元一次方程．） 师：现在老师再给出一个方程，这个方程满足你们所说的三个特点，大家觉得它是二元一次方程吗? 生：不是，因为这一项的次数是2． 师：那么，你们认为含有未知数的项的次数应该是多少才是二元一次方程? ：1． 生 众 师：同学们刚才命名二元一次方程的理由，其中有一条是“未知数的次数都是 1”，而根据现在的回答,你们把理由作了调整，认为应该是“含有未知数的项的次数都是1”,那么我们一起来看看课本上给出的定义是如何描述的．（教师板书：二元一次方程：含有两个未知数（元）,并且所含未知数的项的次数都是1的方程．） 1．3 范例巧练，活用新知 例1．（1）下列方程是二元一次方程的有．（填序号） ①②③④⑤ 二元一次方程组(一) 一、重点、难点 1、二元一次方程及其解集 (1)含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的整式方程叫二元一次方程． (2)二元一次方程的解是无数多组． 2、二元一次方程组和它的解 (1)含有两个相同未知量的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解． 3、二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数． (2)加减消元法：先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．4、三元一次方程组及其解法 (1)含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且是由三个方程组成的方程组叫做三元一次方程组． (2)解三元一次方程组的基本思想是用消元的方法把“三元”转化为“二元”(将未知问题转化为已知问题，再将“二元”转化为“一元”)． 二、例题分析： 例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代数式表示y．2)用含y的代数式表示x． 答案：1)y= x-2；2)x=3+ y 例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值． 解：∵|x|=2 ∴x=2,或x=-2 又∵x+y=0 ∴y=-2,或y=2 故y+2=0,或y+2=4 例3：已知方程组的解是，求a与b的值 分析：方程组的解就是适合原方程组，所以将代入方程可以得到 关于a,b的新的方程。 解：因为方程组 的解是 所以 （1）×2得2a-4=2b (3) （3）-（2）得-5=2b-2 ∴b=- 将b=- 代入（1）得a= ∴ 答案：a= , b=- 例4：方程x+3y=10在正整数范围内的解有_____组，它们是________________。 答案：3； 例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______． 答案：3x-5y+17=0 例6：已知关于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。 当k=_____时，方程为一元一次方程， 当k=_____时，方程为二元一次方程。 分析：题目中没有规定未知数，所以x,y都可以。因此注意分两种可能。 解：第一问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为一元一次方程， ∴（1）或（2） 方程组（1）的解为k=-1,(2)无解 ∴当k=-1时原方程为一元一次方程 第二问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为二元一次方程 ∴ 解得k=1 ∴当k=1时原方程为二元一次方程 例7：二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值解：∵原方程组的解中x与y互为相反数 ∴x=-y （1） 将（1）代入原方程组，得 求二元一次方程的整数解 例：求二元一次方程3x + 4y = 18 的正整数解。 思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。 解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代数式表示x: x = 6 – (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0 所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2 所以，当y = 1时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去; 当y = 2时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去;当y = 3时，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合; 当y = 4时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去。 所以，3x + 4y = 18 的正整数解为：x = 2 y = 3 再例：①、如果x = 3 是方程组的解，求a-b 的值。ax - 2y = 5 y = - 1 2x + by = 3 ax + 5y = 15,①②、甲、乙两人共解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解4x - by = -2,② 为乙看错了方程②中的b，得到的方程组的解为x = 5, 试计算a^2009 + x = - 3, y = - 1, (-b/10)^2010的值。y = 4, 二元一次方程组的解法——消元(整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”) 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来; ②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程哦!)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值; 二元一次方程的整数解 【知识精读】 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中， 若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解 显然a,b 互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。 方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x= 5111y -=y y y y 25 15101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是?? ?-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解???==00y y x x 则通解是? ??-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解： ① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。 【分类解析】 例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解x= 5 3235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是? ??-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解?? ?-==20y x 它的通解是???--=-=k y y x 5290（k 为整数） 例 用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：（1）方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0 y ＋1＝0或y ＋6＝0 ∴y 1＝－1，y 2＝－6 (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0 (2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0 ∴t 1＝2 1，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0 x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0 ∴x 1＝0，x 2＝2 3 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了． (2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解： 原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2． (3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程 6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为： 0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 3 2,2321=- =x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式， 均可用因式分解法求出方程的解。初二解二元一次方程公式知识点
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