尺度表示
摘要我们认为尺度是信号的物理特征，并且来研究它的特点。我们提出一种控制器来表示尺度，研究它的特点和表达。这允许我们来定义尺度变换，能量尺度厚度谱，他是信号尺度值厚度的表示。我们获得明确的平均尺度的表达，尺度频带、瞬间尺度、尺度组延迟。此外，从这些表达中寻求平均时间、平均频率、尺度变量下的频率带宽、持续时间。短的时间变换被定义，它用来获得在给定时间为尺度的条件值。随着窗口缩小，可获得瞬间尺度。卷积和相关定理也源于此。在线性尺度变量的系统下，修正了提法。我们得到了时间尺度和频率尺度的联合表示。一般层面上都提出了相同的时间频率的方法。发现了作为特别情况下的M_A和B_B的联合分布。此外，三个特点的联合表示以及时间频域尺度被修订。做出了一个对于局部尺度自相关函数的大体表述。修正了不确定的尺度的规则、时间、频率、尺度。
1 introduction
尺度类似于频率是信号的一个物理特征。对于给定的信号，我们要问它的频率内容是什么。在频率的情况下，通过傅氏变换来判定频率内容。对于尺度，需要可以表达信号瞬间尺度的变换。此论文的目的在于研究尺度的概念以及其表达和特点，最重要的第一步是有尺度控制器获得尺度变换，对于此控制器的特征值的解决方法，提出了初读变换。类似于瞬时频率、组延迟，我们将介绍相似的尺度概念。我们获得了详细的平均尺度，尺度频带，瞬时尺度、尺度组延迟的表达，得出卷积和相关定理。我们研究方法来获得有关尺度的联合表达，这些有关尺度的方法被一些作者在时间域下做出了修订。此外，我们修订了有关时域尺度的联合表达。频率和时间的一个基本特点是他们的函数解释的关系以及引起了线性非变量系统的转换。基本的尺度特点是压缩，于是我们研究了线性尺度常量系统的方法。我们指出尺度控制器不能判断时间控制器或者是频率控制器。这些表示出时间尺度和频率尺度有一个不确定的规则。我们将要得出这些不确定的规则获得最小不确定信号。
在信号分析中控制器理论的使用被修订用于任意物理变量。基本的方法依赖于S 和C 的工作。我们应用此理论来研究尺度。
Ⅱ 信号的表达和算子算法
在其它的领域，表示或描叙一个信号的基本是由于要常常揭示信号的特性，这种特性也许在时域里无法显现出来。另一个重要的原因是一个信号的产生，传递，状态大约取决于其物理性能而非时间。因此，在这些域内，观察一个信号的状态，表示出表现出的正在讨论的信号，对它做出分析，然后变换会时域。此外，如果我们想构造一个具有已知物理性质的信号，我们显然应该在表现出此性能的域内构造然后转化会时域。表述经常与物理性能有关。例如傅立叶表示，物理性能就是频率。应用相同的手段，我们将去发展尺度的表示，这将在一个域内表示出一个信号，同时，这个域的基本物理可变是尺度。最近，我们已经我们已经研制一种与物理性能有关的算子⑴，⑹，⑺的一种普通算法，它与其他域的算法相识。这导致一种构造研究表现，尤其是综合表现的思想，我们这里回顾一下一些基本的算子算法。
假设我们有一个表示或与物理性能相关的运算子?。这种表示物理性能的算子通常将成为埃尔米特算子。这就意味着对任意两个函数)(t f 和)(t g 。
?
?=dt t g t f dt t f t g *
*)))()(()()(?? （2.1） 现在，假设这个是个埃尔米特算子，那么特征值的处理方法是
),(),(t a au t a u =? （2.2）
产生了特征函数，),(t a u 和特征值，由于是埃尔米特算子，因此特征值是存在的它的特征函数是完备的。这就表明
)(),(),(''*t t da t a u t a u -=?δ；
)(),(),(''*
a a dt t a u
t a u -=?δ （2.3）
因此，时间函数将被表示如
?=da t a u a F t f ),()()( （2.4）
在这里),(t a u 是变换矩阵或基础内核，且)(a F 是a 域中的时间函数。它的反变换为
dt t a u t f a F ),()()(*
?= （2.5）
我们将使用双箭头去表示时间函数和去变换之间的转换关系，)()(a F t f ?。 时间和频率算子?和W 【10】为
dt
d
j
tW -==?（时域） （2.6） ω
d d
j
=?；ω=W （频域） （2.7） 它们满足于以下的基本关系【10】
j W W W =?-?=?],[ （2.8） 算子表达其它的物理变换时，它通常已频率或时间的形式被表达。这就像尺度算子一样。 A. 平均值
也许，我们使用算子算法的最重要的原因是它可以用非常简便的方法计算出平均值。假
假设存在函数)(,a g a ，那么它的平均值为
da a F a g g 2
)()(?= （2.9）
进行评估，首先得到了一个转换)(a F ，然后对整体进行评估。然而，我们不需得到)(a F ，我们可以从时间函数中直接得到平均值，通过
dt t f g t f g )()()(*?=? （2.10）
公式（2.9）和（2.10）的右边式子的等价是众所周知的。一个简单的例子讲给予那些对这个结果不太熟悉的读者。进行替换，将（2.4）中)(t f 放入（2.10）中，我们将会得到
???=da dtda t a u a F g t a u a F g ''*'*),()()(),()(? （2.11）
现在，),()(),()(t a u a g t a u g =?因此
???=da dtda t a u a F a g t a u a F g ''*'*),()()(),()( （2.12）
??-=da da a a a F a g a F '''*)()()()(δ
?=da a F a g 2
)()( （2.13）
B. 特征函数算子
对于密度)(a P ，我们定义a 的特征函数通过
?==da a P e e M a j a j )()(ααα (2.14)
特征函数独特的决定分布 ?-=
da e M a P a j ααπ
)(21
)( (2.15) 因为特征函数是一个平均值,那么a j e α的平均值,将被计算出使用
C. ?=dt t f e t f M j )()()(*α?α (2.16) 备注
1：算子用书法字体表示。两算子
的对易用标准的概念表示
。不定积分根据具体情况指定合适的积分区域。由于尺度算子
给出的是连续谱，所以把该基本方法解释为连续谱求和。尽管特征值问题在任何形式下都能求出，我们还是假设式（2.2）中的算子是时域形式，这样表达就很方便。同时我们假设基组是自倒的（self reciprocal.）。
2：把2
()F a 作为密度的原因在参考文献[1],[2],[7]中有详细介绍。
这里?是一个算子相当于可变a ,我们将a j e α称为特征函数算子.精确的展示⊙产生以变换的形式由2
)(a F 给定并表是)(t f 的密度，得到
????=dadt da t a u a F e t a u a F a M j ''*'*),()(),()()(α? （2.17）
但是=),(t a u e j α?),(t a u e a j α,给出
??-=da da a F a a e a F a M a j '''*)()()()(δα
?=da e a F ja α2
)( （2.18） 这表明
2
)()(a F a P = （2.19）
Ⅲ.尺度算子
表述信号特征的基本量是算子。我们采用如下的算子去表示尺度 )(2
1
?+?=
W W （3.1） 并且使用更低c 去表示尺度值。随后基本的关系表明了它划分或压缩时间函数
)(t f 和频率函数)(ωF ，
)()(2t e f e t f e j σδσ=
)()(2t e F e F e j σδσω--= （3.2） 并且
)()(ln t f t f e j σσσ=
)(1)(ln σωσωσF F e j = （3.3） 因此，算子 σj e 压缩自变量。我们可以将它称为压缩算子。因子2σe 的意义是保持正常化，同时它在自动方式下进入是由于算子的单一性。压缩算子应该与时间和频率函数的翻译算子形成鲜明的对比。
)()(ττ+=t f t f e W j ； )()(θωωθ-=?F F e j （3.4） 压缩算子（3.2）的基本性质可以用大量的方法去证明。我们现在给出单纯的代数证明，并在Ⅳ部分中，我们会基于尺度算子特征函数的证据。首先，我们已经构造了
n n t n j t )2
1
(+-= （3.5）
重复k 次后
n k k n k t n j t )2
1
()(+-= （3.6）
现在
∑∞
==0
!)(k n
k k n
j t k j t e
σσ
n n k n k k k t e t n j k j )21(0)21
()(!)(+∞
==+-=∑σσ （3.7）
基于二进制函数)(t f 获得 σj e 的操作。我们通过一系列能量去扩充函数 =)(t f e j σ∑n n j t a e σ=n n n t e a )21(+∑σ=)(2t e f e σσ (3.8)
尺度算子采用了量子光学的理论，这种理论论述了创造和毁灭算子【22】并于仿射群【17】-【19】有关。同时，Klauder [23]已经将它应用到了路径积分和量子重力中去。 通过使用（2.8）我们能够写尺度算子用下面替代性的方法 ?-
?=j W 21 =?+?j W 2
1
（3.9） 这里?是一个集成算子。 A. 的基本性质
尺度和时间是不能相互交换的，实际上，
?=?j ],[
（3.10）
它的意义是我们不能找到一个普通的表达从而使尺度和时间算子对角化。另外，，它表明我们必须有不确定的法则如同在ⅪⅤ中讨论的一样。然而，时间与时间和尺度转换器间的转换为
[][]0,,=??
（3.11）
但是时间和尺度的转换器不能与尺度相转换
[][]?=? ,,
（3.12）
时间算子和尺度之间的对数存在着有趣的关系
[] ,ln,?=j
（3.13）
B.尺度和频率
频率和时间可以得到相似的评价，相关的转换关系是
[]jW W -= ,； [][]0,,= W W （3.14） [][]W W -= ,,； []j W -= ,ln （3.15）
四 尺度特征值问题和尺度变换
为了获得尺度运算的表达式我们需要解决特征值问题
用符号(,)c t γ表示尺度特征函数，时域中特征值表达式为：
很容易得出特征函数：
满足完整性
相应的，而对于一个信号来说，从负无穷到正无穷中正负时间段要分开计算，由于其完整性和正交性函数能扩展成下式：
反变换为：
其中()D c 可以写成
表明是复杂参数12jc -+的梅林变换。定义梅林公式的这些值的反变换为
（4.6）（4.7）。另外，强调c 必须是实数且取值范围为负无穷到正无穷。事实上他们是共轭算子的特征值。过去已有文献已经实现梅林变换尺度，[13]-[16]及其参考文献。[15][16]中介绍了Marinovich 的联合分布，[17][19]和[4]根据梅林变换的尺度特性推导出特殊联合表达式。 A 尺度变换
定义D(c)为尺度变换；2
()D c 为能量尺度谱密度类似于傅里叶变换中的能
量谱密度。下面列举一些尺度变换中的基本性质。这些性质能被简单推导或者根据梅林变换指数为12jc +详细说明已知结果。首先尺度变换是线性的，复数共
轭的尺度变换为*()D c -。另外一些主要的性质是：
时间尺度：
()f t 和()a f at 有同样的能量尺度谱密度2
()D c 。这一结果表明任何函数的
缩放其能量尺谱密度是不变的。类似于一个函数的变换不改变其能量密度谱。
也就是说，一个函数()f t 的导数的尺度变换是()f t t 尺度变换的12jc +倍。
B. 尺度特征函数的性质
下面列出一些对计算有用的特征函数的代数性质
C.压缩算子作用的交替证明
现在，我们给出压缩算子)2.3(的交替证明。他用到了尺度特征函数拥有
c j e σ),(t c γ=2σe ),(t e c σγ的性能。
=)(t f e j σ σj e ?)(c D ),(t c γdc ?=)(c D c j e σ),(t c γdc
?=)(c D 2σe ),(t e c σγdc )(2t f e σ=
（4.15）
D.尺度变换里的时间和频率
算子算法的基本思想是，允许我们可以计算任何形式的期待值。尤其是时间函数)(t g 我们可以在尺度的时间表示去计算其期待值，通常表述为
???==∞
c g c D dt t f t g t g ()()()()(*0
2
dc c D )() （4.16）
这里c ?是尺度表达里的时间算子。频率算法里也有相识的标识C W 。这些算子被精确给予通过
c ?)exp(dc
d
j
= C W =()j c -)exp(dc
d
j
- （4.17） 这些合适的算子可以直接被改变或者使用转换算子【25】，【26】
的方法，他们的方式是
c ?)()(j c D c D +=
C W )()()(j c
D j c c D --=
(4.18)
这里)(c D 是一个二进制尺度函数。 E.与其它算子间的联系
Mellin 变换，Laplace 变换和Fourier 变换之间的联系是众所周知的【24】。因为我们正在处理Mellin 变换的复杂关系,论证了合适的傅里叶变换。尤其是，假设我们定义了一个信号)(t f l
)(t f l =
)(ln 1t f t
（4.19）
然后
=
)(c D l π21dt t
e t
f t
jc l ?∞
-0ln )
(
π
21=
dt t
e t
f t
jc ?
∞
-0
ln )(ln
π
21=
dt e t f jct ?
∞
-0
)( (4.20)
这里,)(t f 的傅立叶变换,同时 )(c F )(c D l =.相反,我们可将傅立叶变化认为成函数2)(t t e e f 的尺度变换.假设我们定义
=)(t f k 2)(t t e e f
(4.21)
然后, )(t f k 的傅立叶变换是
=
)(c F k π21dt e t f jct k ?
-)(
=
π
21?
∞
∞
-2)(t t e e f jct e -dt
=
π
21)()
(ln t D dt t
e t
f t
jc =?-
(4.22)
最近,Laine [27]
和Baraniuk 和Jones [28],[29]正在研究的有趣的变换，它的尺度变换
是一种特殊的案例。Laine 研究变换形式的核心。
=
),(a t u π
21)('t g )(t jag e -
（4.23）
这里g 是一个生成函数，他已经指出这些生成的变换有着有趣的性能并且将这些性能与小波变换进行比较讨论。这种尺度变换是一个特殊的例子，这里a 视为尺度c 和t t g ln )(=。Baraniuk 和Jones [28],[29]研究翘曲函数或坐标变换的一种，通过
))(()()('t w s t w t s →
（4.24）
这里)(t w 是一个翘曲函数。他们已经指出。怎样使用坐标变换去得到不同的表达
尤其是在研究尺度时。同时，他们也将着应用到了联合表示中。参看ⅩⅤ部分。 F.相关与卷积
最近，获得卷积和相关的定理的一般方法已经开发为二进制的算子【2】。当这些应用于尺度算子时，我们可以得到：假设信号)(1t f 和)(2t f 各自的尺度变换为
)(1c D 和)(2c D ，然后变换为?)(t f )(1c D )(2c D 的信号被给通过
信号变换为12()()()f t D c D c ?表示成：120
11
()(1)()2f t f f t d ττττ
π
∞
=
?
120
11
()()2f f t d ττττ
π
∞
=
?
（4.24）
并且，其变换为12*()()D c D c 的信号是：
120
11
()*()()2f t f f t d ττττ
π
∞
=
?
（4.25）
当然，这些特殊情况也可以用其他方法推导出来，但使用此方法的优势就在于我们可以为任何执行者推导出以上式子而且不利用其特殊情况下的性能[2]。另外，上述关系式可以利用梅林变换中的专业卷积定理求出[24]。
五 性能函数
尺度性能函数为：
()*()()j e M f t e f t dt σσ∞
=? （5.1）
20
*()()f t e f e t dt σσ∞
=?
220
*()()f e t f e t dt σσ∞
-=? （5.2）
其频谱给出为：
22()*()()M F e w F e w dw σσσ-=? （5.3）
其分布通过傅里叶反演导出：
许多学者已经通过不同的方法推导出尺度的分布[14]-[19]。
总能量守恒：一个信号的总的能量E ，是将所有时间能量密度2
()f t 进行积分得出的，同时，也可以通过积分所有尺度的2
()D c 得到。其定义为下式：
这个式子说明在变换过程中保存了总能量。这是用Parvial 定理对频率的模拟。
六 平均尺度和带宽
给出平均尺度公式：
如果写成相位和幅度的形式这个式子可以写成：
如果在（6.1）式中将其代替尺度变换，将会得出下面一些代数式[6.6]。但是若利用方法(2.10)可以很容易推导出这个关系式，相应得出：
但，
因此
但是，第二次积分的被积函数是一个微分，2211
('/)()(/)22
tA A A t d dt tA +=，而且
如果我们假设这个信号幅值为零，在零到无穷上求积分结果为零。因此
尺度带宽定义为：
尺度带宽可以通过直接代入来估计，很容易计算：
估计得出：
平均尺度和带宽都可以用频谱来表示。若将傅里叶变换写成相位和幅值表示的形式，()()()j w F w F w e ψ=，然后
信号的协方差：两个变量的协方差是这两个变量相关性的平均体现，在时域和频域中我们可以用这个公式定义协方差：
这么做的理由是因为如果我们认为错误！未找到引用源。是瞬时频率那么错误！未找到引用源。就是这两个变量在时域和频域的初始混合时间（first mixed moment ）,然而当时域被群延迟错误！未找到引用源。定义切频率是w 时候，我们可以在频域内自定义位置（place ourselves ）,因此，我们有足够的理由定义协方差
虽然他们等价的理由不是很明显，但是因为
协方差的概念在文献【30】中被讨论，我们谈及协方差因为错误！未找到引用源。代表了平均值的量。的确公式6.16的证明在这里被引出，我们也指出公式6.16的重要性因为他通过傅里叶变换将频域和时域联系了起来。我们也发现6.13的积分限是从负无穷到正无穷。
七．快速数值变换
假设我们想要研究一个数据的瞬时值，在傅里叶变换的情况下，我们给要变换的时间附近加窗函数，特别的，我们用给数据加窗函数，并且定义快速变换为：
时间和数值的联合分布函数为：
时间边缘（time marginal）函数是：
我们可以明确的把窗函数的相位和振幅的关系明确的表示为
八 INSTANTANEOUS Scale
我们现在已经得到了两个瞬时值的概念，第一个基于快速信号变换而第二个基于
数值频宽方程，这两种方法得出了一个同样的结论，关于这个的讨论参见文献（6）A.快速数值变换
利用快速数值变换平均值由时域表示
这个可以被看成给定时间内的数值平均值，我们现在用一个简单的方法来评估这个值。注意到（8.1）和（6.1）用的是同样的方法只是错误！未找到引用源。代替了D,因此我们可以这样表示
其中：
直接评估：
方程（8.4）时域内的数值评估，我们的目的是获取瞬间数值，当我们把窗函数渐渐变窄的时候我们会获得更加精确的值，尤其当我们将窗函数变为一个脉冲函数
并且我们认为真正的窗函数是不考虑相位因素的，在这个前提下，我们发现了边
缘，在7.3中被给出于是8.4中的算子变成了
而
我们称它为瞬时值错误！未找到引用源。
条件均值和全局均值的一般关系是全局均值是条件均值的平均。对于尺度，我们期望
并且这的确是通过参照（6.6）能够看到的情况。
与时域的瞬时尺度类似，我们可能寻找频域的瞬时尺度C ，即对一个给定的频率的尺度值。相同的讨论得到了
B．带宽方程
在第Ⅵ部分，我们推导出了对于带宽尺度的一个表达式（6.9）。我们的目的是表明它有一个物理解释，并且利用它推导出瞬时尺度带宽。另外我们会给出关于瞬时尺度的一个替代推导。
为了方便我们把（6.9）式写在这里
为了理解这个等式的意思，首先考虑有关两个变量x和y,以及密度P（x, y）的一般问题。直接说明[31]y变量的标准偏差是通过下式给出的
其中是条件平均，是条件标准偏差。P（x）是x点的密度。把这个等式与（8.7）的情况进行比较。对于瞬时尺度，暗示选取，并且通过下式定义尺度（瞬时尺度带宽）的局部标准偏差
这与Cohen 和 Lee[31]提出的瞬时带宽概念类似。
C．频率
通过使用（6.11），对于在某一频率的尺度和它的条件标准偏差，我们有一个相似的解释，
IX．尺度表示中的平均时间和持续时间，以及尺度群时延信号的平均时间通过下式定义
有趣的是在尺度表示法中表达这个。这样做，可以用D(c)替代f(t)代入（9.1），
做代数学推导出（9.5）。但是，由于我们知道时间算子在尺度表示中我们能够通过下式计算平均时间
对于时间算子使用（4.17），对于它对任意尺度函数的作用使用（4.18），我们有
我们现在把分解为实部和虚部
我们知道时间算子是Hermitian (厄密共轭/中心对称)，它的平均值一定是实部，并且虚部一定整合到零。因此，
我们指出
它是tf(t)的尺度变换。
持续时间：持续时间是
对这个表达式进行处理得到
X.平均频率以及尺度表示中的带宽
为了在尺度表示中得到平均频率，我们再次使用算子的方法，
其中，平均频率在尺度表达中表示。
由于频带宽度为Bw,有
聚类尺度延迟：我们为频率类推聚类延迟来介绍聚类尺度延迟的概念。聚类延迟是已知频率的时间平均。类似的，我们定义尺度聚类延迟为已知尺度的时间平均。因此，它是已知尺度的时间条件相应错误！未找到引用源。,我们希望此数量可以通过下面公式与时间平均联系起来
由式（10.2）与式（8.8）可知，
在参考文献【6】中给出了这些关系的另一种推导方式。
我们也可以由一个已知的频率错误！未找到引用源。来定义聚类尺度延迟。由以上相同的参数可得
XI 解析尺度信号与滤波
在频域表示中，解析信号由【10】【32】【33】定义。首先，允许对信号的幅度和相位做模糊地定义；然后，去除负的频率。我们通过对信号的负的尺度值进行零输出，就得到解析尺度信号z(t)。
两确定系数中z(t)的实部是原始信号。用同样的方法可得到解析信号。
以上情况可看作是滤掉负的尺度值。更多的在频域滤波的一般概念如下。假设有一信号，我们想要去掉某一特定频率，可通过与其傅里叶变换相乘来实现这些频率的零输出。这种傅里叶变换不考虑频率因素。通过将改进的傅里叶变换反相可得到新信号。类似的，如果我们有一个信号f(t)，相应的尺度变换F(c)，并且想要滤掉一些尺度值，我们将F(c)函数H(c)相乘，得到
G(c)=F(c)H(c) (11.3)
时域函数的滤波变换：
但是我们已经通过（4.24）知道了答案：
其中
XII 线性尺度不变系统
我们的目的是用与定义频率公式相同的方法规定线性尺度不变系统，其中线性位移不变系统是一个参考。我们已经给出一种由任意算子得到系统函数的一般方法【2】，现详细说明尺度缩放情况的方法。正如在标准情况中，我们用输出信号(————第开始3284)g(t),与输入信号飞f(t)相乘