11．已知Rt △ABO 的三个顶点A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，则其内切圆方程为( )
A ．(x －1)2＋(y ＋2)2
＝4
B ．(x －12
)2＋(y －1)2
＝1
C ．(x －
52)2＋(y －52)2＝54
D ．(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝3－5
2
4
解析：选D. 设内切圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，如图所示，则有a ＝b ＝r .
又∵|OA |＝1，|OB |＝2，|AB |＝5，
∴r ＝|OA |＋|OB |－52＝1＋2－52
＝3－52，a ＝b ＝3－52.故内切圆的方程为(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝3－5
2
4.
12．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现在用一个竖直的平面去截这个几何体，所得的截面的图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
解析：选D.这是圆柱和圆锥构成的组合体．当竖直的平面经过圆柱的轴时得到图(1)，当竖直的平面不经过轴时，得到的是图(5)．故选D.
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的 ________心；
(3)若P点到三边AB，BC，CA的距离相等且O在△ABC内，则O是△ABC的________心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则O是AB边的______点；
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则O点在________上．
解析：结合三角形的外心、内心、垂心的知识判断，外心到各顶点的距离相等，内心到各边的距离相等，垂心是高线的交点．
(1)由三角形全等可证得O为△ABC的外心．
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得O是△ABC的垂心．
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得O是△ABC的内心．
(4)由三角形全等可证得O是AB边的中点．
(5)由(1)知，O在BC边的高线上，或者说在∠BAC的平分线上，或者说在BC边的中线上．
答案：(1)外(2)垂(3)内(4)中(5)BC边的高线或∠BAC的平分线或BC边的中线14．如图(1)直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图(2)、(3)所示，则其左视图的面积为________．
解析：其左视图是底为
3
2
×2＝3，高为2的矩形．
所以面积S＝2×3＝2 3.
答案：2 3
15．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
解析：圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为52，圆半径为3 2.
由图形可分析出，半径最小的圆的半径是2，圆心为(2,2)，所以圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2.
16．过定点M(1,2)的两直线l1与l2，l1与x轴交于点A，l2与y轴交于点B，且l1⊥l2，则线段AB中点的轨迹方程是____________．
答案：2x＋4y－5＝0
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．自点M(1,3)向圆O：x2＋y2＝1引切线，求切线方程及切线的长．
解：点M(1,3)在圆O：x2＋y2＝1外，因此过点M向圆引切线有两条．
①当直线的斜率不存在时，切线为x＝1；
②当直线的斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－1)，根据切线垂直于过切点的半径，
得d＝|k－3|
1＋k2
＝1，解得k＝
4
3
，直线为4x－3y＋5＝0.
综上可知，切线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
由于半径、切线段和OM组成直角三角形，故切线长为
d′＝1－02＋3－02－12＝3.
18．正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．
(1)求证：AP⊥EF；
(2)求证：平面APE⊥平面APF.
证明：(1)∵∠APE ＝∠APF ＝90°， PE ∩PF ＝P ，
∴PA ⊥平面PEF .∵EF ?平面PEF ， ∴PA ⊥EF .
(2)∵∠APE ＝∠EPF ＝90°， AP ∩PF ＝P ， ∴PE ⊥平面APF . 又PE ?平面APE .
∴平面APE ⊥平面APF .
19．已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点O ？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解：法一：假设存在且令l 为y ＝x ＋m .
圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9，圆心C (1，－2)，
则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点，即N (－m ＋12，m －1
2
)．以
AB 为直径的圆过原点，|AN |＝|ON |.
又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |
2
，
所以|AN |＝CA 2
－CN 2
＝9－
3＋m 2
2
.
又|ON |＝
－
m ＋1
22
＋
m －1
2
2
，
由|AN |＝|ON |，得m ＝1或m ＝－4.
所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二：假设存在，令y ＝x ＋m ， 由?
????
y ＝x ＋m ，x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0， 消去y ，得2x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2
＋4m －4＝0.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB .
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2
＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.
由方程①，得x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝
m 2＋4m －4
2
.② y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2
＝0.
把②代入，m 2
＋3m －4＝0.解得m ＝1或m ＝－4. 将m ＝1和m ＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0， 所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.
20．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝
CD
4
，H
为C 1G 的中点，
求：(1)FH 的长；(2)三角形FHB 的周长．
解：如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为
z 轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，B (1，1,0)，G (0，3
4
，
0)，C 1(0,1，1)．
(1)因为F 和H 分别为BD 和C 1G 的中点，
所以F (12，12，0)，H (0，78，1
2)．
所以FH ＝ 12
－02
＋
12－78
2
＋0－
1
2
2
＝
418
. (2)由(1)可知FH ＝418
， 又BH ＝
1－0
2
＋
1－78
2
＋0－
1
2
2
`＝98
，
BF ＝
22
， 所以三角形FHB 的周长等于
42＋41＋9
8
.
21．如图所示几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少．(π＝3.14)
解：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm.
故正方体的表面积为16×6＝96 cm 2
，
一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28 cm 2
，
几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68 cm 2
. 22．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋．如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？
解：半球形的冰淇淋的体积与圆锥的体积大小，决定着融化了的冰淇淋是否会溢出杯子． 由图形可知半球形的冰淇淋的半径为4 cm ，圆锥的高为12 cm ，圆锥的底面圆的半径为4 cm ，
∴冰淇淋的体积V 1＝23πR 3＝1283π(cm 3
)．
圆锥的体积V 2＝13πR 2·h ＝1923
π(cm 3
)．
由于V 1
