一、中考数学压轴题
1．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将
ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿
A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．
（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使
//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0 图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值． （2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在 BC 上以每秒 3 的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 2．已知抛物线217 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 3．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 4 5 B =，点O 是边B C 上的动点，以OB 为半径的 O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作 ∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ． （1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长； （2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长； （3）将 O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求 O 的半径长． 4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数； （3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数” 求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 5．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ． （1）求证：△PFA ∽△ABE ； （2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由； （3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ． 6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点 D ，A E 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心 F 恰好在y 轴上， ⊙F 与y 里面相交于另一点G ． （1）求证：BC 是⊙F 的切线 ； （2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 7．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1 y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数2 1y ax =，后3分钟满足反比例函数 关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟． （1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式； （2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式； （3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______； （4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻． 8．问题提出 （1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积． 问题探究 （2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且 2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值． 问题解决 （3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值． 9．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC 、 BC ，已知点A 、C 的坐标为()2,0A -、()0,6C -． （1）求抛物线的表达式； （2）点P 是线段BC 下方抛物线上的一动点，如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 的坐标； （3）如图2，若点M 是AOC △内一动点，且满足AM AO =，过点M 作MN OA ⊥，垂足为N ，设AMN 的内心为I ，试求CI 的最小值． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ． ①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长； ②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标． 11．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）． （1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= ° （2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °． ②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由． （3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数． 12．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与 x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式； （2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的 坐标为() 0,t，线段AH的长为d．求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （3）过点C作x轴的垂线，过点G作y轴的垂线，两线交于点M，过点H作HN GM ⊥ 于点N，交直线CD于点K，连接MK，若MK平分NMB ∠，求t的值． 13．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连 接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝1 3 ，BC＝ 8． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OC； （3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积． 14．在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，点M在CB的延长线上，且 PC PM =，连接PA． ()1如图①，求证：PA PM =； ()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ?∠=求证 =PC AM ； ()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是 15．如图1，抛物线2 3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ，与y 轴交于点C ，顶 点D 的横坐标为1，对称轴交x 轴交于点E ，交BC 与点F . （1）求顶点D的坐标； （2）如图2所示，过点C的直线交直线BD于点M，交抛物线于点N. ①若直线CM将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1，求点M的坐标； ②若NCB DBC ∠=∠，求点N的坐标． 16．已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG 绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF． （1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时． ①求证：DF=PG； ②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD的面积； （2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 17．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣1 2 x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B 在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标； （3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与 CD 相交于点E ． （1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积； （2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上，点C 在y 轴上 90ACB ∠=?，OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根，且OC OB <． （1）求点A 的坐标； （2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于 t 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，当1 2 d = 时，请你直接写出点P 的坐标． 20．在Rt ABC ?中，6AB =，90B ∠=?，8BC =，点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒，点Q 从C 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒，P 、Q 同时出发，点Q 到点B 时两点同时停止运动． （1）点P 在线段AC 上运动，过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ，2t =时，求PD PQ 的值； （2）运动t 秒后，90BPQ ∠=?，求此时t 的值； （3）t =________时，AQ QP =． 21．ABC 内接于 O ，AB BC =，连接BO ； （1）如图1，连接CO 并延长交 O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ； （2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠； （3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为 O 上一点，连接ED 、 OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=?，若OF 3=，FH 4=，1362 EBD S ?= OE ，求线段OE 的长． 22．已知抛物线2 y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在 x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛 物线2 12y ax bx =++过D ，C ，E 三点． （1）当//DE AB 时， ①求抛物线的解析式； ②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ， H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值． （2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在 x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．． 点E 的坐标． 24．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ； （2）求∠AEB 的度数； （3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求 AF DE 的值． 25．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当2≤a ≤3时， ①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________； ②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围； （2）已知函数()1 0Z x x x = +>，请利用特征点求出该函数的最小值． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、中考数学压轴题 1．C 解析：（1）2 2 33 (06)2 253103343(68)333031503(810)2t S t t t t t + ???=+- ?-+ ，S 的最大值为632）存在，m 的值为165或32163-16 3 或1423-. 【解析】 【分析】 （1）分06t 、68t 和810t 三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可． （2）分两种情形：①如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，即8m =．当RP BR =时，当PB BR =时，当PR PB =时，分别构建方程求解即可．②如图32-中，作RH BC ⊥于H ．首先证明90BPR ∠=?，根据BP PR =构建方程即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图21-中，当06t 时，点P 与点Q 都在AB 上运动， PM AC ⊥，//NQ PM ， 90ANQ AMP ∴∠=∠=?， AQ t =，2AP t =+，60A ∠=?， 1122AN AQ t ∴= =，33QN AN t ==，112AM t =+，33PM t =+． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为33S t =+． 如图22-中，当68t 时，点P 在BD 上运动，点Q 仍在AB 上运动． 则AQ t =，12AN t =，142CN t =-，3 QN =，6BP t =-，10DP t =-， 3(10)PM t =-， 而43BC = 故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为： BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形 )()3111 434433106222t t t ????=+?-+-?- ?????? 2 53103343t =+- 如图23-中，当810t 时，点P 和点Q 都在BD 上运动． 则202DQ t =-，(202)3QN t =-，10DP t = -，(10)3PM t =-． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t t =-+． 故S 关于t 的函数关系式为2 2 33 (06)53103343(68)333031503(810)t t S t t t t t t ?+ ????=-+- ?-+ ， 当06t 时，S 随t 增大而增大， 当68t <时，S 随t 增大而增大， 当810t <时，S 随t 增大而减小， ∴当t=8时，S 最大，代入可得S=63； （2）如图31-中， 由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，8m =． 当RP BR =时，3PB BR =，则有3 83m -=，解得165 m = ， 当PB BR =时，则有3 8m -= ，解得32163m =- 当PR PB =时，3BR PB =3 3(8)m -，解得163 m = ． 如图32-中，作RH BC ⊥于H ． 在Rt △CHR 中，2(8)CR m =-，30RCH ∠=?， 1 82RH CR m ∴==-， 8BP m =-， RH BP ∴=， HR BP ∥， ∴四边形RHBP 是平行四边形， 90RHB ∠=?， ∴四边形RHBP 是矩形， 90BPR ∴∠=?， 当BP PR =时，则有83(12)m m -=-，解得1423m =- 综上所述，满足条件的m 的值为165或32163-16 3 或1423-． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或4 17k 或 4 17k 时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】 （1）从2 1 7202 2 x mx m 的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得； （2）根据抛物线的对称轴32b x a 来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转 化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标； （3）根据平行四边形的性质得到：2 15 |1(3)|42 2 MN k k k CD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2 1 51(3)42 2 MN k k k ，通过 解该方程可以求得k 的值； ②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)42 2 NM k k k ，通过解该方程可以求 得k 的值． 【详解】 解：（1） 2 2 17()4(2)(2)32 2 m m m ， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥， 2 (2)3 0m ， ∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程217202 2 x mx m 总有两个不相等的实数 根， ∴无论m 为何实数，抛物线217 22 2 y x mx m 与x 轴总有两个不同的交点． （2） 抛物线的对称轴为直线3x =， 3 122 m ，即3m =， 此时，抛物线的解析式为22 1513(3)22 2 2 y x x x ， ∴顶点C 坐标为(3,2)-； （3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线 的下方），如图所示， 由已知2 15(3,2),(,1),(3)2 2 D M k k N k k k ，， (3,2)C ， 4CD ∴=， 2 1 51(3)42 2 MN k k k CD ， ①当四边形CDMN 是平行四边形， 2 1 51(3)42 2 MN k k k ， 整理得，28150k k -+=， 解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形， 2153(1) 42 2 NM k k k ， 整理得2810k k ， 解得，12 4 174 17k k ，， 综上，5k =或4 17k 或4 17k 时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行 四边形． 【点睛】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 3．D 解析：（1）DF 的长为15 8；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258 ． 【解析】 【分析】 （1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用 cos 4 5 B = 解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ?~?，得到 AF MF AF DF NF MF NF DF =?=，再通过平行证明AFN DFM ?~?，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF =?=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案． （3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=?，再利用 cos 4 5 B = 解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ： ∵E 为AB 中点，45,cos 5 AB AD DC B ==== ∴52 AE BE == ∴cos 4 5 BH B BE = = ∴2BH = ∴2 253222EH ??=-= ??? 设半径为r ，在Rt OEH ?中： ()2 2 2322r r ?? =-+ ??? 解得：2516 r = ∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠ ∴//MF AB ∴四边形BMFA 是平行四边形 ∴2528 AF BM r === ∴2515588 FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ， ∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠ 又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ?~? ∴ AF MF AF DF NF MF NF DF =?=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ?~? ∴ AF NF AF MF NF DF DF MF =?=② 由①?②得; 22AF NF AF NF =?= ∴NF DF = ∴5MN AD == 故MN 的长为5； （3）作如图： ∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切 设圆N 半径为R ，圆O 半径为r ∴'=NO R r NO -= ∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO ∴90NMC ∠=? ∵90BAM CMN ∠=∠=? ∴A 点在圆上 ∴54 cos 5AB B BM BM = == 解得：25 4 BM = O 的半径长为 258 【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键． 4．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999； （2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均 是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到12 2 a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”； （3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】 解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999； （2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤， ∴a 的可能取值为1，2，3，4； ∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ， 当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12， ∴a+m =12?m +2a ，解得：12 2 a m += ， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8； 当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848； （3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++ 1100()11()a b c d =+++ 由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+， ∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，
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