为获得最佳体验，请在 Acrobat X 、Adobe Reader X
或更高版本中打开此 PDF 包。
立即下载 Adobe Reader ！
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 33 33=π =π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π? = （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 126 1 12+?+?=6个 74.062r 224r 34 6x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
§ 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd)
体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。
第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b ,
第二章 固体的结合 晶体结合的类型 晶体结合的物理本质 固体结合的基本形式与固体材料的结构、物理和化学性质有密切联系 § 2.1 离子性结合 元素周期表中第I 族碱金属元素（Li 、Na 、K 、Rb 、Cs ）与第VII 族的卤素元素（F 、Cl 、Br 、I ）化合物（如 NaCl ， CsCl ，晶体结构如图XCH001_009_01和XCH001_010所示）所组成的晶体是典型的离子晶体，半导体材料如CdS 、ZnS 等亦可以看成是离子晶体。 1. 离子晶体结合的特点 以CsCl 为例，在凝聚成固体时，Cs 原子失去价电子，Cl 获得了电子，形成离子键。以离子为结合单元，正负离子的电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定的球对称性的电子壳层结构； , , , Na K Rb Cs Ne Ar Kr Xe F Cl Br I ++++? ? ? ? ? ? ?? 离子晶体的模型：可以把正、负离子作为一个刚球来处理； 离子晶体的结合力：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体； 一种离子的最近邻离子为异性离子； 离子晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）； 由于离子晶体结合的稳定性导致了它的导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小；
大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。 氯化钠型(NaCl 、KCl 、AgBr 、PbS 、MgO)(配位数6) 氯化铯型(CsCl 、 TlBr 、 TlI)（配位数8） 离子结合成分较大的半导体材料ZnS 等（配位数4） 2. 离子晶体结合的性质 1）系统内能的计算 晶体内能为所有离子之间的相互吸引库仑能和重叠排斥能之和。以NaCl 晶体为例，r 为相邻正负离 子的距离，一个正离子的平均库仑能：∑++?++3213 21,,2 /122322222102) (4)1('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个负离子的平均库仑能：∑++??++3213 21,,2 /122322222102) (4)1()('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。 321,,n n n 一个原胞有两个离子，其原胞的能量：∑++?++3213 21,,2 /122322222102)(4)1('n n n n n n r n r n r n q πε 即r q n n n r q n n n n n n 02 ,,2 /123 222102 4)()1('4321321πεαπε?=++?∑++ ∑++?=?++321321,,2 /123 2221)()1('n n n n n n n n n α——α:马德隆常数，完全取决于晶体的结构。 几种常见的晶体晶格的马德隆常数 离子晶体 NaCl CsCl ZnS 马德隆常数 1.748 1.763 1.638 相邻两个离子因电子云有显著重叠时的排斥能：或者 /r r be ?n r b
第一章 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为() 3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为() 2/3/43 R ,单位体积 晶体中的原子数为() 3 3 /4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为 () 3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为() 4/2 /43 R , 单位体积晶体 中的原子数为() 3 2 /4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 2/323 ???? ? ?=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2 a 的晶体为何种结构? 若 =3a () k j +2 a +i 2 3a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2 a ()k j i -+ . w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若
《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3
所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-=T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3 /222 0)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答]
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3
黄昆版固体物理学课后答 案解析答案 Prepared on 24 November 2020
《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3= ?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083 )r 3 34(r 34 2a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2a 2 33
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 2 33 C S ==? =? n=1232 126 112+?+?=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ? =+?? ?=+?? 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π = ?Ω 3 1230, ,22 (),0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??= =，2 23,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++ 同理可得：232()2() b i j k a b i j k a π π= -+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 33 33=π =π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 126 112+?+?=6个
（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3=??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++?? ?=-+?? ?=+-?? r r r r r r r r r r r r
3$57 21( Q01_01_001 ?? p ? ??? ?? 3 ∑ 33p ∑喟Q01_01_002 ? 喌 ? ?7 月, 14 ? ? Q01_01_004? ? ?????314a : 喛 せ? ?? ????3 34(2)*a S : Q01_01_005? ? ?????32a : 喛せ? ?? ????3 3 2(2)*a S : Q01_01_006 ν? 月喌 ク ? ?? ? ? ? ?? ? ? Q01_01_007? ? ? 喌???? ? ? ? ??? ???? 1喏4?? ? 喌 ?? 8?? ? Q01_01_008 ? ? ? ? ν ? 喌 ? 1? 喛 Q01_01_009 ? ? ? ???? ?喌 ?? ??? ??? ?喛 ???????? 喈 喉???喌 ? ??? ? ???? ??? ?? ? ?喌?? ? Q01_01_010? ? ??? ? 喌 ? ?? 喌?? ? ??? ij j i b a SG 2 G G ˉ? -z ) (0 ) (2j i j i S 月?1b G ,2b G ,3b G ? ?喌?322211b h b h b h G h K K K K ? 喌 ??? ??? ? ? ? ? ? 喌 ? ?? ??Д?? ?Q01_03_001?N ? ? ? ?喌 ?? l ? 喌 ? 3lN ??? ?? ???Q01_03_002 ?????Z 喌 ??? ????Z = q K =? Q01_03_003 ∑ Д ?? ∑ ? ∑ 喌 Л ??? ?? Q01_03_004?? ? ?喌 ?? ? ??喌 ∑???? °ˉ °?-o r 0,02,)2(211q a q M S E Z 喛 ∑???°°ˉ°°?-r o a q m q 2)2(0)2(21 2 1 2S E P E Z Q01_04_001? ?? ?L 喌??? ???? ∑ ikx e L x 1)( \喛??m k E 22 2= 喛
第一章晶体结构 1.晶格实例 1.1面心立方（fcc）配位数12格点等价格点数4致密度0.74 原胞基矢： () () () 1 2 3 2 2 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ 原胞体积3 123 ()/4 Ωa a a a =??= NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl- 具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等） 1.2简单立方（SC）配位数6格点等价格点数1致密度0.52 CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl- 钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3 氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等 1.3体心立方（bcc）配位数8格点等价格点数2致密度0.68 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k =-++ =-+ =+- 原胞体积：3 123 ()/2 Ωa a a a =??= 体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等 1.4六角密堆（hcp）配位数12两种格点原子数6基元数3致密度0.74 典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等 1.5金刚石结构最近邻原子数4次近邻原子数12致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B) *将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等 2.晶体的周期性结构 2.1基本概念 晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同
黄昆原著韩汝琦改编 (陈 志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, _ nV -Vc (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) 4 3 3 a=2r， V= —Ti r ， Vc=a ， n-1 3 4 3 4 3 —Ti r —TT ??? ― a38r3 3T - c =-=0.52 6 (2 )对于体心立方: 晶胞的体对角线BG= 73a =4r= a = 4应x 3 n=2, Vc=a3 2』皿 3 ? xT 2咒-皿3 3兀a： 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= J2a =4r,= a = 2 J2r n=4, Vc=a3 4咒4；1134x47ir3 3 3 x「—(2咼3兀s： 0.74 (4)对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6>c s止BO ^^^asin60 23U3 2 ----- a 2 晶胞的体积：V= sy -"^a2bP a 2 V3= 3J2a3=24V2r3 1 1 n=1212X- + 2X- + 3=6 个 6 2 6 X 4兀r3 x= 3 24V2r3主"0.74 6 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=?g「"紧n=8, Vc=a 3
8x ji r 3 8x 对3 3 3 X = ------------- 3 ------ = --------- a 8 r 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球 A 、 B 、0的中心联线形成一个边长 a=2r 的正三角形，第二层硬 球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。 … 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） a 3 专(「+j ) 1.2、试证：六方密排堆积结构中 a=( |宀1.633 234 芮2=；『+k ） 由倒格子基矢的定义：bl @2 心3） 0, a 2, j ， -0 = a i (a^ a 3)= 0, 3 a - - 一，a 2 X a 3 = 4 - 4 a 2 /. b] = 2兀咒—咒 a -十 j +k) a 十j +k) 同理可得: b 2 b 3 =—(i -j +k) a 2兀 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） - a ? ? a 2=a (i — j +k) a 3拧（「jk ）
第一章 晶体结构 1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.06 2 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π ππr r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 3 3≈=?=?=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062)22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 34.0633 3834 83483 33 33≈=?=?=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
黄昆版固体物理学课后 答案解析答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3= ?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083 )r 3 34(r 34 2a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2a 2 33
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 2 33 C S ==? =? n=1232 126 112+?+?=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ? =+?? ?=+?? 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π = ?Ω 3 1230, ,22 (),0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??= =，2 23,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++ 同理可得：232()2() b i j k a b i j k a π π= -+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
PART ONE 填空问题 Q01_01_001 原胞中有p 个原子。那么在晶体中有3支声学波和33p ?支光学波？ Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子? Q01_01_004 面心立方原胞的体积为314a ?=；其第一布里渊区的体积为3 34(2)*a π?= Q01_01_005 体心立方原胞的体积为32a ?=；第一布里渊区的体积为3 3 2(2)*a π?= Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。 Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长度套构而成，晶胞中有8个碳原子。 Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子； Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称为多晶。 Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足 ij j i b a πδ2=?G G ?? ?≠===) (0 ) (2j i j i π 关系的1b G ,2b G ,3b G 为基矢，由322211b h b h b h G h K K K K ++=构成的格子， 称作倒格子。 由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。其原胞中有两个以上的原子。 Q01_03_001 由N 个原胞构成的晶体，原胞中有l 个原子，晶体共有3lN 个独立振动的正则频率。 Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为ω=和q K =。 Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电磁声子 Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ?? ???→±==0,02,)2(2 11q a q M πβ ω；光学波的频率???????± =→=a q m q 2)2(0)2(21 2 1 2 π βμ βω Q01_04_001 金属的线度为L ，一维运动的自由电子波函数ikx e L x 1)(= ψ；能量m k E 22 2==；
固体物理黄昆答案 【篇一：黄昆版固体物理学_答案1】 >黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考） 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧 密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小 球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包 含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体 积vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x?（1）对于简立方结构：（见教材p2图1-1） nv vc 43 ?r，vc=a3，n=1 3 4343?r?r ?∴x????0.52 6a38r3 a=2r， v= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线bg=3a?4r?a?n=2, vc=a3 4x 3 2? ∴x? 434?r2??r3 3????0.68 8a343 (r)3 （3）对于面心立方：晶胞面对角线bc=2a?4r,?a?22r n=4，vc=a3 444??r34??r3 233x?????0.74 33 6a(22r) （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：s=6?s?abo?6?晶胞的体积：v=s?c? a?asin60332 =a 22 3328 a?a?32a3?242r3 23
n=1212? 11 ?2??3=6个 62 43?r 23x????0.74 3 6242r 6? （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线bg=3a?4?2r?a? 8r n=8, vc=a3 1 8?x? 434?r8??r3 ?33???0.34 6a3833 r33 c81/2 ?()?1.633 a3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： na=nb=no=a=2r. 即图中nabo构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 1.2、试证：六方密排堆积结构中 ??a???a1?2(j?k)? ??a?? 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基 矢）：?a2?(i?k) 2? ??a???a3?2(i?j)? ?2??? 由倒格子基矢的定义：b1?(a2?a3) ? 0, a??? ???a1?(a2?a3)?, 2a,2 a,20,a,2 a?