2018新课标II 理
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.1+2i 1-2i
=( ) A .-45-35i B .-45+35i C .-35-45i D .-35+45i
【解析】1+2i 1-2i =(1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )
=-35+45i ,选D .
2.已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为 A . 9 B . 8 C . 5 D . 4
【解析】法一 由x 2+y 2≤3知,-3≤x ≤3,-3≤y ≤3.又x ∈Z ,
y ∈Z ,故x ∈{-1,0,1},y ∈{-1,0,1},故A 中元素的个数为C 13C 1
3=
9,故选A .
法二 根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x 2+y 2=3中有9个整点,即为集合A 的元素个数,故选A . 3.函数f (x )=e x -e -
x x 2
的图像大致为
A . A
B . B
C . C
D . D
【解析】f (x )=e x -e -
x x 2
为奇函数,排除A ;当x >0时,f (1)=e -1
e >2,排除C ,D ,只有B 项满足. 4.已知向量a ,b 满足|a |=1,a·b =-1,则a ·(2a -b )= A . 4 B . 3 C . 2 D . 0
【解析】a ·
(2a -b )=2a 2-a·b =2-(-1)=3,故选B . 5.双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A .y =±2x
B .y =±3x
C .y =±2
2
x
D .y =±3
2
x
【解析】法一:由题意知,e =c a =3,所以c =3a ,所以b =c 2-a 2=2a ,所以b
a =2,所以
该双曲线的渐近线方程为y =±b
a
x =±2x ,故选A .
法二:由e =c a =1+b 2a 2=3,得b a =2,所以该双曲线的渐近线方程为y =±b
a
x =±2x ,故
选A .
6.在△ABC 中,cos C 2=5
5,BC =1,AC =5,则AB =( )
A .4 2
B .30
C .29
D .2 5
【解析】因cos C =2cos 2C 2-1=2×15-1=-3
5,故由余弦定理,得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C
=25+1-2×5×1×(-3
5
)=32,故AB =42,故选A .
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
7.为计算S =1-12+13-14+…+199-1
100
,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入
A .i =i +1
B .i =i +2
C .i =i +3
D .i =i +4
【解析】由S =1-12+13-14+…+199-1
100得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因
此在空白框中应填入i =i +2,选B .
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .1
12
B .114
C .115
D .118
【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法,其中两素数相加等于30的有7和23,11和19,13和17,共有3种情况,故所求概率P =3C 210=1
15
,故选C .
9.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A .15
B .
56
C .
55
D .
22
【解析】法一 如图,连接BD 1,交DB 1于O ,取AB 的中点M ,连接DM ,OM .易知O 为BD 1的中点,故AD 1∥OM ,则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角.因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,AD 1=
AD 2+DD 21=2,DM =AD 2+
????12AB 2
=52
,DB 1=AB 2+AD 2+DD 2
1=5.故OM =12AD 1=1,OD =12DB 1=5
2,于是在△DMO 中,由余弦定理,得cos ∠MOD =
12+
????522-????522
2×1×
5
2
=
55,即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55
. 法二 以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.由条件可知D (0,0,0),A (1,0,0),D 1(0,0,3),B 1(1,1,3),故AD 1→=(-1,0,3),DB 1→
=(1,1,3).则cos 〈AD 1→,DB 1→〉=AD 1→·DB 1→
|AD 1→|·|DB 1→|=225=55,即异面直线AD 1与DB 1所成角的余
弦值为
5
5
. 10.若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是________. A . π4 B . π2 C . 3π
4
D .π
【解析】f (x )=cos x -sin x =2cos(x +π4),且函数y =cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x +
π4≤π,得-π4≤x ≤3π4.因f (x )在[-a ,a ]上是减函数,故-a ≥-π4,且a ≤3π4,解得a ≤π4,故0<a ≤π
4,
故a 的最大值是π
4
.
11.已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( ) A .-50
B .0
C .2
D .50
【解析】法一 ∵f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f (1-x )=f (1+x ),故f (4+x )=f (x ),故f (x )是周期函数,且一个周期为4,又f (0)=0,知f (2)=f (0),f (4)=f (0)=0,由f (1)=2,知f (-1)=-2,则f (3)=f (-1)=-2,从而f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .
法二 由题意可设f (x )=2sin(π
2x ),作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知,
f (x )的一个周期为4,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=12[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (49)+f (50)=12×0+f (1)+f (2)=2.
12.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A
且斜率为
3
6
的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( ) A .23 B .12 C .13 D .14
【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上,如图所示,设|F 1F 2|=2c ,因为△PF 1F 2为等腰三角形,且∠F 1F 2P =120°,所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c ,所以|OF 2|=c ,所以点P 坐标为(c +2c cos 60°,2c sin 60°),即点P (2c ,3c ).因为点P 在过点A ,且斜率为36的直线上,所以3c 2c +a =36
,解得c a =14,所以e =1
4
,故选D .
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y =2ln(x +1)在点O (0,0)处的切线方程为__________.
【解析】由题意得y ′=2
x +1.在点O 处切线斜率k =y ′|x =0=2.故曲线y =2ln(x +1)在点(0,0)处的
切线方程为y -0=2(x -0),即y =2x .
14.若x ,y 满足约束条件????
?x +2y -5≥0x -2y +3≥0x -5≤0
,则z =x +y 的最大值为__________.
【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作出直线x +y =0,平移该
直线,当直线过点B (5,4)时,z 取得最大值,z max =5+4=9.
15.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=__________.
【解析】因sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,故sin 2α+cos 2β+2sin αcos β=1①,cos 2α+sin 2β+2cos αsin β=0②,①+②得,sin 2α+cos 2α+sin 2β+cos 2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,故sin(α+β)=-12
. 16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为7
8
,SA 与圆锥底面所成角为45°.若
△SAB 的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.
【解析】如图所示,设S 在底面的射影为S ′,连接AS ′,SS ′.△SAB 的面积为1
2·SA ·SB ·sin ∠ASB =
12·SA 2·1-cos 2∠ASB =1516·SA 2=515,所以SA 2=80,SA =45.因为SA 与底面所成的角为45°,所以∠SAS ′=45°,AS ′=SA ·cos 45°=45×2
2
=210.所以底面周长l =2π·AS ′=410π,所以圆锥的侧面积为12
×45×410π=402π.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.
17.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.
【解析】(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =-15.由a 1=-7得d =2.故{a n }的通项公式为a n =2n -9.
(2)由(1)得S n =n 2-8n =(n -4)2-16.故当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ^
=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^=99+17.5t . ⑴.分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; ⑵.你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
=99+17.5×9
=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^
=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8.
(1)求l 的方程;
(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.
【解析】(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x -1)(k >0).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由?
????y =k (x -1),y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k 2.所以|AB |=|AF |
+|BF |=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2.由题设知4k 2+4
k
2=8,解得k =-1(舍去),k =1.因此l 的方程为
y =x -1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x
+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则?????y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=
(y 0-x 0+1)22+16,解得????
?x 0=3,y 0=2或?????x 0=11,y 0=-6.因此所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y +6)2=144.
20.如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =BC =22,P A =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ;
(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M -P A -C 为30°,求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明 因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,故OP ⊥AC ,且OP =23.连接OB ,因为AB =BC =
22AC ,故△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =1
2
AC =2.由OP 2+OB 2=PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ,OP ⊥AC 且OB ∩AC =O ,知PO ⊥平面ABC . (2)解 如图,以O 为坐标原点,OB →
的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0),B (2,0,0),A (0,-2,0),C (0,2,0),P (0,0,23),AP →=(0,2,23).取平面P AC 的一个法向量OB →
=