第四章 理想流体动力学和平面势流
4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径1212d d =
，21
2
d D =，过流断面1-1处压强p 1>大气压强p a 。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头
线和测压管水头线。
解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。
4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h ＝150mmH 2O ，空气的密度ρa =1.20kg/m 3，水的密度ρ =1000kg/m 3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c =1，试求空气流速u 0。
解：由伯努利方程得
2002s a a p u p g g g
ρρ+=
0u =
（1） 式中s p 为驻点压强。 由压差计得 0s p gh p ρ+=
0s p p gh ρ-= （2）
联立解（1）（2）两式得
049.5m/s u ==== 4－3 设用一装有液体（密度ρs =820kg/m 3）的压差计测定宽渠道水流中A 点和B 点的
流速，如图所示。已知h 1 =1m ，h 2 =0.6m ，不计能量损失，试求A 点流速u A 和B 点流速u B 。水的密度ρ =1000kg/m 3。
解：（1
） 4.427m/s A u === （2）由伯努利方程可得
22A A
A u p h g g
ρ+= （1）
22B B
B u p h g g
ρ+= （2）
式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得
22
22A B A B
A B p p u u h h g g g
ρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以
220.82A B
A B p p h h h h g
ρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得
22
2
2 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8
B A u u h g g =--=--=?
4.18m/s B u ==。
4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m ，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m ，h =0.05m ；y =0.05m ，h =0.08m ；y =0.10m ，h =0.10m 。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。
解：因u =，所以
110.99m/s u ===
21 1.25m/s u ===
31 1.40m/s u ===
过流断面上的流速分布如图所示。
4－5 已知2222
,,0,x y
z y x
u u u x y x y -=
==++试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。
解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。
2222d d d d d x y y x u x u y x y x y x y -Φ=+=
+++22
2d d 1d()1()y x x y y
y x y x x
-+==++
积分上式可得arctan
Φ=y x
（2）
2222222
2(),()Φ??-==??++y xy
x x x y x y 22222222
22(),0()ΦΦ??-?===??++?x xy y y x y x y z 222222
2200()()
xy xy
x y x y -+=++ 满足拉普拉斯方程。
4－6 已知22x y u x y -=
+，22
y
x
u x y =+，0z u =，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程。
解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数ψ。等流函数线方程即为流线方程。
d d d 0x y u y u x ψ=-=，2222
d d 0y x
y x x y x y
-
-=++ 2222
d d 0y x
y x x y x y
+=++，222
2d()0x y x y +=+ 积分上式可得
22ln()x y C ψ=+=
（2）迹线方程
d d x y
x y
u u =， 2222
d d x y
y x x y x y =-++ 2222()d ()d x y x x x y y y -+=+
2222
d d 0y y x x
x y x y
+=++，222
2d()0x y x y +=+ 积分上式可得
22ln()x y C +=
4－7 已知u x =－ky ，u y =kx ，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数）。
解：流函数和流线方程：22
d d d d d [d()]2
x y k
u y u x ky y kx x x y ψ=-=--=-+ 积分上式可得
22x y ψ=+
迹线方程:
d d d -0
x y z ky kx == 222x y r +=，z C =
由上式可知，流线为平行于Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。
4－8 已知u x =4x ，u y =－4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。 解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数ψ和速度势函数Φ。
4Φ
?==?x u x x
，4Φ?==-?y u y y 22d d d 4d 4d 2d()Φ=+=-=-x y u x u y x x y y x y
积分上式可得：2
2
2()Φ=-x y
4x u x y ψ?==?，4y u y x
ψ
?=-=? d d d 4d 4d 4d()x y u y u x x y y x xy ψ=-=+=
积分上式可得 4xy ψ= 流动图形如题4－16图所示。
4－9 已知Φ=a （x 2－y 2），式中a 为实数且大于零。试求该流动的流函数ψ。
解：2Φ
?=
=?x u ax x
，2Φ?==-?y u ay y d d d 2d 2d 2d()x y u y u x ax y ay x a xy ψ=-=+=
积分上式可得 2a x y ψ=
4－10 已知速度势函数cos 2πΦ?ρ
=M
，式中M 是不为零的常数。试求该流动的流函数，并绘出流动图形。
解：21cos 2ρΦψ?ρπρρ???==-=??M u ，cos 2M
ψ??πρ
?=-? 对?积分可得
d ()cos d ()sin ()2π2πM M
f f f ψψ?ρ??ρ?ρ?ρρ
?=+=-+=-+??
? 上式对ρ取偏导数，则
'2sin ()2πM f u ?ψ?ρρρ?=+=-? 又 2s i n 2π?Φ?ρ?ρ
?-=-
=?M
u 由上两式可得 '
()0f ρ=，即()f ρ＝常数。因此可得
sin 2πM ψ?ρ
=-
上述流动即为偶极流。流动图形可参照题4—10图。
4－11 已知流函数ψ =3x 2y －y 3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。
解：2233,6x y u x y u xy y x
ψψ
??=
=-=-=-?? 6,6y x
u u y y y x
??=-=-??，所以是有势流。 2222222222249()369()9x y u u u x y x y x y ρ=+=-+=+=
23u ρ=，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。
题4-10图
4-12 设水平面流场中的速度分布为k
u u ?ρ
==
，0u ρ=，k 是不为零的常数，如图所
示。试求流场中压强p 的分布。设ρ =∞，u j =0处的压强为p ∞；水的密度为ρF 。
解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场
中除原点（ρ=0，u =∞）外，2F F 2u p p g g g ?ρρ∞+=，因此 22F F
2
22u k p p p ?ρρρ∞∞=-=-
。由上式可知，压强p 随半径ρ的减小而降低。
4-13 水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗形，如图a 所示。流速场在平面内，如图b 所示，可表示为k
u u ?ρ
==，u ρ =0，k 是不为零
的常数。试求自由水面曲线的方程式。
解：该流体流动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方
程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。
当ρ∞→时，水面高程为h ；另取自由表面上任意点M ，对上述两点写伯努利方程，可得
22
2
2
222M u u k h z z z g g g ?ρ=+=+=+
, 222k z h g ρ=-, 该式即为自由表面方程式。 4－14 直角（90）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。已知弯头内、外侧壁的
曲率半径r 1、r 2分别为0.4m 和1.4m ，直段中均匀来流的流速为10m/s ，流体密度为1.2kg/m 3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。
解：由例4－6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为k
u ?ρ
=，式中k 是不为零的
常数。k 值可由连续性方程决定，即
22
1
1
2
1
d d ln
r r r r r k
vb u k r ?ρρρ
===??
10(1.40.4)
7.991.4ln 0.4
k ?-=
=
外壁处流速 227.99m/s 5.71m/s 1.4k u ?ρ=
==， 内壁处流速 117.99m /s 19.98m /s 0.4
k u ?ρ=
== 内外壁处的压强差
题4-12图
题4-14图
12222222F
21 1.2
()(19.98 5.71)N/m 219.96N/m 2
2
p p p u u ??ρ?=-=
-=
-= （注：外侧压强大）
4－15 已知（1）0u ρ=，k
u ?ρ
=
，k 是不为零的常数；（2）0u ρ=,2u ?ωρ=,ω为
常数。试求上述两流场中半径为ρ1和ρ2的两条流线间流量的表示式。
解：（1）
k
u ?ψρρ
?=-=-?，ln ()k f ψρ?=-+ '1
()0u f ρψ?ρ?ρ
?===?，1()f C ?= 1ln k C ψρ=-+，1212
ln q k ρ
ψψρ=-=
（2）2u ?ψωρρ?=-=-?，221
()2f ψωρ?=-+ '1
()0u f ρψ?ρ?ρ
?===?，2()f C ?= 22212C ψωρ=-+，22221121
()2
q ψψωρρ=-=-
4－16 直角内流动。已知平面流动的速度势Ф=a (x 2－y 2)，流函数ψ=2axy ，式中a 为实
数且大于零。等流函数、等势线，如图所示；当ψ=0时的流线称零流线，与两轴线重合。如果将x 、y 轴的正轴部分，用固体壁面来替换，即得直角内流动。试分析该流动沿壁面流动时，壁面上的压强分布。设静止处（坐标原点）的相对压强为零，流体密度为ρF 。
解:2Φ
?=
=?x u ax x
，2Φ?==-?y u ay y 沿壁面流动时，分两种情况：当沿x 轴流动时，0y =，2x u u ax ==
22
F F (2)022u ax p g p g g g
ρρ+=+=，22F 2p a x ρ=-
当沿y 轴流动时，0x =，2y u u ay ==-，可得22
F 2p a y ρ=-
上述两种情况说明，负压随距转角点距离的平方成正比地增大。
4－17 兰金（Rankine ）椭圆。均匀直线流沿x 轴方向的速度为u ；源流强度与汇流强度均为q ，汇点置于x 轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点O 的距离均为a 。如果将上述组合成的复合势流的流函数ψ=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭圆，如图所示。试求该椭圆长半轴l 、短半轴b 的方程。
解：题述流动组合成的复合势流的流函数ψ为
(arctan arctan )2πq y y uy x a x a
ψ=+
-+- 速度分布为
2222
()()
2π()2π()x q x a q x a u u x a y x a y +-=+-++-+ 2222
2π()2π()y q y q y u x a y x a y =-++-+
因为驻点速度为零，即0x u =，0y u =解上两式可得驻点位置s (x ，s y 或s ρ，s )?为
s x =±s 0y =。
s ρ=l （即为椭圆长半轴），s ?=0，π。 通过驻点的流线的流函数s ψ，对于12π??==，sin sin π0?==，则由上述复合势流
的流函数表示式可得s sin πππ02π2π
q q
u ψρ=+-=。所以0ψ=的流线方程即为
(arctan arctan )02πq y y uy x a x a
+-=+-。如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这
个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b ，可将0x =，y b =代入上式，由试算求得。
实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的情况不同，所以不能按上述方法求解。但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。 4－18 源流和汇流的强度q 均为60m 2/s ，分别位于x 轴上的（－a ，0）、（a ，0）点，a 为3m 。计算通过（0，4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。 解：(arctan arctan )2πq y y x a x a ψ=
-+-60(arctan arctan )2π33
y y x x =-+- 通过（0，4）点的流线的流函数值为
3044304
(arctan arctan )[2arctan π]12.29π33π3
ψ=
-=?-=-- 通过（0，4）点的流速为
222222226033
[]()m/s 2.29m/s 2π()()2π3434x q x a x a u y x a y x a y ψ?+--=
=-=-=?++-+++222222226044[]()m/s 0m/s
2π()()2π3434y q y y u x x a y x a y ψ?---=-=-+=+=?++-+++
4－19 向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。
试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。
解：22ln()arctan 4π2πΓ
ψ=+
++
q y uy x y x
222222
21()4π()2π()2π()ψΓΓ??==++=++?+++x y q x u u u y qx y x y x y x y 2222222()[]4π()2π()2π()
ψΓΓ??--=-=-+=?+++y x q y qy x u x x y x y x y
驻点的 0x y u u ==，所以
2202π()Γ+=+
=+x y qx
u u x y ，22()
2π()
qx y u x y -+Γ=
+
2202π()Γ-==+y qy x u x y ，
Γ=y x q
222[]2π2π[(
)]
ΓΓ
-+-=
=
+x
qx q
q
u x
x x q
2πq
x u
-=
，y ()2π2πΓΓ-==-q q u u （驻点坐标）
4－20 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱体中心位于坐标原点（0，0），半径为r 0=1m ；均匀直线流速度u =3m/s 。试求x =－2m ，y =1.5m 点处的速度分量（u ρ，u ?）和（u x ，u y ）。
解： 2.5m ρ=
==
1.5
arctan arctan 143.13()
2
y x ?===-第二象限
2022
1
cos (1)3cos143.13(1)m/s 2.02m/s
2.5r u u ρ?ρ=-=??-=-2
02
2
1
sin (1)3sin143.13(1)m/s 2.09m/s 2.5r u u ??ρ
=-+
=-??+=- 由图中可知，'
180180143.1336.87??=-=-=，所以
''cos sin ()
x u u u u u 、均取正值ρ?ρ???=+
(2.02cos36.87
2.09sin 36.87)m/s=2.87m/s x u =??
''cos sin (2.09cos36.87 2.02sin36.87)m/s 0.46m/s y u u u ?ρ??=-=?-?=
4-21 设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。已知圆柱表面上的流速分布为u ?=－2u sin ?，u ρ =0，u 是均匀直线流速度。试证明作用于圆柱表面上的压强在x 轴及y 轴方向的合力都等于零。
解：由伯努利方程可得
22F F 22u p u p
C g g g g
?ρρ∞+=+=
或 22
2F
F 2s i n 2
p u p u C
ρρ?∞+
=+=
22F 2sin p C u ρ?=-
在圆柱上取0d d s ρ?=，0ρ=0r ，作用于此
微段上的压力0d d d F p s p ρ?==；在x 、y 轴的分量分别为
0d cos d x F p ρ??=-，0d sin d y F p ρ??=-，对上
两式积分，分别为
2π2π
220000
cos d (2sin )cos d 0x F F p C u ρ??ρ?ρ??=-=--=??
2π2π
22000
sin d (2sin )sin d 0y F F p C u ρ??ρ?ρ??=-=--=?
?
因为
2π0
cos d 0??=?
，2π2
sin cos d 0???=?
；2π0
sin d 0??=?
，2π30
sin d 0??=?
.
即证明之。
第四章 流体动力学基础 复习思考题 1. 在 流动中，伯努利方程不成立。D (A) 恒定 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 2. 在总流伯努利方程中，速度 v 是 速度。B (A) 某点 (B) 断面平均 (C) 断面形心处 (D) 断面上最大 3. 文透里管用于测量 。D (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 4. 毕托管用于测量 。A (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 5. 密度 ρ = 800kg/m 3 的油在管中流动，若压强水头为2m 油柱，则压强为 N/m 2。C (A) 1.96×104 (B) 2×103 (C) 1.57×104 (D) 1.6×103 6. 应用总流能量方程时，两断面之间 。D (A) 必须是缓变流 (B) 必须是急变流 (C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流 7. 应用总流动量方程求流体对物体合力时，进、出口的压强应使用 。B (A) 绝对压强 (B) 相对压强 (C) 大气压强 (D) 真空值 8. 伯努利方程中 g v p z 22 αγ++表示 。B (A) 单位质量流体具有的机械能 (B) 单位重量流体具有的机械能 (C) 单位体积流体具有的机械能 (D) 通过过流断面的总机械能 9. 粘性流体恒定总流的总水头线沿程变化规律是 。A (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 10. 粘性流体恒定总流的测压管水头线沿程变化规律是 。D (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 11. 动能修正系数α = 。C (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 12. 动量修正系数α0 = 。B (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 13. 描述不可压缩粘性流体运动的微分方程是 。D (A) 欧拉方程 (B) 边界层方程 (C) 斯托克斯方程 (D) 纳维—斯托克斯方程 14. 恒定水流运动方向应该是： 。D (A) 从高处向低处流 (B) 从压强大处向压强小处流 (C) 从流速大的地方向流速低的地方流 (D) 从单位重量流体机械能高的地方向低的地方流 15. 欧拉运动微分方程式 。D (A) 适用于不可压缩流体，不适用于可压缩流体 (B) 适用于恒定流，不适用于非恒定流 (C) 适用于无旋流，不适用于有旋流 (D) 适用于上述所提及的各种情况下的流动。 16. 两艘平行行驶的船只，为什么不能靠得太近？ 17. 理想流体运动微分方程的伯努利积分和欧拉积分有何区别？ 18. 粘性流体运动微分方程和理想流体微分方程主要差别是什么？ 19. N-S 方程适用范围是什么？各项的物理意义是什么？
第六章势流理论 课堂提问： 为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同 本章内容： 1．势流问题求解的思路 2．库塔----儒可夫斯基条件 3. 势流的迭加法 绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流 4．布拉休斯公式 5．库塔----儒可夫斯基定理 学习这部分内容的目的有二： 其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。 其二，明确两点重要结论： １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。 本章重点： 1、平面势流问题求解的基本思想。 2、势流迭加法 3、物面条件，无穷远处条件 4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位 置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。 6、麦马格鲁斯效应的概念 7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、附加惯性力，附加质量的概念
本章难点： 1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流 平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的 分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。 例如： 1）绕一个无穷长机翼的流动， 2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。 一、均匀流 流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ， V ｘ＝V o ， V y ＝０ 平面流动速度势的全微分为 dx V dy V dx V dy y dx x d y x 0=+=??+??= ? ?? 积分： φ＝Vox （６-4） 流函数的全微分为， dy V dy V dx V dy y dx x d o x y =+-=??+??= ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5） 由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7 max /2/2u B y u B -??= ??? ，0y ≥ 总流的动能修正系数为何值? 解：1 7 2max max 012728 2B A A B y v ud u dy u B A B ??- ?=== ????? 因为31.0A A u d A v α???≈+ ??? ? u u v ?=-所以 1 7 22 33821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+ =+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。 解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=? 45sin 8 =11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以00 0.038 0.02111.31 V V δδ?= = =m 。 4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。试求此时压力表的读数。
解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-=12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2222121122++=++ （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??????-+-=g p p z z g v ρ21212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρρρ-= 12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2222121122++=++ （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积： 4211d A π=，4222d A π= （3） 方程（1）可改写为： ()g p p g v z z g v ρ2121212222-++-= （4） 根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5） 将（5）代入（4），得：g v h g v 222122+= （6） 再由（2）和（3）式可得：44 2222 11d v d v ππ= 所以：222112d d v v = （7） 将（7）式代入（6）得：g v h g d d v 2221424121 += 整理得：2 12142412v v gh d d += 14212122d v gh v d += （8） 将m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2m 8.9=g 代入（8）式，得： ()mm 236m 236.03.036 8.96364 2==?+?=d ［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。（此题陈书2y 的标注有误） ［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为： 112gh v =
势流理论 思考题及练习题 1．简述无旋流动速度势满足拉普拉斯方程的必要条件。 2．势流迭加法求解速度势的关键是什么？ 3．简述采用势流理论求解流体力学问题的前提。 4．简述采用势流理论求解流体力学问题时，边界条件的提法。 5．对于不可压缩流体的平面无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程的必要条件是（ ）。 a) 流动定常 b) 流动无旋 c) 流体正压 d) 不计流体粘性 6．对于无旋流动，速度势满足拉普拉斯方程的必要条件是（ ）。 a) 流体不可压缩 b) 流动定常 c) 二维不可压缩流体 d) 不计流体粘性 7．无穷远均匀来流绕一确定形状的圆柱体有环量流动，升力的大小与（ ）有关。 a) 圆柱体的旋转角速度 b) 圆柱体的旋转角速度方向 c) 圆柱体长度 d) 圆柱体的直径 8. 理想流体流体绕任意物体的平面无旋流动，物体受到流体的作用力可能有（ ）。 a) 升力 b) 升力和阻力 c) 升力和附加惯性力 d) 附加惯性力 9．简述绕圆柱无环流流动的运动学边界条件如何。 10．简述机翼产生升力的原因。 11．绕圆柱的有环统流流动，简述驻点位置与哪些参数的关系。 12. 简述库塔—儒可夫斯基定理的前提和结论。 13. 当机翼从静止起飞后，简述绕机翼剖面产生环量的原理。 14. 简述升力与浮力的概念，升力与浮力属于哪一类力？ 15. 以船舶为例说明相对运动与绝对运动的概念。 16. 简述附加惯性力，附加质量的概念。 17. 附加质量的大小取决于哪些量？ 18. 船舶不同运动状态下的附加质量与哪些量有关？ 19. 一无限大平壁法向距离1 没处有一强度为10m 3/s 的点源，试证该流场的流函数和速度势函数由如下形式： {}22225ln [(1)][(1)]2x y x y ?π =+-++
第六章势流理论 本章内容： 1．势流问题求解的思路 2．库塔----儒可夫斯基条件 3. 势流的迭加法 绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流 4．布拉休斯公式 5．库塔----儒可夫斯基定理 学习这部分内容的目的有二： 其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。 其二，明确两点重要结论： １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。 本章重点： 1、平面势流问题求解的基本思想。 2、势流迭加法 3、物面条件，无穷远处条件 4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位 置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。 6、麦马格鲁斯效应的概念 7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、附加惯性力，附加质量的概念 本章难点： 1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流 平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如： 1）绕一个无穷长机翼的流动， 2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话， 则这一问题就可以按 一、均匀流 流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示， V ｘ＝V o ， V y ＝０ dx V dy V dx V dy y dx x d y x 0=+=??+??= ?? ? 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3 流函数的全微分为， dy V dy V dx V dy y dx x d o x y =+-=??+??= ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６ -5 如图６-4 由（６-4）和（６ -5 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６ -3 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3中的虚线。 均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。 平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。 设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ πｒｖｒ＝Ｑ ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6） 在直角坐标中，有 x y V y x V y x ??- =??=??=??= ψ?ψ? 在极坐标中有： r r s V r s r V s r ??- =??=??=??=??=??= ψθ??θψψ?11 （６-7） 图６-6 点源和点汇 极坐标中φ和ψ 的全微分：
第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S 方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 ● 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。 任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 ● 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。 ● 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应 力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 ● 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n 的作用面上的应力矢量表示为 ),,,(t z y x p n ，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体 受拉。应力矢量的分量形式为),,(nz ny nx p p p ，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知 xy p 等的含义。 ● 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 ??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p ][P 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 ● 有了应力张量[P ]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][P ?=n p n ，如法向为n 的 作用面上应力的y 方向的分量为 z zy y yy x xy ny n p n p n p p ++= ● 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 ● 应力张量主对角线上三个元素之和 zz yy xx p p p ++ 是坐标变换中的不变量，即其值不随 坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 )(3 1 zz yy xx p p p p ++-= 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p 并非任意方位作用面上真正的压应力nn p -. ● 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：
第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 （1）问属于几维流动（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， 2,xy y x v x (2) 33 1 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)
5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 31621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程： w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2)
第四章 理想流体动力学和平面势流 4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。已知管径1212d d = ，21 2 d D =，过流断面1-1处压强p 1>大气压强p a 。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头 线和测压管水头线。 解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。 4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。已知压差计的读数h ＝150mmH 2O ，空气的密度ρa =1.20kg/m 3，水的密度ρ =1000kg/m 3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c =1，试求空气流速u 0。 解：由伯努利方程得 2002s a a p u p g g g ρρ+= 0u = （1） 式中s p 为驻点压强。 由压差计得 0s p gh p ρ+= 0s p p gh ρ-= （2） 联立解（1）（2）两式得 049.5m/s u ==== 4－3 设用一装有液体（密度ρs =820kg/m 3）的压差计测定宽渠道水流中A 点和B 点的 流速，如图所示。已知h 1 =1m ，h 2 =0.6m ，不计能量损失，试求A 点流速u A 和B 点流速u B 。水的密度ρ =1000kg/m 3。 解：（1 ） 4.427m/s A u === （2）由伯努利方程可得
22A A A u p h g g ρ+= （1） 22B B B u p h g g ρ+= （2） 式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得 22 22A B A B A B p p u u h h g g g ρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以 220.82A B A B p p h h h h g ρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得 22 2 2 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8 B A u u h g g =--=--=? 4.18m/s B u ==。 4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m ，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m ，h =0.05m ；y =0.05m ，h =0.08m ；y =0.10m ，h =0.10m 。皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。 解：因u =，所以 110.99m/s u === 21 1.25m/s u === 31 1.40m/s u === 过流断面上的流速分布如图所示。 4－5 已知2222 ,,0,x y z y x u u u x y x y -= ==++试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。 解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。 2222d d d d d x y y x u x u y x y x y x y -Φ=+= +++22 2d d 1d()1()y x x y y y x y x x -+==++
第4章 流体动力学基础 4.1 重度γoil =8.82kN/m 3的重油，沿直径d =150mm 输油管路流动，现测得其重量流量Q G =490kN/h ，问它的体积流量Q V 及平均流速v 各为若干？ 解：体积流量33 490kN/h 55.56m /h 8.82kN/m G v Q Q γ = = =, 平均流速2 2155.561 0.873m/s 36000.15/43600 4 v Q v d ππ= ? =?= 4.2 如图所示，水流过长直圆管的A 、B 两断面，A 处的压头比B 处大45m ，试问：(1)水的流动方向？(2)水头损失f h ？设流动不可压，一维定常流，H =50m 。（压头为p /γ） 解：（1）假定流体从A 到B ，伯努利方程22 1 122 1222f p u p u z z h g g γγ++=+++ 流动不可压缩，一维定常流，则1 2 12f p p z z h γ γ + =+ + 水头损失1 2 125m<0f p p h z z γ γ =-+- =-，则表明流体的流动是从B 到A （2）水头损失f h =5m 4.3 水银压差计连接在水平放置的汾丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h =80mm,已知D =10厘米，d =5厘米，汾丘里流量计的流量系数μ=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？ 题4.2图 题4.3图 解：由文丘流量计流量公式2 111 2 1 2(1)1d g h Q Au A γαγ?==--得 2 3 2212 2 11 22(1)(1)0.0201m /s 14 1d d g h D g h Q A γγπαγαγ??=-=-=-- 其中2 212()4d A D A d α= ==，22211113.613.61 g g γρργρρ====
第四章 流体动力学基础 u B / 2 y 1/ 7 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为 ， y 0 u max B / 2 总流的动能修正系数为何值 ? B 1 1 B y 7 7 解： A ud A 2 2 2 u max dy u max v B 0 B 8 A 2 因为 1.0 3 u d u u 所以 A A A v v 1 3 u v 3 8 B 7 B y 2 1.0 A d A 1.0 2 1 dy 1.05 v B B 7 B A 2 2 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度 0.03m ，平均流速 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲， 但其水平分速保持不变。 试求 (1) V 在倾斜角 45 处的平均流速 V ；(2)该处的水股厚度 。 解：（1）由题意可知：在 45 度水流处，其水平分速度仍为 8m/s,由勾股定理 可得： V= 8 =11.31m/s sin 45 （ 2）水股厚度由流量守恒可得： 0V 0 D 0VD ，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以 V 0.03 8 V 0.021m 。 11.31 4-3 如图所示管路， 出口接一收缩管嘴， 水流射人大气的速度 V 2=20m/s ，管 径 d 1＝0.1m ，管嘴出口直径 d 2＝ 0.05m ，压力表断面至出口断面高差 H ＝ 5m ，两断面间的水头损失为 0.5(V 12 / 2g ) 。试求此时压力表的读数。
第四章 流体动力学 2、为何提出“平均流速”的概念？ 3、举例说明连续性方程的应用。 本次课内容引出 §4-1流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。 如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。 在x 轴方向 x x ma F =∑ 可得 x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =??? ? ? ??+-??? ????-+2121 因为 dt du a dt u d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点
所以流体微元沿x 方向的运动方程为 dt du dxdydz dxdydz x p Xdxdydz x ρρ=??- 整理后得 dt du x p X x = ??- ρ1 同理，y 轴方向 dt du y p Y y =??-ρ1 z 轴方向 dt du z p Z z =??- ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则 0===dt du dt du dt du z y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。 一、 粘性流体的运动微分方程 与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。 如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。 作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力， 切向应力。 每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：
基于势流理论和粘性流理论的螺旋桨水动力性能分析 螺旋桨水动力性能预报经历了升力线、升力面、面元法以及基于求解RANS方程的CFD方法几个阶段。升力线方法过于简化导致求解精度不够，升力面在升力线的基础上有所进步但由于其是建立在薄翼理论基础上的，不能精确地描述螺旋桨的几何外形以至于不能正确的预报桨叶压力分布和空泡性能，其计算精度也不能令人满意。面元法能很好地处理桨毂、导边及桨叶上的空泡影响，更精确地描述复杂的螺旋桨几何外形，克服升力线和升力面的不足，对复杂的翼身结构作了更为精确的离散化处理，同时消除升力面理论中薄翼假设带来的导边奇性，更精确地预估导边附近和剖面较厚处的压力分布并能计及桨毂的存在及桨毂对螺旋桨性能和桨叶压力分布的影响。升力面理论的应用日趋完善，面元法和N－S方程的方法已逐渐成为螺旋桨设计与水动力预报的主流，特别是能提供桨叶表面流动精细描述的CFD方法。虽然升力面和面元法能成功的预报螺旋桨在稳定流和非稳定流中的水动力性能，但是这些理论方法都是建立在势流的基础上，计算过程中忽略了粘性影响，因此在工程应用中需要对设计和计算结果进行粘性修正。由于势流理论忽略粘性力导致我们在研究尺度效应对实船的影响、空泡与黏性流的非线性相互作用、螺旋桨桨叶表面边界层和尾流涡的结构与力学机理等问题时都无法给出定量的计算结果，特别是势流计算方法无法捕捉桨叶附近的细节流动如桨叶随边涡的结构，严重影响了螺旋桨性能的预报精度。基于RANS方程的计算流体力学方法为上述问题的解决提供了有效地解决方案。 求解RANS方程的商业软件相继出现并不断完善，很明显在螺旋桨水动力性能数值预报方面CFD方法已成为主流研究方向。对湍流模式、网格生成、近壁面模型等CFD关键问题不断改进后，CFD代码分析复杂流动的能力大幅提高。尽管如此，涉及物理模型的逼真度、数学理论以及如何选择基准检验试验验证方案等复杂问题时，CFD方法还存在一定的不确定性，成为CFD研究领域中极具挑战性的前沿课题。CFD发展至今，虽然RANS，LES和DES等粘流方法在流场预报方面开始起主导作用，但势流理论的方法仍是螺旋桨设计和计算中最常用的工具。应该指出，紧急倒车工况下推进器的性能预报最具挑战性，RANS方法不能模拟此时出现的强非定常瞬态分离流，新近发展的LES方法已能实现对紧急倒车敞水螺旋桨的模拟，目前正在向船后桨模拟发展。 RANS粘流方法在螺旋桨水动力预报上有以下几方面的应用： 1）尺度效应 螺旋桨敞水试验必须满足的相似准则是进速系数J、雷诺数Re、弗氏数Fr和相对潜深Hs都属于限制参数，由于不能同时满足全部相似准则只能根据试验特点满足主要的相似准则，造成模型试验与实际流动情况的差异，这就产生了粘性尺度效应，实践中有很多根据经验得出的方法可用来修正实验结果，但一般都不具有代表性。估计尺度效应的大小，寻求减小或修正尺度效应的方法成为螺旋桨水动力研究的一个重要课题。 2）空泡与诱导脉动压力 螺旋桨空泡特性与其激振力、辐射噪声、桨叶剥蚀及诱导脉动压力等有直接联系，在螺旋桨性能预报中非定常螺旋桨的空泡特性显得尤为重要。各类空泡现象，如局部片空泡、片状超空泡、泡空泡、云空泡和梢涡空泡等，所采用的数值计算方法主要有经验方法、升力面方法面元法和欧拉方程组等势流方法，以及带单相和多相模型的RANS方程组和各种方法的耦合。此外，LES方法和DES方法对改善空泡起始和非定常空泡模拟精度的作用开始凸显。但总体上讲，除片空泡图形外，其他空泡类型和空泡性能的模拟，目前的计算方法都存在不足之处目前，螺旋桨空泡与脉动压力试验技术进展不大，空泡现象和效应的量化测试和结果仍然很不理想。CFD的应用有望解决这个问题，在空泡计算方面，带单相和多相模型的CFD方法以及气泡动力学与粘流理论组合的空泡起始预报方法颇具发展潜力，而空泡诱导脉动压力的预报仍无合适的数值方法，一种基于无粘可压缩波动方程的预报方法正处于发展起步阶段，或许有助于问题的解决。
第二章 流体静力学 [例2]：[2—9] 试给出图中四种情况侧壁面上压强的分布图（不计表面压强）。 解： [例3]：[2—11]容器中盛有水和空气，各水面相对位置差分别为：h 1=h 4=0.91m ，h 2=h 3=0.305m ，求：A 、B 、C 、D 各点的绝对压强，并指出哪些为真空状态（不计空气重力，取p a =×104Pa ） 解：)(43h h g p p a A ++=ρ=×104+103××（+）=×105 Pa.， 由于ρk ≈0，故：2gh p p p a C B ρ-===×104-103××=×104 Pa.， )(321h h h g p p C D ++-=ρ=×104-103××（++） =×104 Pa 。 由于a A p p >，a B p p <，a C p p <，a D p p <，所以，B 、C 、D 为真空状态。 [例4]：[2—21]一封闭容器内盛有油和水，3 12890kg /m ,0.3m,=0.5m,=0.4m h h h ρ==油， 试求液面上的表压强。 解：由等压面原理，可列方程： 01212()a p gh gh g h h h p ρρρ++=+-+油水银 表压强：0m a p p p =- 1212()g h h h gh gh ρρρ=+---水银油 3 2 水银
136009.81(0.30.50.4) 8909.810.310009.810.545842Pa =?+--??-??= [例5]：[2—24]直径D =1.2m ，长L =2.5m 的油罐车，内装相对密度为的石油，油面高度h =1m ，以加速度a =2m/s 水平运动，试确定油槽车侧盖A 和B 上所受到的油液的作用力。 解：等压面：2 tg ===0.203879.81 a g β Ac 2.5 =tg +=0.20387+1=1.2548m 22L h h β? 32A Ac =g =0.9109.81 1.2548/4 1.2 =12529.6N F h A ρπ????? Bc 2.5=-tg =1-0.20387=0.745m 22L h h β? 3B Bc 2 =g =0.9109.810.745/4 1.2=7439N F h A ρπ????? [例6]：[2—26]盛有高度为h 的水的圆筒形容器，以角速度ω绕垂直纵轴作等速旋转，容器 半径为R ，试求当ω超过多少时，可露出筒底 解：建坐标系如图，由液面等压面方程：22 02r z g ω= ，当 露出底部时，22 02R h g ω= ，此时，水的体积V 为： 22 4 2 00 2224R R r R V z rdr rdr g g ωπππω=?=?=?? ，原体积=h R 2 π，于是： 42 2 4R V R h g πωπ==，得出：gh R 2= ω。（224R h g ω=，可见，02h h =） [例7]：[2—43]图示一储水设备，在C 点测得绝对压强为p =294300Pa ，h =2m ，R =1m ，求半 球曲面AB 所受到液体的作用力。 解：半球曲面AB 所受到液体的作用力因水平方向对称，合力为零，因此大小应等于垂直方向的分力F z 。故本题的关键是要画出压力体，即首先找出对应于大气压强的自由面位置，为此，假定自由面位置距底面为H ，则压力体高度为0h H h =-， 压力体体积V ：V =302 3 2R h R ππ- ， 由于：45 2943009.8110 1.96210m a p p p =-=-?=?Pa ， 而：35 (/2)109.81(2/ 2) 1.96210m p g H h H ρ=-=??-=?，
第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为： ()p f v v t v ?-=??+??ρ 1ρρρρ 其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。 （2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流 线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为： C gz p =++ρ 2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3 =，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度3 /7355m N =γ。 答：（1）求A 点处空气的速度： 设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到： () Q v d D =-1224 1 π， 因此：() 2 214d D Q v -= π。 （2）求真空度v p 选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：
g v p p 202 11 +=+γγ 因此真空度为： ()() 222222221101 842121d D Q d D Q v p p p v -?=??????-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3 /226.1m kg =ρ，那么计算得到： () Pa p v 32 22221095.901.004.01 14.315.0226.18?=-???=。 （3）求喷油量： 设喷油嘴处汽油的速度为2v ，并设空气的密度为1ρ，重度为1γ，汽油的重度为2γ。选一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且： 在A 点：2 101A 2 1v p p p ρ- ==，?2A ==v v ，m cm h z 5.050A ===； 在B 点：0B p p =，0B =v ，0B =z ； 代入到伯努利方程中，可以得到： 002211202 2 2102++=++ ??? ??-γργp h g v v p ； 整理得到： gh v v 22 12 122-= γγ； 因此汽油喷出速度为： gh v v 22 12 12-= γγ； 其中空气重度3 11/1281.9226.1m N g =?==ργ；() 2 214d D Q v -=π，并注意到喷油嘴的 直径是6mm ，而不是原来的10mm ，则计算得到： () s m v /817.381 .9366.245.081.92006.004.014.315.016735581.9226.12 222 2=-=??--????=
流体力学主要理论模型 在连续介质假设的基础上，建立流体运动的基本方程组，具有广泛的适应性。严格来说这个方程组通常并不封闭，即方程中的未知数多于方程数。为了求出理论解，必须根据情次再提出一些符合或接近实际的假设，从而在某些条件下使方程组封闭。但是，即使方程组已封闭，求方程的解仍然不是轻而易举的。由于方程的非线性特征及方程中变量的互相祸合，使得求解这种一般的方程组几乎成为不可能，因此还必须根据具体问题的特点，抓住问题的主要方面，忽略次要方面，必要时作进一步的假设、简化和近似，设计出一个合理的理论模型。 以下例出流体力学主要的几种理论模型供读者参考。 一、黏性流体与理想流体模型 1.黏性流体模型 流体的黏性是流体的一种物理特性，它表示流体各部分之间动量传递的难易程度，反映了流体抵抗剪切变形的能力。黏性流体是一切真实流体的模型，它具有普遍的意义。 牛顿通过实验首先提出黏性流体的剪切应力公式，为黏性流体力学的发展创造了条件。1823年L．纳维尔和G. G．斯托克斯分别建立了不可压与可压黏性流体运动方程组。此后，边界层、紊流理论的研究普遍开展起来。 虽然流体的黏性是用动力黏度μ来衡量，但是μ大的流体未必当作黏性流体流动来处理。依牛顿内摩擦定律，剪切应力与动力黏度μ及速度梯度有关。因此，虽然流体的动力 黏度较大，但如果流场的速度梯度很小，剪切应力仍然不大，就可以把它当作无黏性流动来处理。相反，如果流体的黏性较小，但流场的速度梯度很大，则仍有必要把它当作黏性流动来处理。 1904年，普朗特提出了边界层理论，将流动划分为两个区域，在远离边界以外的区域中（势流区），黏性效应可予忽略，用无黏性流体理论求解。而在靠近边界的一薄层区域中，黏性效应不可忽略，应利用黏性流动理论求解。这样，边界层理论不仅给出了正确的数学提法，而且也用黏性流动理论解释了在这种情况下阻力的存在。 紊流是黏性流体流动中的一个重要方面。实验表明，流体流动有两种流态，层流和紊流。自然界很多层流运动，常常是不稳定的，稍有扰动，层流立即转变为紊流，紊流运动与层流的重大差别是在它的不规则性和输运能力的剧烈增大。但是由于紊流运动的复杂性，其发生机理至今仍不清楚。目前，对紊流的研究主要通过紊流的平均运动和涨落运动求解黏性流体运动基本方程。 2．理想流体模型 如前所述，实际流体都是具有黏性的，都是黏性流体。不具有黏性的流体称为理想流体，这是客观世界上并不存在的一种假想的流体。在流体力学中引人理想流体的假设是因为在实际流体的黏性作用表现不出来的场合（像在静止流体中或匀速直线流动的流体中），完全可以把实际流体当理想流体来处理。 在许多场合，想求得黏性流体流动的精确解是很困难的。对某些黏性不起主要作用的问题先不计黏性的影响，使问题的分析大为简化，从而有利于掌握流体流动的基本规律。如水波在河中传播时，在较长的距离上，仍不消衰．大气在高空中运动时．长驱直人，常常跨越数千公里，这表明在这类流动中，黏'rt并不起主要作用，因此将其黏性略去．以便可以分析简便且能得到其主要的运动规律。至于黏性的影响，则可根据试验引进必要的修正系数．讨由理想流体得出的流动规律加以修正。此外．即使是对于黏性为主要影响因素的实际流动问题，先研究不计黏性影响的理想流体的流动．而后引人黏性影响，再研究黏性流体流动的更为复杂的情况，也是符合认识事物由简到繁的规律的。基于以匕诸点，在流体力学中．总支先研究理想流体的流动，而后再研究黏性流体的流动。