当前位置：文档之家› 宿迁中学高二第二学期中理科试题--数学

宿迁中学高二第二学期中理科试题--数学

宿迁中学2011-2012学年度高二年级第二学期期中考试

理科数学试题

试卷满分：160分时间：120分钟命题人：蔡敏柱审校人：施健

注意事项:

1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．

2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

． 1.计算：35

45C A -= ▲ 2.已知向量{}1,3,2a = ,{}1,0,1b =

,2p ka b =- ,34q a b =+ ,若p q ，则实数k = ▲ 3.若复数i

z -+=

11是纯虚数，则实数a 的值为___▲______. 4.空间三点(1,1,)A a -,(2,,0)B a ,(1,,2)C a -，若(AB 2AC - )与BC

垂直，则实数a = ▲

5. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则共有 ▲ 种不同的取法. （结果用数字作答

6.01232008

34562011C C C C C +++++= ▲ ．

（用组合数表示） 7. 4本不同的书分给三个人，每人至少一本，则不同的分配方法共有 ▲ 种

8．设Z x ∈，则方程5

516

162

--=x x x C C 的解集．．

是 ▲ . 9．已知复数2

(2)(9)z m m i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是______▲_______. 10. 观察下列式子：232112<+，353121122<++，474

1312112

22<+++，……则可以猜想 2

111

1232012+

+++< ▲ 11.已知曲线1

()cos 2

f x x x =

-在6x π=处的切线方程为 ▲

12．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去（如图（1））；再

将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖去，得图（2）；如此继续下去……，试问第n 个图共挖去 ▲ 个正方形．

（图1 ）（图2）

（第12题图）

13．已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x=0处取得最大值，则正数a 的范围 ▲ .

14．设三位数n abc =（10010a b c =++，其中,,{1,2,3,,9}a b c ∈???），若以a 、b 、c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 ▲ 个．二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）

如图，已知平行六面体中1111ABCD A B C D -, 4AB =,3,AD =15AA =,DAB ∠=1BAA ∠ =1DAA ∠=060.求1AC 的长.

16.（本题满分14分）

4名男生和3名女生站成一排.

(1) 若其中甲不站在两端，且乙不站在中间，有多少种不同的排法; (2) 若3名女生必须相邻，有多少种不同的排法;

(3) 若4名男生彼此不相邻，且3名女生也彼此不相邻，有多少种不同的排法. (注：以上所有结果必须用数字作答)

A B

C A 1 B 1

C 1

D 1

先通过解答（1）再通过类比解答（2）（1）求证：1tan ()4

1tan x

tan x x

（2）设,x R a ∈为非零的常数，且1()

()1()

f x f x a f x ++=-，试问：()f x 是周期函数吗？试

证明你的结论.

18．（本题满分16分）

在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，设AA 1=a ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小．

B C A 1

B 1

C 1

已知111()1()23f n n N n

*=+

+++∈ ，()2(11)()g n n n N *=+-∈. (1)当n=1,2,3时，分别比较()f n 与()g n 的大小； (2)由(1)猜想()f n 与()g n 的大小关系，并证明你的结论.

20. （本题满分16分）已知函数()ln ,()a

f x x

g x x

，()a ∈R . (1)当2a =时，求函数()()()p x f x g x =+的单调区间；

(2)若函数)()()(x g x f x h -=在[1,]e 上的最小值为3，求a 的值；

(3)若存在0[1,)x ∈+∞，使得2000()()f x x g x >+能成立，求a 的取值范围．

宿迁中学2011-2012学年度高二年级第二学期期中考试

理科数学试题参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置．．．．．．．

上． 1．110 2．32- 3.1 4. 92

- 5．70 6．20082012C 或4

2012C 7．36 8．{}3,1

9．(3,2)- 10．40232012 11．3122y x π=-- 12．7

18-n

13．6

(0,]5 14．165

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 解:11AC AB BC CC =++

………………………………4分 ()

()

2211

222111

1 ++2++111 =16+9+25+243+35+45=97................1222297AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC AC ∴=++=+????

??????? ???∴

分

对角线的长为..............................................................14分

16.解(1)6115

6455960A A A A += ……………………………………5分 (2)5353720A A = …………………………………….9分

(3) 3434144A A = ……………………………………..13分

答案………………………………………………………………………..14分 17. 解：（Ⅰ）tan tan

tan 11tan 4tan()4

1tan 1tan 1tan tan

x x x x x x

x π

π++++

==---…………5分

（Ⅱ）函数()tan f x x =的周期是π，类比的()f x 是以4a 为其一个周期的周期函数…………………………………………………7分

[]1()(2)()1()f x a f x a f x a a f x a +++=++=

-+ ＝1()

111(1()()11(f x f x f x f x f x +

=-+

））

，……………11分 ∴[]1

(4)(2)2()(2)

f x a f x a a f x f x a +=++=-

=+，……………………………13分

所以()f x 是周期函数，其中一个周期为4a …………………………….14分 18．（1）建立如图坐标系，于是)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ，)1,1,0(1C ，),0,0(1a A ，（0>a ），

)0,1,1(11-=→-C B ，),0,1(1a B A -=→-，∴ 1111-=?→

-→-B A C B ．……3分

由于异面直线B A 1与11C B 所成的角0

60，

所以→-11C B 与→

-B A 1的夹角为0

120，

即1120cos ||||0

111-=?→

-→-B A C B ，

11)2

(122=?-=-+??a a ．………………6分

（2）设向量),,(z y x n =→

且⊥→

n 平面11BC A

于是→--→⊥B A n 1且→--→⊥11C A n ，即01=?→--→B A n ，且011=?→

--→C A n ，

又)1,0,1(1-=→

-B A ，)0,1,0(11=→

-C A ，所以0,

y z y -=??=?不妨设)1,0,1(=→n ………………8分

同理得)0,1,1(=→m ，使⊥→

m 平面11C BB ， ……………………………………10分设→

m 与→

n 的夹角为θ，所以依θcos ||||??=?→

→→→n m n m ，

0602

cos 1cos 22=?=

?=???θθθ， ………………………12分 ⊥→

m 平面11C BB ，⊥→

n 平面11BC A ，

因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为0

60．……………………14分 19.解：（1）当1n =时， (1)1f =, (1)2(21)g =- ,(1)(1)f g > ,

当2n =时，1

(2)12

f =+

,(2)2(31)g =-,(2)(2)f g >，当3n =时，11(3)123

f =+

+,(3)2g =, (3)(3)f g > .………… 3分 A 1

B 1

C 1

x y

(2)猜想：()()f n g n > (n N *∈）,即11112(11)()23n n N n *++++>+-∈ …4分

下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证. …………………… 5分 ②假设当n=k 时，猜想成立，即11112(11)23k k

+++>+- 则当n=k+1时，11111

(1)12(11)2311

f k k k k k +=+

++++>+-+

++ 1

2121

k k =++

-+ …………………10分

而(1)2(21)222g k k k +=+-=+-，下面转化为证明：1

21221

k k k ++

>++ 只要证：2(1)1232(2)(1)k k k k ++=+>++，需证：2(23)4(2)(1)k k k +>++，即证：2

41294128k k k k ++>++，此式显然成立.所以，当n=k+1时猜想也成立. 综上可知：对n N *∈，猜想都成立， …………………… 15分即11112(11)()23n n N n

+++>+-∈ 成立. …………………… 16分 20．解：（1）当a=2时，由题意：()p x 的定义域为(0,)+∞，且/

22122

()x p x x x x

-=， //(0,2()0,(2,+)()0x x ∴<∞>在区间)上p 在上p ， ……………………2分

故()p x 2(0,2)+∞的单调增区间是（，），单调减区间是. ………… 4分（2）由由题意可知：2/)(x a x x h +=.

① 若1a ≥-，则0x a +≥，即0)(/

≥x h

在[1,]e 上恒成立，此时)(x h 在[1,]e 上为增

函数，min [()](1)3,3h x h a a ==-=∴=-（舍去）． …………………6分 ② 若a e ≤-，则0x a +≤，即/

()0h x ≤在[1,]e 上恒成立，此时)(x h 在[1,]e 上为减

函数，min [()]()13,2a

h x h e a e e ==-

=∴=-

………………8分 ③ 若1e a -<<-，令0)(/=x h 得x a =-，

当1x a <<-时，)(,0)(/x h x h <在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，)(,0)(/x h x h >在(,)a e -上为增函数，

2min [()]()ln()13,()

h x h a a a e =-=-+=∴=-舍去 …………………10分

综上可知：2a e =-． ………………………11分（3）2

000000

()()ln a f x x g x x x x >+∴>+

由． 3

00001ln x a x x x >∴<-又 3max ()ln ,a

116N )()1ln 3,,()6x x M x x x N x x x x

-==-+-=-=再令（

/()1,)0N x +∞ 在[上小于，

∴N(x)在[1,)+∞上是减函数，()(1)2N x N ≤=-即/()0M x <, 故M(x)在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1M x M ≤=-．

1a ∴<-， ………………………15分 ∴存在0[1,)x ∈+∞ ，2000()()f x x g x >+使得能成立，a 的取值范围是1a <-…16分

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|