2019年考研数学一
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则k= A.1. B.
2. C.
3. D.
4.
2.设函数??
?>≤=,
0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是
)(x f 的
A.可导点，极值点.
B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.
D.不可导点，非极值点.
3.设{u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A..1∑∞
=n n n u B.n n n u 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+???? ??-111n n n u u . D.()
∑∞
=+-12
21n n n u u . 4.设函数Q(x ,y )=x/y 2，如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0C
P x y dx Q x y dy +=??，
那么函数P(x ,y )可取为
A.32y x y -.
B.321y x y -.
C.y x 11-.
D.y
x 1
-.
5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T
的规范形为
A.232221y y y ++.
B.232221y y y -+.
C.232221y y y --.
D.2
32221y y y ---.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A ，则 A.r (A)=2,() 3.r A = B. r (A)=2,() 2.r A = C. r (A)=1,() 2.r A = D. r (A)=1,() 1.r A =
7.设A,B 为随机事件，则P(A)= P(B)的充分必要条件是
A.P(A ∪B)=P(A)+P(B)
B. P(AB)=P(A)P(B)
C. P(A B )=P(B A )
D. P(A B)=P(A B ) 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与σ2有关. B.与μ有关，而与σ2无关. C.与μ, σ2都有关. D.与μ, σ2都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则
y
z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22
=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .
11. 幂级数n
n n x n ∑∞
=-0
)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(442
22≥=++z z y x 的上侧，则
dxdy z x z
??
--2244= .
13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若
21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0
=x A 的通解为 .
14. 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他，
20,2
)(x x
x f ）
（x F 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ .
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数)(x y 是微分方程2
'2x e
xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.
（1）求y (x )；（2）求曲线y= y (x )的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）设a ,b 为实数，函数z =2+ax 2+by 2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j 的方向导数最大，最大值为10.
（1）求a ,b ；（2）求曲面z =2+ax 2+by 2（Z≥0）的面积.
17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x
与x 轴之间图形的面积.
18.设dx x x a n n ?
-=
1
21，n =（0，1，2…）
（1）证明数列{a n }单调减少，且221
-+-=
n n a n n a （n =2，3…）
；（2）求1lim -∞→n n n a a .
19.设Ω是锥面())10()1(22
2
2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.
20.设向量组
T
T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为R 3的一个基，β=(1,1,1)T 在这个基下的坐标为
(b ,c ,1)T .
（1）求a ,b ,c .（2）证明a 2, a 3，β为R 3的一个基，并求a 2, a 3β到a 1,a 2, a 3的过度矩阵.
21.已知矩阵??????????----=20022
122x A 与???
???????-=y B 00010012相似
（1）求y x ,. （2）求可可逆矩阵P ，使得.1
B AP P =-
22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为
{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令Z=XY
（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关.（3）X 与Z 是否相互独立?
23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为??
???<≥--=,
0,2)(),(2
22
μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，σ>0是未知参数，A 是常数，X 1,X 2,…,X n 来自总体X 的简单随机样本.
（1）求A ；求σ2的最大似然估计量
19答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.C
8.A
9.
y
x
x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.
3
32 13. ，T
)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.
3
2
15. 解：（1）)()()(2
2
22
c x e
c dx e e
e x y x xdx
x xdx
+=+??
=-
-
-?，又0)0(=y ，
故0=c ，因此.)(22
1x xe
x y -=
（2）2222
12
212
2
1)1(x x x e
x e
x e
y ----=-='，
22222
12
2
13
2
12
2
1)3()3()1(2x x x x e
x x e
x x xe x xe
y -----=-=---=''，
令0=''y 得3,0±=x
所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，
)3,3(2
3
-
--e ，)3,3(2
3-
e .
16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()
4,3(b a z =grad ，
由题设可得，
4
836-=
-b
a ，即
b a =，又()()10862
2=+=b a z grad ，
所以，.1-==b a
（2）dxdy y z x z S y x ??
≤+??+??+=
2
2
222)()(
1=dxdy y x y x ??≤+-+-+2
2222)2()2(1 =
dxdy y x y x ??
≤+++2
222
2
441 =ρρρθπ
d d ??
+20
2
2
41=20
2
3
2)41(12
1
2ρπ+?=
.3
13π 17.
18.
19.由对称性，2,0==y x ，??????????????--===Ω
Ω
1
02
1
2
10
1
)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z z
z
D D ππ=.
4
13
1121)1()1(1
2
1
2
==--??dz z dz z z 20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
， 解得3
22a b c =??
=??=-?
. （2）()23111111=331011231001ααβ????
????→-????
????????
，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.
()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=012
1002P ααβααα-??
??
????=-????????
，，，，.
21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3
2
x y =??=-?
（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为
1=2λ，11=20α?? ?- ? ???；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??
? ? ???
.
所以存在()1123=P ααα,,，使得
1
1
1212P AP -??
??=Λ=-????-??
. B 的特征值与对应的特征向量分别为
1=2λ，11=00ξ?? ? ? ?
??
；2=1λ-，21=30ξ??
?- ?
???；3=2λ-，30=01ξ?? ? ? ???.
所以存在()
2123=P ξξξ,,，使得12221
2P AP -????=Λ=-??
??-??
. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即111
2112B P P APP P AP ---==,其中1121
1
12120
4P PP --??
??==--?
?????
. 22.解：（I ）Z 的分布函数
(){}{}{}{}(){}
,1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤
从而当0z ≤时，()z
F z pe =；当0z >时，()()()
()1111z z F z p p e p e --=+--=--
则Z 的概率密度为()(),01,0
z
z
pe z f z p e z -?
->??.
（II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当p=1/2时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关. （III ）由上知当12p ≠
时，,X Z 相关，从而不独立；当1
2
p =时，1
211111111111,,,,122222222222P X Z P X XY P X X P X X F e -?
???????????≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤==-???????? ? ?????????????
而
1
2112P X e -??≤=-????，121111112222222P Z P X P X e -????????≤=≤+≥-=-?????? ?????????
，显然
1111,2222P X Z P X P Z ???
???≤≤≠≤≤?????????
???，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立.
23. 解：（I ）由
()2
2
21x A
e
dx μσμ
σ
--
+∞
=?
t =
2
01t e dt +∞-==?
，从而A （II ）构造似然函数()()221
12212,,1,2,,,,,,0
,n
i i n x i n
A e
x i n L x x x μσμσσ=--?∑???≥= ?=????
?L L 其他，当时，取,1,2,,i x i n μ≥=L
对数得()
2
22
1
1
ln ln ln 22n
i
i n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()
2
224
1
ln 1022n
i
i d L n x d μσσσ
==-+-=∑，
解得2
σ的最大似然估计量为()2
1
1n i i x n μ=-∑.
2018考研数学一真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．若函数1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也 就得到()()22 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 （A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?应该选（D ） ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<
2019年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I =，2D I =??， 3(1D I dxdy =-?? ，则 （ ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ） （A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ．
2019年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
考研数学2019完整版附参考答案 仅供参考 一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（ ） (A) 0d y y <
2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2019年考研数学—真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则
x 2 2 2 ? +∞ - x +∞ - x 2 考研精品资料 考研数学 考试真题（2019最新） 一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 x →0 时， x - tan x 与x k 同阶，求 k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 ? π 3 ? A. y = x sin x + 2cos x ??x ∈(- 2 , 2 π )?? 的拐点坐标 A. ? π , 2 ? ? ? B. (0, 2) C. (π , -2) D. ( 3 π , - 3 π ) 2 2 3.下列反常积分收敛的是 ? ?0 xe dx ? ?0 xe dx ? +∞ arc tan x dx ?0 1+ x 2 ? +∞ x dx ? 0 1+ x 2 4.已知微分方程 y ' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A. C x )e x + e x ，则 a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域 D ={(x , y ) || x | + | y |≤ 1 2 π }， 2 I 1 = ?? x d y , I 2 = ??sin x d y , I 3 = ??(1- cos x 2 + y 2 ) d x d y ，试比较 I , I , I 的大 1 2 3 D D D x 2
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 小 + I 3 < I 2 < I 1 + I 1 < I 2 < I 3 + I 2 < I 1 < I 3 + I 2 < I 3 < I 1 6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是 lim f (x ) - g (x ) = 0 的什么条件？ x →a (x - a )2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为 2. y 2 + y 2 + y 2 3. y 2 + y 2 - y 2 4. y 2 - y 2 - y 2 D. - y 2 - y 2 - y 2 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 2 9. lim x + 2x x = . x →0 ?x = t - sin t 3 10.曲线? y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 . f (u ) y 2 2x ?z + y ?z = 11.设函数 可导， z = yf ( ) ，则 . x ?x ?y π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________ 一、解答题 1．计算下列定积分： 3 (1);x ? 解：原式4 3 2382 3 3x ==-2 21 (2)d x x x --?; 解：原式0 12 2221 1 ()d ()d ()d x x x x x x x x x -= -+-+-? ?? 1 2 322332101111 1113 2233251511.6666 x x x x x x -??????=++--- ? ? ? ??????=++= π (3)()d f x x ? ,其中π,0,2()πsin ,π;2 x x f x x x ? ≤≤??=??<≤?? 解：原式π π π 2π 222π0 π2 2 1 πd sin d cos 1.28 x x x x x x = +=-=+? ? 2 22 (4)max{1,}d ;x x -? 解：原式12 1 1 2 2 2 332 1 1 212011 d d d 2.3 33x x x x x x x -----= ++=++=? ?? (5).x 解：原式πππ242π0 4 d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x = =-+--? ??
ππ2 4π0 4 (sin cos ) (cos sin ) 1).x x x x =++--= 2．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑ ??与二重积分有什么关系？ 解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ 故 ()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±???? 当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 3．证明:3 ()21f x x =- 和()g x =. 证:由3 21y x =- 解得x = 故函数3 ()21f x x =- 的反函数是)y x =∈R , 这与()g x =,所以3 ()21f x x =- 和()g x = . 4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使 ()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ?<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=. 综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 5．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<< <<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使 12()()() ()n f x f x f x f n ξ++ += . 证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是 12()()() n f x f x f x m M n ++ +≤ ≤, 由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使 12()()() ()n f x f x f x f n ξ++ += .
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆
（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 （7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 2 12()n X X -服从2 χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 （9） 已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵101112011A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组
5 2019年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ， 记1D I = ，2D I =?? ， 3(1D I dxdy =-?? ，则 （ ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ） （A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ．
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范 围是_____. （2）已知曲线 b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2 b 可以通过a 表示为 =2b ________. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤?? ?==而 D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ] T E A αα-=，T a E B αα 1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则 Y 与Z 的 相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时， ∑==n i i n X n Y 1 2 1依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(= [] (A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0. 》 （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是[] (A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2 n n n a a p += ， 2 n n n a a q -= ， ,2,1=n ，则下列命题正确的是[] (A)若∑∞ =1 n n a 条件收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (B)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (C)若∑∞ =1n n a 条件收敛，则∑∞ =1n n p 与∑∞ =1n n q 敛散性都不定. (D)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. 【 （4）设三阶矩阵 ?? ??? ?????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有[] (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0. (C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是[]
2019年数学一考试大纲（最新版） 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等数学 约56% 线性代数 约22% 概率论与数理统计 约22% 四、试卷题型结构 单选题 8小题，每小题4分，共32分 填空题 6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、
2019 年考研数学选择题拿分的8 个方法 直推法即直接分析推导法。直推法是由条件出发，使用相关知识，直接分析、推导或计算出结果，从而作出准确的判断和选择。计算类选择题一般都用这种方法，其它题也常用这种方法，这是最基本、最常用、最重要的方法。 方法2：反推法 反推法即反向推导或反向代入法。反推法是由选项（即选择题的各个选项）反推条件，与条件相矛盾的选项则排除，相吻合的则是准确选项，或者将某个或某几个选项依次代入题设条件实行验证分析，与题设条件相吻合的就是准确的选项。 方法3：反证法 在选择题的 4 个选项中，若假设某个选项不准确（或准确）能够推出矛盾，则说明该选项是准确选项（或不准确选项）。选择先从哪个选项着手证明，须根据题目条件具体分析和判断，有时可能需要一些直觉。 方法4：反例法 如果某个选项是一个命题，要排除该选项或说明该命题是错误的，有时只要举一个反例即可。举反例通常是用一些常用的、比较简单但又能说明问题的例子。如果大家在平时复习或做题时适当注意积累一下与各个知识点相关的不同反例，则在考试中可能会派上用场。 方法5：特例法（特值法） 如果题目是一个带有普遍性的命题，则能够尝试采取一种或几种特殊情况、特殊值去验证哪些选项是准确的、哪些是错误的，或者哪 些极有可能是准确的或错误的，从而做出准确的选择。
特例法用于以下几种情况时特别有效：(1) 条件和结论带有一定的普遍性时，通过取特例来确定或排除某些选项;(2) 对于不成立或极有可能不成立的结论需用举反例的方法证明其是错误时;(3) 对于一些难以作出判断的题，假设在特殊情况下来考察其准确与否。 方法6：数形结合法 根据条件画出相对应的几何图形，结合数学表达式和图形实行分析，从而做出准确的判断和选择。这种方法常用于与几何图形相关的选择题，如：定积分的几何意义，二重积分的计算，曲线和曲面积分等。 方法7：排除法 如果能够通过一种或几种方法排除 4 个选项中的 3 个，则剩下的那个当然就是准确的选项，或者先排除 4 个选项中的2个，然后再对其余的 2 个实行判断和选择。 方法8：直觉法 如果采用以上各种方法仍无法作出选择，那就凭直觉或第一印象作选择。虽然直觉法不是很可靠，但能够作为一种参考，况且人的直觉或第一印象有时还是有一定效果的。 在以上方法中，基本的方法是直推法，就是使用数学基本知识和方法实行分析判断，从四个选项中找出符合要求的那个选项; 排除法是对所有考试中做选择题都适用的方法，是一种普遍性的方法; 反例法是针对以数学命题作为选项的题目很有用和有效的一种方法，使用得当能够很快找出答案;
2019年考研数学一真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0 x x x f x x x x ?≤? =? >??，则0x =是()f x 的（ ） （A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 【答案】（B ） 【详解】（1）0 1 ln (00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01 x x x x f x x f x x f x ++ - →→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x x f x + +→'==-∞，所以函数在0x =处不可导； （3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当1 0x e <<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所 以函数在0x =取得极大值． 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） （A ）1n n u n ∞ =∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+??- ?? ?∑ （D ）22 11()n n n u u ∞+=-∑ 【答案】（D ） 【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞ 存在，记为lim n n u u →∞ =；又设n ?，满足 n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且22 10n n u u +-≥，则对于正项对于级数 2 211 ()n n n u u ∞ +=-∑，前n 项和： 2 21 11111 1 ()2()2()22n n n k k k k n n k k S u u M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑ 也就是 2211 ()n n n u u ∞ +=-∑收敛．
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版） 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 【答案】C . 【解析】因为 3tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π??=+<< ??? － ２２的拐点是（ ） A 、, ππ?? ??? ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '= - ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。 当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 20 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、201x dx x +∞+?. 【答案】D . 【解析】A 、 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞ +∞ +∞ +∞ ----=-=-+=? ??，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22 220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。
密 封 线 内 不 要 答 题 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 全国硕士研究生入学统一考试数学（三） 模拟试卷 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．） （1）已知当0→x 时，1)2 31(31 2 -+x 与1cos -x 是 （ ） （A ）等价无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）高价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小 （2）设()f x 满足()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且(0)2f =，0)0(='f 则（ ） （A ）0x =是函数()f x 的极小值点 （B ）0x =是函数()f x 的极大值点 （C ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凹的 （D ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凸的 （3）设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则正确的是 （ ） （A ）当 1n n b ∞ =∑收敛时, 1n n n a b ∞ =∑收敛. （B ）当 1n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. （C ）当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. （D ）当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. （4）设2 2 (,)xy z f x y e =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z y x x y ??+=?? （ ） （A ）( ) v xy f e y x '+2 2 (B) v xy u f xye f xy '+'24 (C) ( ) u xy f e y x '+2 2 (D) v xy f xye '2 （5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中12,αα线性无关，若1232αααβ+-=， 1234ααααβ+++=，1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通解为（ ） （A ） 123112213111012k k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? （B ）12012123201112k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-?????? （C ）12112213111012k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? （D ）1230111121120211121k k k ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?+++ ? ? ? ?- ? ? ? ?-???????? （6） 设A 为4阶实对称矩阵,且2 A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A ) 1110?? ? ? ? ???. (B ) 1110?? ? ? ?- ? ?? . (C ) 1110?? ?- ? ?- ???. (D ) 1110-?? ? - ? ?- ? ?? (7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 {}P X Y <=( ) （8）设12,,,n X X X L 为来自指数总体()E λ的简单随机样本，X 和2 S 分别是样本均值和样本方差．若2 2 2 1 ()E kX S λ -= ，则k = （ ） （A ）1 (B) 2 (C) 1n n + (D) 21 n n + 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上） （9）设1 lim )(212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数，求=a ___，=b 。
2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方） 一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D.4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln , 0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B. n n n u 1) 1(1∑∞ =-. C.∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u . D. () ∑∞ =+-1 22 1n n n u u . 4.设函数2 ),(y x y x Q = ，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+C dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为 A.32 y x y -. B.321y x y -. C. y x 11-. D.y x 1- . 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+，且4=A ，则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则 A..3)(,2)(==A r A r B..2)(,2)(==A r A r C..2)(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2 σμN ，则{} 1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0)! 2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .