模块综合检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x －3＝0的倾斜角是( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．不存在
答案：C
2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )
A ．－3或4
B ．－6或2
C ．3或－4
D ．6或－2
答案：D
3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( )
A ．27π
B ．18π
C ．9π
D ．54π
解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，
则6a 2＝54，所以a ＝3.
又因为2r ＝3a ，
所以r ＝32a ＝332
， 所以S 表＝4πr 2＝4π·274＝27π. 答案：A
4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正
确的是()
答案：C
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．12 B．18 C．24 D．30
解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．
由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图①所示，故该几何体的直观图如图②所示．在图①中，V棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝1
2×4×3×5
＝30，V棱锥P-A1B1C1＝1
3S△A1B1C1·PB1＝1
3×
1
2×4×3×3＝6.故几何
体ABC-PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
答案：C
6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4
B.17－1 C ．6－2 2 D.17
解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2.
而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，
所以|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.
答案：A
7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.??????－34，0
B.?
?????－33，33 C.[]－3，3
D.??????－23，0 解析：法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．
法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN|，再结合|MN|≥23可得答案．答案：B
8．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.
答案：D
9.如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()
A．90°B．45°
C ．60°
D ．30°
解析：如图所示，取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，则∠EFH 为所求，
可证△EFH 为直角三角形，
EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，
从而可得∠EFH ＝30°.
答案：D
10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由???y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0，
得(1＋k 2)·x 2＋2kx ＝0.
因为两点恰好关于y 轴对称，
所以x 1＋x 2＝－2k 1＋k
2＝0， 所以k ＝0.
答案：A
11．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相
垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )
A ．－4
B ．20
C ．0
D ．24
解析：垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，
故－a 4·25
＝－1， 所以a ＝10.l ：10x ＋4y －2＝0.
将(1，c )代入，得c ＝－2；
将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.
则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.
答案：A
12．过点A ? ??
??0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于
( )
A ．－3
B ．3
C ．－6
D ．6
解析：由题意知l 1⊥l 2，
所以kl 1·kl 2＝－1，即－13
k ＝－1，k ＝3. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．
解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线
y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2－(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为
|a＋a－2|
a2＋1
.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2.所以
?
?
?
?
?
|a＋a－2|
a2＋1
2＋12＝22.解得a＝4±15.
答案：4±15
15．如图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：
①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是
2
6.
其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．
解析：取AC 的中点E ，连接DE ，BE ，
则DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，且DE ⊥BE .
又DE ＝EC ＝BE ，所以DC ＝DB ＝BC ，
故△DBC 是等边三角形．
又AC ⊥平面BDE ，
故AC ⊥BD .
又V D -ABC ＝13S △ABC ·DE ＝13×12×1×1×22＝212
，故③错误． 答案：①②
16．已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是_________________________．
解析：因为(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25，
所以点P 在圆内．当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4，将x ＝－4代入圆的方程，得y ＝2或y ＝－6，
此时弦长为8.当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0， 当弦长为8时，圆心到直线的距离为
25－42
＝3，则|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3，
解得k ＝－43.则直线l 的方程为y ＋3＝－43
(x ＋4)， 即4x ＋3y ＋25＝0.
答案：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．
解：法一：由方程组???2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得?????x ＝－35，y ＝－75.
因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，
所以直线l 的斜率k ＝－3.
所以根据点斜式有y －? ????－75＝－3????
??x －? ????－35， 故所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.
法二：因为直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点， 所以设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，
即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.
因为直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，
所以λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1
，解得λ＝112. 从而所求直线方程为
15x＋5y＋16＝0.
18．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．
解：因为CC1∥AA1，
所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，
即∠BC1C＝30°.
＝23，在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×3
3
从而S△ABC＝3
2＝33，
4BC
因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.
19．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1.
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1?平面ACC1，
所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
20．(本小题满分12分)右图是某几何体的三视图，请你指出这
个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．
解：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．
表面积为S ，则
S ＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.
体积为V ，则V ＝8×4×6＋12
×22×8π＝192＋16π. 所以几何体的表面积为(176＋20π)cm 2，体积为(192＋16π)cm 3.
21．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4，0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．
(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；
(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值． 解：(1)因为点P (x ，y )是MN 的中点，
所以?????x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故???x 0＝2x －4，y 0
＝2y . 将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此
式即为所求轨迹方程．
(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2，0)为圆心，以1为半径的圆．点
Q到直线3x＋4y－86＝0的距离d＝|6－86|
32＋42
＝16.故点P到直线3x
＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，
最小值为16－1＝15.
22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a 的取值范围．
解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，得|3k＋1|
k2＋1
＝1，解得k＝0或k＝－3
4
，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
设圆心C (a ，2(a －2))，
所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.
设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，
即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.
整理，得－8≤5a 2－12a ≤0.
由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；
由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为?
?????0，125.