第一讲
Ⅰ 授课题目：
§5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解向量的内积及正交向量组的概念；
1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；
2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：正交向量组及正交矩阵
难点：施密特正交化方法
Ⅳ 讲授内容：
一、向量的内积
前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量
?
?
?
??
?
?
??=n
x x x x 2
1，??????
?
??=n y y y y 2
1
， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,，
[]y x ,称为向量x 与y 的内积.
内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T
=,.
内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.
例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，????
??
? ??--=5603β.求[]βα,及[]αα,.
解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα
n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹
角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义
n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x =
[]2
2221,n
x x x x x ++=
，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）.
向量的长度具有下列性质：
① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=；
③ 三角不等式 y x y x +≤+.
向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2
?≤
由此可得
[]
1 ,≤y
x y x （当0y ≠x 时）
于是有下面的定义：
当0≠x ，0≠y 时， []
y
,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角.
二、正交向量组
当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.
定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.
证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，
以T 1α左乘上式两端，得 0111=ααλT
， 因01≠α，故02
11≠=α
ααT
，从而必有01=λ.类似可证0,02==r λλ .于是向
量组r ααα ,,21线性无关.
注 1.该定理的逆定理不成立.
2.这个结论说明：在n 维向量空间中，两两正交的向量不能超过n 个.这个事实的几
何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.
正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n 个两两正交的n 维非零向量，可构成向量空间n R 的一个正交基.
例2 已知3维向量空间3
R 中两个向量????? ??=1111α，????
? ??-=1212α正交，试求一个非零向量
3α，使321,,ααα两两正交.
解 记 ???
? ?
?-=???? ??=12
11112
1T
T
A αα， 3α应满足齐次线性方程0=Ax ，即 ???? ??=????
?
?????? ?
?-0012
1
111
321x x x ， 由 ???? ?????? ?
?-01
101~03
111
~A ，得 ???=-=02
3
1x x x ， 从而有基础解系????? ??-101，取???
?
? ??-=1013α即合所求.
定义3 设n 维向量r e e e ,,,21 是向量空间)(n
R V V ?的一个基，如果r e e e ,,,21 两两正交，且都是单位向量，则称r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.
若r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基，那么V 中任一向量α应能由r e e e ,,,21 线性表示，设表示式为 r r e e e λλλα+++= 2211.为求其中的系数),1(r i i =λ，可用
T
i e 左乘上式，有 i i T i i T i e e e λλα==，即 []i T
i i e e ,ααλ==.
设r ααα ,,21是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量r e e e ,,,21 ，使r e e e ,,,21 与r ααα ,,21等价.这样一个问题，称为把r ααα ,,21这个基规范正交化.
以下办法可把r ααα ,,21规范正交化： 取 11α=b ；
[]
[]
1112122,,b b b b b αα-
=；
…… [][][]
[]
[]
[]1
1112
2221111,,,,,,-------
=r r r r r r r r r b b b b b b b b b b b b b αααα
.
容易验证r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价. 然后只要把它们单位化，即取1
11b b e =
，2
22b b e =
，……，r
r r b b e =
，就得V 的一个规范正交基.上述从
线性无关向量组r ααα ,,21导出正交向量组r b b b ,,,21 的过程称为施密特（Schimidt ）正交化过程.它不仅满足r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价，还满足：对任何)1(r k k ≤≤，向量组k b b b ,,,21 与k ααα ,,21等价.
例3 设????? ??-=1211α，????? ??-=1312α，???
?
?
??-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范
正交化.
解 取11α=b ；
[]
????
? ??-=????? ??--????? ??-=-
=1113512164131,12
1
1222b b b b αα；
[][]
?
???
?
??=--=1012,,22
2231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取
????
? ??-=12161
1e ，????? ??-=
111312e ，????? ??=101213e . 即合所求.
例4 已知???
?
? ??=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.
解 32,αα应满足方程01=x T
α，即0321=++x x x .
它的基础解系为
????? ??-=1011ξ，???
?
? ??-=1102ξ.
把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[]
[]
1112123,,ξξξξξξα-
=.
于是得
?
???
? ??-=1012
α，?????
??--=121213α.
三、正交矩阵
在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为
???'+'='-'=θθθ
θcos sin sin cos y x y y x x
对应的矩阵 ???? ?
?-=θθ
θθ
cos sin sin cos A ，显然E A A T
=???
?
?
?=1001.这样的矩阵称为正交矩阵.
定义4 如果n 阶矩阵A 满足E A A T = （即T A A =-1），称A 为正交矩阵.
上式用A 的列向量表示，既是 ()E n T n
T
T
=????
??
? ??αααααα,,,212
1 ， 亦即 (
))(ij
j
T
i δ
α
α=，
这也就是2n 个关系式
??
?≠===j
0,j,i ,1i ij j T
i 当当δαα （n j i ,2,1,=）.
这就说明：方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又E A A T =与E AA T =等价，所以上述结论对A 的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的n 个列（行）向量构成向量空间n R 的一个规范正交基.
比如：??
??
??0110
，?????
?
??????-22212122，??????
????
???????????
?---
-212
10
002121212
12
1
2121212121都是正交矩阵. 注 正交矩阵的性质：设B A ,均为正交矩阵，则
1.1±=A ，因此A 为满秩矩阵；
2.1-=A A T ，并且也是正交矩阵；
3.AB 也是正交矩阵.
定义5 若P 为正交矩阵，则线性变换Px y =称为正交变换.
设Px y =为正交变换，则有 x x x Px P x y y y T
T
T T
==
=
=
.
按x 表示向量的长度，相当于线段的长度.x y =说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.
Ⅴ 小结与提问： 小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.
2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等
式保证的，因为对任何非零向量βα,，由施瓦兹不等式有
[]
1,≤?β
αβα.从而
[]
β
αβαθ?=,arccos
才有意义.
3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化.
4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是A
的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.
提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？ 2.A 、B 均是正交阵，B A +是正交阵吗？ Ⅵ 课外作业：
161P 1.（2）2.（1）3.
第二讲
Ⅰ 授课题目： §5.2 方阵的特征值与特征向量 Ⅱ 教学目的与要求：
1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;
2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。 Ⅲ 教学重点与难点：
重点：矩阵的特征值与特征向量的概念 难点：矩阵的特征值与特征向量的性质及求法 Ⅳ 讲授内容：
一、特征值与特征向量的定义
定义1: 设A 是n 阶方阵，数λ和n 维若非零列向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ是方阵A 的一个特征值,x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量。
注 1.A 是方阵；
2.特征向量x 是非零列向量；
3.方阵A 的与特征值λ对应的特征向量不唯一；
4.一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法
x Ax λ=0)(=-?x A λ或0)(=-x E A λ已知0≠x ，所以齐次线性方程组
0)(=-x E A λ有非零解0=-?E A λ
定义2 设n n ij n n a A ??=)(，λ为实数，则行列式
λ
λλ
λ---=
-nn n n n n a a a a a a a a a E A
2
1
2222111211
是关于λ的n 次多项式，称为方阵A 的特征多项式.方程0=-E A λ称为方阵A 的特征方程. 显然，矩阵A 的特征方程在复数域内的n 个根就是A 的所有特征值.故求矩阵A 的特征值、特征向量的步骤为：
（1）由0=-E A λ求出λ，即为特征值；
（2）把得到的特征值λ代入齐次线性方程组0)(=-x E A λ，求出非零解x ，即
为所求
例2 求矩阵???
?
?
?
?--=201034
011
A 的特征值与特征向量. 解 2
)1)(2(20
1
03401
1λλλ
λλ
λ--=-----=-E A ，
所以 1,2321===λλλ.
当21=λ时，解方程0)2(=-x E A ，得基础解系???
?
?
??=1001p ，
所以)0(1≠k kp 是对应于21=λ的全部特征向量. 当132==λλ时，解方程????
?
??=????? ???????
?
?--=-00010
1024
012)(3
2
1x x x x E A ， 得基础解系???
?? ??--=1212p ，所以)0(2≠k kp 是对应于132==λλ的全部特征向量.
例3 求矩阵???
??
?
?--=31
4020
112A 的特征值与特征向量. 解 2
)2)(1(31
4
02011
2-+-=-----=-λλλ
λλ
λE A
所以11-=λ，232==λλ.
当11-=λ时，解方程0)(=+x E A ，得基础解系???
?
?
??=1011p ，
所以)0(1≠k kp 是对应于11-=λ的全部特征向量.
当232==λλ时，解方程0)2(=-x E A ，得基础解系????? ??-=1102p ，???
?
? ??=4013p ，
所以)0,(323322不同时为k k p k p k +是对应于132==λλ的全部特征向量. 三、特征值与特征向量的性质
性质1 若A 为n 阶矩阵，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量，则
（1）kA 的特征值为λk （k 是任意常数）；
（2）m A 的特征值为m
λ（m 是正整数）； （3）若A 可逆，则
λ
1
是1
-A
的特征值；
（4）若)(x f 为x 的多项式，则)(λf 是)(A f 的特征值.
性质2 A 与T A 有相同的特征值.
定理1 设n 阶矩阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ，则
（1）nn n a a a +++=+++ 221121λλλ； （2）A n =λλλ 21.
例4 设三阶矩阵A 的特征值为3,2,1-，求行列式E A A +-33的值.
解 设13)(3+-=x x x f ，则E A A A f +-=3)(3，由定理1可知)(A f 等于)(A f 的三个特征值之值.而由性质1得)(A f 的特征值为)3(),2(),1(-f f f ，故153)(=A f . 定理2 设m λλλ,,,21 是方阵A 的m 个特征值，m p p p ,,2,1 依次是与之对应的特征向量.如果m λλλ,,,21 各不相同，则m p p p ,,2,1 线性无关. 证明 设有常数m x x x ,,,21 使02211=+++m m p x p x p x .
则0)(2211=+++m m p x p x p x A ，即0222111=+++m m m p x p x p x λλλ ， 类推之，有0222111=+++m m m
m k
k
p x p x p x λλλ .（1,,2,1-=m k ） 把上列各式合写成矩阵形式，得
)0,,0,0(11
1
),,,(11
2
2
1
1
12211
=??????
?
?
?---m m
m
m m m m p x p x p x λλλλλλ. 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当i λ各不相等时该行列式不等于零，从而该矩阵可逆.于是有)0,,0,0(),,,(2211 =m m p x p x p x .
即),,2,1(0m j p x j j ==.但0≠j p ，故),,2,1(0m j x j ==.
所以向量组m p p p ,,,21 线性无关. Ⅴ 小结与提问：
小结：1.特征值λ可能是实数，也可能是复数.
2.特征向量是满足方程x Ax λ=的非零向量，且对任意非零常数0≠k ，
kx 也是A 的属于特征值λ的特征向量. 3.如果21,x x 都是A 的属于特征值λ的特征向量，且当02211≠+x k x k 时，
它也是A 的属于λ的特征向量.
提问：设α与β分别是矩阵A 的属于特征值1λ与2λ的特征向量，而且21λλ≠，问
βα+是否是A 的特征向量？
Ⅵ 课外作业： 162P 4.（1）（2）
竭诚为您提供优质文档/双击可除a1,a2,a3是规范正交向量组, 篇一：第三讲向量组 第三讲向量组 --------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。 向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。 向量组主要分三大部分： ■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性； ■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质
及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系； ■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化： 正交阵及其性质。 教材:第四,第五章第1节。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 一、主要内容 1、向量及其线性运算 ----概念 ------------------------------------------ （1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组； （2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算 ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)， 称为向量的线性运算； （3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数 k1,k2,,kn，使得有 bk1a1k2a2knan，
Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令 ;11αβ= 11 11 22,,ββββααβ-=; (1) 22 2231111333,,,,ββββ αββββααβ-- =; (11) 11 22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ . 则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1 i i i ββγ= s i ,.2,1 = 则},,,{21s γγγ 为规范正交组. 将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k k k i ik t βββα,,= ,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k {}, ,,2,1,s j i ∈? 有 ∑∑-=-=++= 1 1 1 1 ,,j k j k jk i k i k ik j i t t ββββαα()???? ? ?? ? ?? ??? ????????? ? ? =-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令??????? ? ? ?=---10 001001011,2,2,11,1,121 s s s s s s t t t t t t T
则 T T s s s s s s s s s s s s s s ??????? ? ??=????? ? ?? ? ?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0 00 0,0000,0 000,,,,,,,,,,,,,1 12211/2 1 1211122 21 212111 上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中 间 的 对 角 阵 是 s βββ,,,21 的Gram 矩阵.即 有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 = 因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 == 注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）. 例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则 （1）()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2） )?设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性 表示: s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到 第1行，s i ,,3,2 =得 ( )s s s s s s i s i i s s i i i s i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21 22 21 22 12 2 212 1 1121 ∑∑∑===---= 0= )?法一：由上页证明推理过程立即得证。 法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使
例4-13 证明)0,21,21(1=α ，)0,2 1 ,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基． 分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明： （1）证明所给向量两两正交． 000)2 1(21212121=?+- ?+ ?= ?αα ，所以，1α 与2α 正交； 01002 102131=?+?+ ?= ?αα ，所以，1α 与3α 正交； 0100)2 1(02132=?+?- +?= ?αα ，所以，3α 与2α 正交； 有以上证明可知，所给向量1α 、2α 、3α 两两正交． 又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α 、3α 是R 3的一组正交基． （2）证明1α 、2α 、3α 的长度都是1． 10 )2 1( )21(2 22 1=++= α ； 10 )2 1()2 1( 2 22 2=+- += α ； 11002 2 2 3=++= α ． 有以上证明可知，所给向量1α 、2α 、3α 是R 3的一组标准正交基． 例4-14 设)3,2,1(=α ，)3,1,4(-=β 是R 3中的向量， 试求α 在β 上的投影向量，投影长度；β 在α 上的投影向量和投影长度． 解：βα ?=1×4+2×(-1)+3×3=11， 14321222=++=α ， 263)1(42 22=+-+=β ， α 在β 上的投影向量为 )3,1,4(2611)3,1,4()26(112 21-=-=?=ββ βαγ α 在β 上的投影纯量，或称为投影长度为 26111=?=β βαγ β 在α 上的投影向量为 )3,2,1(1411)3,2,1()14(112 22==?=αα βαγ β 在α 上的投影纯量或称为投影长度为
标准正交基 一、标准正交基的定义及相关概念 1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,); （3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,); （4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0; 这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 二、标准正交基的相关性质 1、正交向量组的性质： （1）正交向量组是线性无关的。 证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα 由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。 （3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。） 2、标准正交基的性质： （1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εε j i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。 （2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。 例如：????? ???? ? ?-=????????? ??=????????? ??-=????????? ??=212100,212100,002121,0021214321e e e e 由于?????====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e j i j i 所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。 （3）n 维欧氏空间中，一组基为标准正交基的充要条件是这组基的度量矩阵为单位矩阵。 因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵等同于单位矩阵，这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵，由此可以断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的。
一、n 维向量的定义及运算 一、n 维向量的定义及运算二、向量空间 二、向量空间第一节向量空间 第二节向量的正交性
一、向量空间及其维数和基 一、向量空间及其维数和基 二、向量在基下的坐标 二、向量在基下的坐标
例1 设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合，如果V 关 于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即 (1) ?a , b ∈V , 有a +b ∈V . (2) ?a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V . 则称V 是一个实向量空间. 一、向量空间及其维数和基 定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为R n . 特别的 n = 1 时全体实数R 是一个向量空间; n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量 空间，记为R 3. n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空 间，记为R 2. 注：向量空间中必含有零向量。
例3 例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==n i i a 是一向量空间. }1|),,,{(1 21∑==…=n i i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一 个向量空间，称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。 设V 是一个向量空间，W V , W ≠?. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称W 是V 的子空间. 定义2若W V ，并且V W , 则称两个向量空间相等，记为W=V. ???
第五节振型向量正交性 对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。 一、耦合与解耦（教材6.7和6.8） 举例说明什么是耦合与解耦。 D y 如图所示是一刚性杆AD，用刚度分别为 1 k和 2 k的弹簧支承与A、D两端。
（1） 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得 12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θ θ θ+?=?=-+?? ?? ? =+-??=?+? 由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为 121122 C A D A D my k y k y J k y l k y l θ=--?? =-? （a ） 式中m 是刚性杆AD 的质量，J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。整理式（a ），得 ()()()()12221122 221111220 C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=???+-++=?? （b ） 写成矩阵的形式 12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-???????? ??+=??????????-+????? ????? （c ） 在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度）C y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵，反映在
§2 标准正交基 一、正交向量组 1．定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交，就称为一个 正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 2．正交向量组是线性无关的. 3．上述结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个. 二、标准正交基 1．定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有 ? ??≠==.,0; ,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为标准正交基的 充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵. 3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵 合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵. 由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 .2211n n x x x εεεα+++= .2211n n y y y εεεβ+++=
那么 .),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这说明了，所有的 标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 三、标准正交基的存在性及其正交化方法 1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中 称为施密特（Schimidt ）正交化过程 设 12,, ,m ααα 是一组线性无关的向量 (1) 正交化 11βα= 2122111(,) (,) αββαβββ=- 313233121122(,)(,) (,)(,) αβαββαββββββ=-- 43414244123112233(,)(,)(,) (,)(,)(,) αβαβαββαβββββββββ=- -- 由此推出 1 1 (,) (,) k k i k k i i i i αββαβββ-==-∑ (2) 单位化 例1 1234(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,1,1,1)αααα===-=-- 变成单位正交组 2．定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.
第一讲 Ⅰ 授课题目： §5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量 ??????? ??=n x x x x 21，?????? ? ??=n y y y y 21， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,. 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.
例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，???? ?? ? ??--=56 03β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x = []2 2221,n x x x x x ++= ，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=； ③ 三角不等式 y x y x +≤+. 向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2 ?≤ 由此可得 [] 1 ,≤y x y x （当0y ≠x 时） 于是有下面的定义： 当0≠x ，0≠y 时， [] y ,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角. 二、正交向量组 当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关. 证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，