第六章 弯曲应力（Ⅰ）
6.1.1 平面弯曲变形的定义是（ ）。 （A ）梁弯曲变形后横截面仍保持为平面
（B ）梁弯曲变形时荷载均匀作用在同一平面内 （C ）梁弯曲变形后的轴线是一条平面曲线 （D ）梁弯曲变形后的轴线与荷载作用在同一平面内
6.1.2在图示四种情况下，横截面上剪力Q 和弯矩M 均为负的是（ ）。
图
6.1.2
M
( D )
( B )
M
( C )
( A )
6.1.3图示悬臂梁1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是
1Q = ，1M = ，2Q =
，2M = ，3Q =
，3M = 。
6.1.4简直梁的外力和支座反力如图所示。1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是1Q = ，1M = ，
2Q =
，2M = ，3Q =
，3M = 。
6.1.5在梁的集中力P 作用处，（ ）。
（A ）Q 图有突变，M 图光滑连续 （B ）Q 图有突变，M 图有尖角 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图无突变，M 图有尖角 在集中力P 作用处两端横截面上剪力的突变值为 。 6.1.6在梁的集中力偶m 作用处，（ ）。
（A ）Q 图有突变，M 图无变化 （B ）Q 图有尖角，M 图有突变 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图有尖角，M 图无突变 在集中力偶m 作用处两端横截面上弯矩的突变值为 。 6.1.7梁在某截面处的剪力0Q =时，则该截面处弯矩为（ ）。
（A ）极值 （B ）零值 （C ）最大值 （D ）最小值 6.1.8在梁的某段上无荷载作用时，则该梁段上的Q 图是一条（ ），M 图一般是一条（ ）。
（A ）水平直线 （B ）斜直线 （C ）上凸抛物线 （D ）下凸抛物线
图6.1.3
图6.1.4
6.1.9在梁的某段上有均匀分布向下的荷载作用时，则该梁段上的Q 图是一条（ ），M 图一般是一条（ ）。
（A ）水平直线 （B ）向右下斜直线 （C ）向左下斜直线 （D ）上凸抛物线 （E ）下凸抛物线
6.1.10在梁的某段上有均匀分布向上的荷载作用时，则该梁段上的Q 图是一条（ ），M 图一般是一条（ ）。
（A ）水平直线 （B ）向右下斜直线 （C ）向左下斜直线 （D ）上凸抛物线 （E ）下凸抛物线 6.1.11设梁的剪力图如图所示。 （1）梁的AB 段上是（ ）。
（A ）均布向下的荷载 （B ）均布向上的荷载 （C ）无荷载 （2）梁的BC 段上是（ ）。
（A ）均布向下的荷载 （B ）均布向上的荷载 （C ）无荷载 （3）梁的CD 段上是（ ）。
（A ）均布向下的荷载 （B ）均布向上的荷载 （C ）无荷载
（4）作用于梁上B 截面处的集中力是（ ）。 （A ）大小为5kN ，方向向下 （B ）大小为5kN ，方向向上 （C ）大小为6kN ，方向向下 （D ）大小为6kN ，方向向上
（5）作用于梁上C 截面处的集中力是（ ）。
（A ）大小为6kN ，方向向上 （B ）大小为6kN ，方向向下 （C ）大小为3kN ，方向向上 （D ）大小为3kN ，方向向下 6.1.12某梁的弯矩图如图所示，其中曲线段均为二次抛物线。 （1）梁的AB 段上是（ ）。
（A ）均布向上的荷载 （B ）均布向下的荷载 （C ）无荷载 （2）梁的BC 段上是（ ）。
（A ）均布向上的荷载 （B ）均布向下的荷载 （C ）无荷载 （3）梁的CD 段上是（ ）。
（A ）均布向上的荷载 （B ）均布向下的荷载 （C ）无荷载 （4）在梁的B 截面处，有（ ）。 （A ）大小为2kN·m ，顺时针转向的集中力偶 （B ）大小为2kN·m ，逆时针转向的集中力偶
（C ）大小为5kN·m ，顺时针转向的集中力偶 （D ）大小为5kN·m ，逆时针转向的集中力偶
（5）在梁的C 截面处，有（ ）。
（A ）大小为3kN·m ，顺时针转向的集中力偶
（B ）大小为3kN·m ，逆时针转向的集中力偶 （C ）大小为2kN·m ，顺时针转向的集中力偶 （D ）大小为2kN·m ，逆时针转向的集中力偶 6.1.13简支梁及其弯矩图如图（a ）、（b ）所示。梁的受载情况（ ）。
图6.1.11
m 图6.1.12
m
m ( B )
( D )
( C )
( A )
(b)
(a)
图6.1.13
6.1.14左端固定的悬臂梁所受荷载中没有外力偶矩，梁的剪力图如图所示。梁的
受载情况是（ ）。
)
( D )
( B )
( A )
图6.1.14
6.1.15受均布荷载作用的外伸梁如图所示。从弯矩方面考虑，使梁的两支座间距离合理的a 值为（
）。
（A ）0
（B ）0.21l （C ）0.25l （D ）0.3l
6.1.16图示梁C 截面的弯矩C M =
。为使0C M =，则m = 。
图6.1.16
6.1.17图示各梁的跨长l 、荷载P 均分别相同。最大弯矩值为最小的是（ ）。
图6.1.17
( D )
( B )
( A )
( C )
q=P/l
q=P/l
图6.1.15
6.1.18绘出下列各梁的剪力图Q 和弯矩图M 。（注：求出支反力）
( a )
( b )
( c )
( d )
20kN m
4kN m
( e )
弯曲应力 6-1求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=?5.2m KN M ?=75.3max 4 88 44108.49064101064m d J x ??×=××==ππ（压） MPa A 37.20108.490104105.2823=××××=??σMPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =××××=?? σ
（b ）m KN M m m ?=?60m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x ??×=××==（压）MPa A 73.6110583210610608 23=××××=??σMPa 2.104105832109105.678 23max =××××=??σ（c ）m KN M m m ?=?1m KN M ?=1max 48106.25m J x ?×=3 6108.7m W x ?×=cm y A 99.053.052.1=?=（压）MPa A 67.38106.251099.01018 23=××××=??σMPa 2.128106.251018 3 max =××=?σ6-2 图示为直径D ＝6cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。 解：) 1(32 43 1απ?=D W x
? ??????×××=?463)64(110326π3 61002.17m ?×=3 46332 1021.2132 10632m D W x ??×=××==ππMPa 88.521002.17109.063 1=××=?σMPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=××=?σMPa 26.55max =σ6-3T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： （拉） Mpa 95.371065.910 1017010402 831 max =××××=??σ（压）Mpa 37.501035.1510 10170104028 3 1 min ?=××××?=??σE 截面
第六 弯曲应力 第六章答案 6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 )2(max D d E = σ==D Ed MPa 2004004.0102003 =?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.2010 11526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 3223 2 )2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8
第六章 弯曲应力 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。应熟练理解和掌握这些基本概念。 1.2 平面弯曲 工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。 外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。 1.3 弯曲正应力 梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。弯曲正应力公式 z I My = σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。 1.4 弯曲切应力 弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式 * z z F S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的 宽度；* z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。 1.5 弯曲强度条件 1 正应力强度条件
第六章 弯曲应力（Ⅱ） 6.2.1 下列各梁中，AB 段为纯弯曲的有（ ）。 2 2 6.2.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（ ）。 （A ）()4 464 P I D d π =- （B ）()4 432P I D d π = - （C ）()4464 z I D d π =- （D ）()4 432 z I D d π = - （E ）()3 332 z W D d π = - （F ）() 4 432z W D d D π = - 6.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）2266z BH bh W =- （B ）331 ()6z W BH bh H =- （C ）33 1()12z W BH bh H =- （D ）331212z BH bh W =- 图6.2.2 图6.2.3
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（ ）。 （A ）3 2326z d bh W π=- （B ）43 6412 z d bh W π=- （C ）431326z d bh W d π??=- ??? （D ）431326z d bh W h π?? =- ??? 6.2.5用直径为d 的圆形木切割出一根高h ，宽b 的矩形截面梁，若使梁对z 轴 的抗弯截面系数为最大，则h /b 是（ ）。 （A ）2.0 （B （C ）1.5 （D 图6.2.4 图6.2.5 6.2.6悬臂梁由两根T 形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力） ，受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是（ ）。 ( D ) ( C ) ( B ) ( A )图6.2.6 6.2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B 套入实心圆杆A 而成，略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量2B A E E =。 （1）他们最大正应力的比 max max A B σσ是（ ）。 （A ）15/2 （ B ）1/2 （ C ）1/4 （ D ）1 （2）任一横截面上正应力的分布规律是（ ）。 ( A )( B )( C ) ( D ) 图6.2.7
!第六章弯曲应力
弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。 题6-1图
解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 4 88 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.2010 8.490104105.28 2 3=????=--σ （压） MPa 2.38108.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 4 88 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8 106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：) 1(3243 1 απ-= D W x ? ?? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 61002.17m -?= 3 46 33 2 1021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.063 1=??=-σ MPa 26.5510 21.2110172.16 3 1=??=-σ MPa 26.55max =σ
第六章 弯曲应力 授课学时：6学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q 又有M 的情况。如 AC 、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD 段。 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b m m 纵向对称面
$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为θd ，中 m m 性层' 'o o 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）' 'b b 为圆弧曲线。因此，纵线bb 的伸长为 θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=?)()( 而其线应变为 ρ θρθεy d yd bb l ==?= 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = m dA x z
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比。中性轴z 上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩z M 和对轴的力偶矩y M ，分别为 ?=A dA N σ，?=A y dA z M σ，?=A z dA y M σ 考虑左侧平衡， ∑=0X ，∑=0y M ，得 ?==A dA N 0σ， ?==A y dA z M 0σ 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩z M ?? == =A A z M dA y E dA y M 2ρσ 式中积分 z A I dA y =? 2 是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可写成为 EI M = ρ 1 式中，Z EI 越大，则曲率 ρ 1 越小。因此，Z EI 称为梁的抗弯刚度。将该式代入y E E ρ εσ= =，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My = σ 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为
6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直，沿水平方向。 （2）内力分析，弯矩图如图（b ）所示，1-1横截面的弯矩为： 1115230(M -=-?=-?kN m ) （3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。1-1横截面上的a 点处于拉伸区，正应力为正；c 点处于中性层上，正应力为零；b 、d 两点处于压缩区，正应力为负。 3 111111m ax 2 301011.1110.1800.3 6 a a z z z M M M y y I I W σ---?= ?= ?= = =??P a M P a 。 11.11b a σσ=-=-M Pa 0c σ= 3 113 3010(0.1500.050)7.4110.1800.3 12 d d z M y I σ-?=- ?=- ?-=-??P a M P a 37 M kN V 图(kN ) (a) (c) (b) (c) (e) (d) 2 + q l /8 M kN ·m) (f) 180 q a a 题6-3图 题6-5图 6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。梁的横截面有两种情况，一是如图(b)所示是整体，另一种情况如图(c)所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）。若已知第一种情况整体时梁的最大正应力为10MPa ，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。第一种情况中性层为过轴线的水平纵向面，中性轴z 轴过整体形心C 与载荷垂直，沿水平方向。而第二种情况，两根木梁以各自的水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。如图所示。 （2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b ）所示，跨中截面为危险面。 （3）应力分析，判危险点：对于第一种情况，横截面为一个整体，跨中截面的上下边缘点正应力强度的危险点。而第二种情况，上下两块有各自的中性轴，因此，两根梁跨中的上下边缘均为正应力强度的危险点。 第一种情况：1 m ax m ax m ax m ax m ax 2 3 3310(2) 426 6 z M M M M a a a W a σ= = = = =?M P a
弯曲应力 从7题之后差一个题号！！ 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 101064 m d J x --?=??= = ππ
MPa A 37.20108.490104105.2823=????=--σ （压） MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110 583210610608 2 3=????=--σ （压） MPa 2.104105832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.3810 6.251099.01018 2 3=????=--σ （压） MPa 2.128106.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ M P a 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。 已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： M p a 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）
第六章 弯曲应力（Ⅰ） 6.1.1 平面弯曲变形的定义是（ ）。 （A ）梁弯曲变形后横截面仍保持为平面 （B ）梁弯曲变形时荷载均匀作用在同一平面内 （C ）梁弯曲变形后的轴线是一条平面曲线 （D ）梁弯曲变形后的轴线与荷载作用在同一平面内 6.1.2在图示四种情况下，横截面上剪力Q 和弯矩M 均为负的是（ ）。 图 6.1.2 M ( D ) ( B ) M ( C ) ( A ) 6.1.3图示悬臂梁1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是 1Q = ，1M = ，2Q = ，2M = ，3Q = ，3M = 。 6.1.4简直梁的外力和支座反力如图所示。1-1、2-2和3-3横截面上的剪力和弯矩分别是1Q = ，1M = ， 2Q = ，2M = ，3Q = ，3M = 。 6.1.5在梁的集中力P 作用处，（ ）。 （A ）Q 图有突变，M 图光滑连续 （B ）Q 图有突变，M 图有尖角 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图无突变，M 图有尖角 在集中力P 作用处两端横截面上剪力的突变值为 。 6.1.6在梁的集中力偶m 作用处，（ ）。 （A ）Q 图有突变，M 图无变化 （B ）Q 图有尖角，M 图有突变 （C ）Q 图无突变，M 图有突变 （D ）Q 图有尖角，M 图无突变 在集中力偶m 作用处两端横截面上弯矩的突变值为 。 6.1.7梁在某截面处的剪力0Q =时，则该截面处弯矩为（ ）。 （A ）极值 （B ）零值 （C ）最大值 （D ）最小值 6.1.8在梁的某段上无荷载作用时，则该梁段上的Q 图是一条（ ），M 图一般是一条（ ）。 （A ）水平直线 （B ）斜直线 （C ）上凸抛物线 （D ）下凸抛物线 图6.1.3 图6.1.4