第1章 单自由度系统的振动
1.1概述
机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的条件下，振
动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如图示1.1-1
就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。 本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动
1.2.1 无阻尼自由振动
如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述
：
0=+kx x
m (1.2.1-1) 令
m
k
n =
2ω ，方程的通解为
t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)
式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。 式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t =0时，质量块的位移 x=x 0，其速度
00V x x
== ,则 00
,x b V a n
==
ω
即
图
1.1-1
t x t V x n n n
ωωωcos sin 00
+=
（1.2.1-3）
或写成
)sin(?ω+=t A x n （1.2.1-4）
2
20
)(
x V A n
+=ω，0
0tan
V x a n ω?=
其中A 为振幅，
n ω为振动圆频率，? 为相位角，)2(/πωn n f =（赫兹）称为固有频率。固有频率与外界给予的初始条件无关，
它是系统本身所具有的一种重要特性。
1.2.2 有阻尼自由振动
图1.1-1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等。
图1.2-1所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为
0=++kx x c x
m (1.2.2-1) 令
2
,2n m
k n m c ω==，则 022=++x x n x
n ω （1.2.2-2） 其通解为
)2(2
22
21n n n n nt e c e
c e x ωω----+= （1.
2.2-3）
式中c 1、c 2为积分常数，由振动初始条件确定。
令
ξ
ω=n
n
，
ξ称为相对阻尼系数或阻尼率。则式 （1.2.2-3）可写为
)(1
21
122
----+=ξωξωξωt t t
n n n e
c e c e
x （1.2.2-4）
由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。
一、当ξ<1时，称为弱阻尼状态 此时，
12-ξ为虚数，式 (1.2.2-4) 变为
)(2
2
1211ξωξωξω----+=t i t i t n n n e
c e
c e x （1.2.2-5）
利用欧拉公式，式(1.2.2-5)可写为
]1sin 1cos [22t a t b Ae x n n t n ωξωξξω-+-=- （1.2.2-6）
括号内为两个简谐振动相加,即式 (1.2.2-5) 可写为
)
1sin(2?ωξξω+-=-t Ae x n t n （1.2.2-7）
)
1arctan(,)
1(1)(0
02
0222
02020x V x x x V A n n n n ξωξω?ξωξωξω+-=--++=
由式(1.2.2-7)可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性: 1.
它是一个简谐振动，振动的频率为
n ωξ21-，这是n ω为无阻尼时系统的固有频率。一般情况下，ξ
常在0.1左右，
因此对固有频率的影响不大，即认为
n n ωωξ≈-21 。
2. 振动的振幅为
t n Ae ξω-，其中A 、ξ
、
n ω皆为定值。所以振幅随时间变化的规律是一条指数递减曲线(图1.2.2-2)。
二、当ξ>1时，称为强阻尼状态 此时，式(1.2.2-4)可写成
1
2)1(12)1(20
2022
201)1(2)1(122--+-+-=
--++=
+=--
--+-ξωωξξξωωξξωξξωξξn n n n t
t
x V c x V c e c e c x n n （1.2.2-8）
由于
012>-ξ，故式(1.2.2-8 )中二项指数皆为实数。又因为12->ξξ，故二项之指数皆为负值，所以，式（1.2.2-8）
所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。
三、当ξ=1时，称为临界阻尼状态
由于
1==
n
n
ωξ，n n ω=，则有
km m
k
m
m c n c 222===ω (1.2.2-9) 这里 c c 为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。
由
n
n
m c n
ωωξ2=
=
及n c m c ω2=，有c
c c =
ξ。也就是说，相对阻尼系数
ξ（阻尼率）反映了系统的实际阻尼与临
界阻尼的关系。
在临界阻尼状态下，有
)(21t c c e x t n +=-ω (1.2.2-10)
其中00201
,x V c x c n ω+==。显然，在这种状态下不能形成振动(图1.2.2-4)。
1.2.3 有阻尼自由振动响应计算与 MATLAB 实现
根据式(1.2.2-7)、(1.2.2-8)、(1.2.2-10) 编写的程序如下： function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)
%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应 %VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图
%m 为质量;c 为阻尼;k 为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf 为仿真时间 %VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图 %zeta 为阻尼系数;ωn 为固有频率
%程序中z 为阻尼系数;A 为振动幅度;phi 为初相位 clc
%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf) if nargin==5
z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2; end
wn=sqrt(k/m);%固有频率 z=c/2/m/wn;
wd=wn*sqrt(1-z^2);
fprintf('固有频率为%.3g.rad/s.\n',wn); fprintf('阻尼系数%.3g.\n',z);
fprintf('有阻尼的固有频率%.3g.\n',wd); t=0:tf/1000:tf; if z<1
A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2); phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);
x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);
fprintf('A=%.3g\n',A);
fprintf('phi=%.3g\n',phi);
elseif z==1
a1=x0;
a2=v0+wn*x0;
fprintf('a1=%.3g\n',a1);
fprintf('a2=%.3g\n',a2);
x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t);
else
a1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1); a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);
fprintf('a1=%.3g\n',a1);
图1.2.3-1
fprint('a2=%.3g\n',a2);
x=exp(-wn*t).*(a1*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t)
+a2*exp(wn*sqrt(z^2- 1)*t));
end
plot(t,x),grid
xlabel('时间(s)')
ylabel('位移')
title('位移相对时间的关系')
运行该程序时，只需要给出相应参数，例如
>>VTB1(1,0.05,1,1,1,100)
ω＝1（rad/s）,阻尼系数ξ＝0.03，幅值为A=1.43相位角为phi=0.773。其响应曲线如图(1.2.3-1) 所示。
则显示固有频率为n
程序中if语句就是判断ξ大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。
ω＝1（rad/s），阻尼系数ξ＝1。其响应曲线如图(1.2.3-2) 所示。如果要想如果运行>>VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，则显示固有频率为n
求出振动的速度x (=xd)和加速度x (=xdd)，只要式(1.3-11)、式(12-12)、式(1.2-10)分别进行求导，在程序中加入相应的内容，最后增加plot(t,xd)，plot(t,xdd)即可给出速度和加速度图。
图1.2.3-2
1.2.4 有阻尼受迫振
单自由度有阻尼强迫振动的微分方程为
(1.2.4-1)
+
m=
+
kx
)(t
x
f
x c
式中f(t)为外加的激励力。如果f(t)=F0sinωt,则称为谐激励力，式(1.2.4-1)可写成
t F kx x c x
m ωsin 0=++ (1.2.4-2) 式(1.2.4-2) 是一个线性非齐次方程。其振动响应为
???
??????
????
+-=+-==
-=-++-=--22202
22202
2
12)2()1()2()(/12)
sin()1sin(λξλωξωωωωωωλλξλ
??ω?ωξξωk F k F B tg t B t Ae x n n n n
n n t n (1.2.4-3) 式中A 与?仍按式(1.2.2-7)计算，
λ为频率比，B 为稳态响应的振幅。
谐迫振动的主要特性有：
1. 式(1.
2.4-3)包括瞬态与稳态响应两部分，其中瞬态响应是一个有阻尼的谐振。振动频率为系统固有频率
n ω，振幅A 与初相位
角?决定于初始条件，振幅的衰减按t
n e
ξω-规律，因此，振动持续时间决定于系统的阻尼比
ξ。
2. 谐振的稳态响应也是一个简谐振动，其频率比等于激励力的频率
ω，振幅为B ，相位角为?。
3. F 0/k 是系统的静载荷F 0作用下产生的变形，称“静变位”。而系统在t F t f ωsin )(0=作用时，产生等幅振动，这个振动
实质上是一种”动态变位”。)//()(
0k F B H =ω即为“动态变位”与静态变形之比，称为动力放大因子。H (ω)随阻尼比ξ和
频率比
λ而变化。当1<<λ时，1)(≈ωH 即k F B /0≈，说明激励频率 ω远小于系统固有频率n ω时，系统可视为静态，
振幅也等于静变位。当
1>>λ时，0)(→ωH 即0→B 这是因为激励力频率非常高，系统由于惯性而来不及随之振动。当
1≈λ时，B 急剧增大，即发生共振。
下面是单自由度谐迫振动计算程序。 function vtb2(m,c,k,x0,v0,tf,w,f0) %单自由度系统的谐迫振动 wn=sqrt(k/m); z=c/2/m/wn; %阻尼比 lan=w/wn; %频率比 wd=wn*sqrt(1-z^2);
A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2); t=0:tf/1000:tf;
phi=atan2(2*z*lam,1-lam^2) %相位角
B=wn^2*f0/k/sqrt((wn^2-w^2)^2+(2*z*wn*w)^2);
x=A*exp(-z*wn*t).*sin(sqrt(1-z^2)*wn*t+phi)+B*sin(w*t+phi); plot(t,x),grid
xlabel('时间(s)') ylabel('位移')
title('位移与时间的关系')
【例1.2.4-1】图(1.2.4-1)是谐迫振动系统。已知k=43.8(N/cm)，响应。
m=18.2(kg)，c=1.49(N.s/cm)，F 0=44.5(N),
ω=15(rad/s)。求系统的
运行vtb2(18.2,1.49,43.8,1,1,100,15,44.5)，可得出振动响应(图
1.2.4-2)。
读者可自己调整c 、
ω的大小，从而调整λξ,的大小，分析系统的响应形态。
1.3 等效质量与等效刚度
本节内容在《机械原理》中已学到。
在第6章“考虑构件弹性的机械系统的动力学”中还要介绍传动系统的等效质量和等效刚度。
在实际振动系统中往往有多个质量块、分布质量和多个以不同形式联结的弹性元件，尽管这些系统可以用有限元方法进行动力学分析，但为了简化，需要进行等效处理。 1．等效质量和等效转动惯量
根据能量法原理,分布质量可简化为一个等效质量。它是一个假想的集中质量，在振动过程中产生的动能等于分布质量所产生的总能量。
对于离散分布的各集中质量，其等效质量为
21
21
)(
)(e
j
m
j j e i m
i i e u I
u u
m m ω∑∑
==+
= （1.3-1）
其中i u ——质量i m 的运动速度；e u ——等效质量的运动速度；j ω——转动惯量j I 的转动角速度。
等效转动惯量为
图1.2.4-2
21
2
1
)(
)(
e
j m
j j e
i
m
i i e I u m J ωωω∑
∑
==+
=
（1.3-2）
其中e ω——等效转动惯量的转动角速度。
图1.3-1所示的系统，现将质量简化到A 点，利用式（1.3—1），且1u u e =，
可得
22212121222111)1
()()()()(
a
J a b m m v J v v m v v m m e ++=++=ω2．等效刚度
等效刚度时在保证系统总势能不变的条件下，将各部分的刚度向一定位置转换，转换得到的假想刚度为等效刚度。
机械系统中常用几个弹性元件串连或并联。建立动力学模型时，常需将组合弹
簧系统换算成一个等效弹簧。这个弹簧得刚度为等效刚度。组合弹性元件的等效刚度见表1.3-1。
表1.3-1组合弹性元件的等效刚度
【例1.3-1】一振动系统如图1.3-2所示。假定水平杆OB 是刚性杆，试求系统转化到B 点的等效刚度。
图1.3-1
【解】将刚度1k 的弹簧转换到B 点。
根据势能相等原理，A 点弹簧1k 的势能应等于B 点等效弹簧1
k '的势能，即 22
111
2
121)(,2121ll l k k y k y k B A =''= 弹簧1k 和弹簧1
k '成串联组合，则等效刚度为 2222112
1
212
22
11222112121)()(l k l k l k k k l l k k l l
k k k k k k +=+=+''=
1. 4隔振原理
机械设备运转时所产生的振动，不仅影响本身工作精度、结构强度和使用寿命，而且会对周围的仪器设备和建筑物带来危害。由振动引起的噪声还会影响人体的健康。因此，有效地隔离振动是十分必要的。
工程上通常采用两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。两种隔振的设计方法是相同的，都是把隔振的机器或仪器安装在由弹簧与阻尼器组成的隔振器上，使大部分振动能量为隔振器所吸收。 1．主动隔振
机器本身是振源。为了减少它对周围其它设备的影响，用隔振器将它与地基隔开，这种隔振称为主动隔振。例如行走机械中，原动机底座加橡胶隔振垫等。
图1.4.1（a ）是单自由度主动隔振的动力学模型。机器本身产生的振动激励力为t F ωsin 0
。如果没有隔振装置，设备和支承之间为刚性接触，则传
递到支承上的动载即为t F ωsin 0
。采用隔振措施后，系统作用在支承上的
力将为通过弹簧（k ）和阻尼器（c ）传递的最大载荷max k N 和max c N 的
矢量和，即
max max c k N N N +=
因
)
cos()
sin(?ωω?ω-==-==t B c x c N t kB kx N c k
（上述振动为简谐振动，其振动位移与速度之间的相位差0
90），则最大合力为
图
1.3-2
（a ）主动隔振 (b)被动隔振
图1.4.1
2
22)2(1)()(ξλω+=+=kB B c kB N (1.4-1)
由式(1.2.4-3),谐迫振动的振幅为
2
2
20
2
2
20
)
2()1()
2()1(ξλλξλλ+-=
+-=
k F B B
将上式代入式(1.4-1)，得
2
222
)2()1()2(1ξλλξλ+-+=F N
主动隔振得隔振效果常用隔振系数a η来表示。a η为设备隔振后传给地基的最大动载荷N (幅值)与未隔振时设备传给地基的最大动载荷0F （幅值）之比值。
2
2220)2()1()2(1ξλλξλη+-+=
=F N
a (1.4-2)
2．被动隔振
为了减小周围振源对仪器设备的影响，需隔离来自地基的振动，这种隔振称为被动隔振，如图1.4.1（b ）所示。地基传给系统的激励是
t A y ωsin =，经隔振后仪器设备的响应为)sin(ψω-=t B x ，其振幅为
2
222
)2()1()2(1ξλλξλ+-+=A
B
被动隔振得隔振效果常用隔振系数p η来表示。
2
222)2()1()2(1ξλλξλη+-+=
=A B
p (1.4-3)
当振源为简谐振动时，主动隔振与被动隔振的隔振系数的数学表达式是完全相同的。 采用不同的ξ、λ值，可绘制一系列隔振曲线。 当1<<λ
时，1=η，无隔振效果；当21<<λ时，1>η，不但不能隔振，反而会有扩振的效果；当1≈λ时，系统共
振。所以，21<<λ称为扩振区。设备在启动和制动过程中必定要经过这一区域，因而，在隔振器内，应具有适当的阻尼，以减少
经过共振区域的振幅。
当2>λ
时，1<η，这才有隔振效果，故称为隔振区，且随着λ的增大隔振效果增强。在工程中一般取5~5.2=λ即可
满足要求。在此区域，增大阻尼会降低隔振效果。
1.5等效粘性阻尼
在振动微分方程中，一般将阻尼假定为粘性阻尼，从而使方程容易求解。而实际系统常为非粘性阻尼，因而需要用等效粘性阻尼来进行近似计算。
当系统作简谐振动时，粘性阻尼力也是简谐力，即
)cos(ψωω-==t cB x
c F c 在一个周期中，粘性阻尼所消耗的能量等于它在一个周期中所做的功
2
20
20
22)cos(ωπψωωω
π
cB W dt
t cB dt x
F W c T
c c =-==
?
?
（1.5-1）
对于非粘性阻尼系统，根据一个周期中非粘性阻尼和等效阻尼所消耗的能量相等的原理，假设e W 为非粘性阻尼在一个周期内所做的功，e c 为其等效阻尼，则
ω
πωπ22B W c B c W W e
e e c e =
== （1.5-2）
常见的非粘性阻尼的等效阻尼： 1．干摩擦阻尼
干摩擦阻尼力c F 为常数力，在系统振动过程中大小不变，其方向始终与运动方向相反，在1/4振动周期内，阻尼力所作的功为
B F W c e 4=，故干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数为
ω
πB F c c
e 4=
（1.5-3）
2．流体粘性阻尼
当物体以较大速度在粘度较小的流体内运动时，其阻尼力和速度平方成正比（2x
a F c =）,而方向与速度相反。流体阻尼在一个周期内所作的功为
ωπ
πωωψωωω
ψω
ψ
aB B W c aB dt t B a dt x
a dt x F W e
e T T T e e 38
3
8
)(cos 444
2
22
333340
3
40
=
=
=-===?
?
?
+ （1.5-4）
3．结构阻尼
结构材料在振动过程中，存在加载和卸载的循环。每个振动周期内形成一个应力曲线，如图（1.5-1）所示。试验表明，一个周期内结构阻尼消耗的能量与振幅平方成正比，而与振动频率无关，即
2bB W e =
式中b 为常数。
结构阻尼的等效粘性阻尼系数为
πω
b
c e =
（1.5-5）
如果一个系统存在几个性质不同的阻尼时，也可以把它折算成等效阻尼
2
B W c e πω∑=
(1.5-6)
其中
∑W 为系统各阻尼在一个周期中消耗的能量。
关于结构阻尼，还请参考“李润方,王建军,齿轮系统动力学——振动、冲击，噪声，科学技术出版社，1997.3”。
1.6非谐周期激励的响应
对于工程中常见的线性系统来说，任何周期函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函数之和。假设系统受一周期激励)(t F 作用，其周期为T,可表示为
∑∞
=++
=++++++=
1
00020102010
)
sin()(2sin sin 2cos cos 2
)(n n n
t n A
A t F t b t b t a t a a t F ?ωωωωω （1.6-1）
式中
n
n n n n n b a tg b a A a A =+==
?,,22
20。图（1.6-1）为给定
周期函数)(t F 的频谱。
级数和
【例1.6-1】设周期激励)(t F 为图（1.6-2）所示,求此函数的傅立叶频谱。
【解】)(t F 的数学表达式为
??
???
<<-<<=时
，当时，当T t T
A T t A t F 220)(
式中T 为激励)(t F 的周期，基频T /20
πω=。
图
1.5-1
图
1.6-1
图1.6-2
不难求出傅立叶系数为
?????===+-==
=-
==
==
?
?
?
??
,6,4,2,0,5,3,1,4]2cos cos 21[sin )(20
]cos cos [
2
cos )(20)(20
020
2
00000
0n n n A n n n A tdt n t F T
b tdt n A tdt n A T
tdt n t F T a dt t F T a T
n T T
T T
n T
当当π
πππωωωω
因此
+++=t t t A t F 0005sin 25.03sin 42.0sin 27.1)(ωωω如图1.6-3。
在工程中一般取前5各谐波合成就能满足精度要求。图1.6-3（b ）为对应的频谱图。从图中可以看出，当n=9时，谐波的幅值为0.14A ，占比重很小。因此，可以忽略高阶谐波。
下面有阻尼的弹簧质量系统在周期激励)(t F 作用下的响应。其运动方程为
∑∞
=++=++1
000)sin cos (2
n n n
t n b t n a
a kx x c x
m ωω （1.6-2）
方程右端的常数项
2
0a 相当于激励力的静力部分，若将响应曲线的坐标选在静平衡位置，此常数力不会出现在微分方程中。所以只讨论
各阶简谐交变力引起的响应。
同样，这里只讨论周期激励下的稳态响应。
图
1.6-3
对于线性系统，可应用叠加原理将式（1.6-2）右端各谐波激励分别单独作用于系统，逐个求得其响应，然后将各响应叠加，即为系统在周期激励作用下得稳态响应。
在于第n 阶谐波激励力（t
n b t n a n n
00sin cos ωω+）作用下，根据式（1.2.4-3），其响应可表示为
2
2202
2
20)
2()1()sin()
2()1()cos()(n n n n n n
n t n k
b t n k
a t x ξλλψωξλλψω+--+
+--=（1.6-3）
式中n λ——第n 阶频率比，n
n
n ωωλ0
=
；n ω——系统固有频率，m k n /=ω；)12(
2n
n n ant λ
ξλψ-=；k ——系统刚度。
系统得总响应为
∑
∞
=+--+-=
1
2
2
200)
2()1()
sin()cos()(n n n n n n k t n b t n a t x ξλλψωψω （1.6-4）
当阻尼比ξ较小可以忽略时，上式可写成
∑
∞
=-+=
1
2
00)
1(sin cos )(n n n k t
n b t n a t x λωω （1.6-5）
式（1.6-5）表明，周期激励力作用下系统无阻尼稳态响应不仅与各阶谐波激振力幅n a 、n b
有关，且与频率比n λ密切相关，要防止强烈振动应避免出现),3,2,1( ==n n
λ的情况。
当系统是在周期性支承运动(参见1.2.5 支承激励引起的振动)
∑∞
=+=
1
00)sin cos ()(n n n
s t n b t n a
t x ωω
作用下振动时，则在忽略阻尼时系统的响应为
∑
∞
=-+=
1
2
001sin cos )(n n n t
n b t n a t x λωω （1.6-6）
1.7单位脉冲的响应
如前所述，一个无阻尼弹簧质量系统，在初始位移0x 和初始速度0V 下的自由振动响应为
t x t V x n n n
ωωωcos sin 00
+=
设系统原来静止于平衡位置。从0=t
开始，突然作用有冲量t F F ?=
，其中t ?是极其短暂的阿冲击时间。由冲量定理，质量m 的
初速度m F V /0
=，初始位移00=x ，代入上式，则系统体的运动规律为
t m F
t x n n
ωωsin )( = （1.7-1）
如果冲量1=F
，则称为单位脉冲，则由单位脉冲引起的系统响应为
t m t h n n
ωωsin 1)(=
（1.7-2）
引入阻尼
则单位脉冲引起的系统响应为
2
2
1sin 1)(ξωωωξ
ωξω-=-=
-n d d n t t
m e t h n （1.7-3）
式（1.7-3）表示在t=0时单位脉冲引起的系统响应(图1.7-1a)。如果单位脉冲1=F
是在τ=t 开始作用(图1.7-1b)，则系统的响应只要用（τ-t ）
去代替式（1.7-3）中的t 即可，即
τττωξωττξω>??
?
??<--=---t t t m e t h d n
t n 当当,,0)(sin 1)(2)
( （1.7-4）
对于非单位脉冲t F F
?=
，其系统的响应为
τ
ττωξωττξω>??
?
??<--?=-?--t t t m e t F t h t F d n
t n 当当,,0)(sin 1)()()(2)
( （1.7-5）
1.8任意激励的响应
是一系列对于一个任意的非周期性函数)(t F （图1.8-1），可以看成度
为
冲量ττ?)(F 的脉冲排列而成。对应于每一个τ值都有一个宽
则此微脉
τ?，高度为)(τF 的脉冲。设τ=t 时的微脉冲为ττd F )(，
冲引起系统在τ>t
时刻的响应为
)()()(τττ-=t h d F t dx
系统的所
系统在任意激励)(t F 作用下的响应，应是在时刻t 之前作用于有脉冲引起的系统响应的总合，即
τττd t h F t x t
)()()(0-=?
则
图
1.7-1
图1.8-1
ττωτωτξωd t e F m t x t
d t d
n ?
-=
--0
)()(sin )(1)( （1.8-1）
当忽略阻尼时，上式可写成
τ
τω
τωd t
F m t x t
n n
?-=
)(sin )(1
)( （1.8-2）
式（1.8-1）、（1.8-2）的积分形式称为杜哈美（Duhamal ）积分，数学上称为卷积。
1.9任意支撑的响应
由牛顿定
先讨论图1.2.5-1表示支承激励的动力模型。设支承作简谐运动，即t A y ωsin =。
律，系统运动的微分方程为
ky y c kx x c x
m y x c y x k x
m +=++----= 或)()( （1.9-1）
从而
t kA t cA kx x c x
m ωωωsin cos +=++ （1.9-2） 该振动微分方程的稳态解可以通过线性叠加法求出。这里用复数法求解。设系统稳态
解为
)()s
i n (ψωψω-=-=t i Be t B x ，将x 、y 代入式（1.9-2）
，有 t
i Ae ci m k ci k x ωω
ωω+-+=
2
引入m
c n n m k n n 2,,,2
====
ωξωωλω
，则有 ξλλξλ
ξλ
λξλψψωω2112112)
(2i i Be Be
Ae i i x i t i t i +-+=
=+-+=
--
式中
A 、
B 为质量块m 的振幅。
利用复数运算，得振幅
2
222
2
23
2
222
2121)212(2121）
（）（）（＝）
（＝）
（）（）
（ξλλξλβξλλξλψξλλξλ+-+=+-+-+=A B
ant A B （1.9-3）
图1.9-1
式中β称为放大因子。
如果支承作任意激励，则式（1.9-1）的右端y c ky
+相当于激励力)(t F ，运用式（1.8-1）、（1.8-2），即可得
ττωττωτξωd t e y
c ky m t x t
d t d
n ?
-+=
--0
)()(sin )]()([1)( （1.9-4）
当忽略阻尼时，上式可写成
ττω
τωd t
ky m t x t
n n
?-=
)(sin )(1
)( （1.9-5）
如果支座得运动是用加速度)(t y
来描述的，而所需的是系统中的质量m 对于支座的相对运动，如果令y x z -=，则由式（1.9-1）可导出
y
m kz z c z m -=++ （1.9-6） 将y m t F -=)(代入式（1.8-1）、（1.8-2），
τ
τω
τωτ
τωτωτξωd t
y t z d t e
y t z t
n n
t
d t d
n ??--
=--
=--0
)
()(sin )(1
)()(sin )(1
)( 或 （1.9-7）
单自由度系统机械振动 1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯 滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统 的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的 质量为m ，弹簧刚度为K 。 2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位 置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突 然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位 移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2） 3．如图所示为一台机器，其总质 量为M ，安装在一个弹簧和一 个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻 尼系数为c 。机器工作时旋转中 心为O ，角速度为ω，不平衡 质量大小为m ，偏心距离为e 。 机器只能在垂直方向运动。求机器振动时传给地面的力的最大值。 W K
4．图示系统中，质量m 上受激励力为 F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时， 求质量m 的稳态响应 5. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固 有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ， 弹簧刚度为K 6. 一重块与两弹簧相连，W=490N ，k=9800N/m ， 图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块 落下后作自由振动时的振动位移表达式？ 7. 如图所示为一台机器，其总质量为m ，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹 簧常数为k ，阻尼系数为c 。基础的运动为 y(t)=Ysin ωt ，机器只能在垂直方向运动。求 基础振动时传给机器的力的最大值。 W K K
8．图示系统中，质量m上受激励力为 F（t）=sinωt+10sin10ωt时， 求质量m的稳态响应。 9.一般振动问题，如图所示： 三类振动问题分别是： （1）振动分析，已知，求； （2）振动环境预测或载荷分析，已知，求； （3）系统识别，已知，求。 10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有， 和。 11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅 为， 振动频率为为，振动的初相位为 12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有 振型， 其中的第i阶主振型有个节点。
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解： 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时，1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持 2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得： 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得： 22 222()()*0m C k k l m g =--=∑， 22222m g k k l =+ ； 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=????m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ； 综上解得：????? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(222221222212221 2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ： ∑=0X ，0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ，0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m ： ∑ =0X ， 0sin 2 2 21 =+θT k ∑ =0Y ， 0cos 2 22=-g m T θ
第1章 单自由度系统的振动 1.1概述 机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的条件下，振 动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。 实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如图示1.1-1 就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。 如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。 振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。 机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。 由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。 本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。 1.2单自由度系统的振动 1.2.1 无阻尼自由振动 如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述 ： 0=+kx x m (1.2.1-1) 令 m k n = 2ω ，方程的通解为 t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2) 式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。 式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t =0时，质量块的位移 x=x 0，其速度 00V x x == ,则 00 ,x b V a n == ω 即 图 1.1-1
x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1 dx 2 显然此时 m 2 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 第5章两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的 转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1 5.1双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2 何 表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统 m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式 (5-2) k 1 k 2 k 2 k 2 m 1
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程 (5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt ) 或写成以下的矩阵形式 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 a p 2 b A i 0 c d p 2 A 2 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式 (5-5)的系数行列式等于零，即 2 a p 2 b (p 2) p 2 c d p 展开后为 p 4 (a d) p 2 ad be 0 的两个特征根为 (ad bc) (5-7) 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质， 与运动的初始条件无关， 因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的 振幅比 (5-3) x i X 2 A i sin( pt ) A 2 (5-4) (5-5) (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件, 通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程，它 2 a d 2 bc