第三章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sinα＝35，cos(α＋β)＝－4
5，则sinβ＝( )
A ．0
B ．0或24
25
C.2425 D ．±2425
[答案] C
[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sinα＝35，cos(α＋β)＝－4
5，
∴cosα＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±3
5，
当sin(α＋β)＝3
5时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝35×4
5－????－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－3
5时，
sinβ＝－35×45－????45×3
5
＝0.
又β∈????π2，π，∴sinβ＞0，故sinβ＝2425
. [点评] (1)可用排除法求解，∵π
2
＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A ，B ，D.
(2)由cos(α＋β)＝－45及sinα＝35可得sinβ＝4
3(1＋cosβ)代入sin2β＋cos2β＝1中可解得cosβ＝
－1或－725，再结合π
2
<β<π可求sinβ.
2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π
2
B.5π4＜θ＜7π4
C.3π
2
＜θ＜2π
44[答案] B
[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞22或sinθ＜－22
， 又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－
2
2
， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π
4
.
3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )
A ．向左平移π
8个单位得到
B ．向右平移π
8个单位得到
C ．向左平移π
4个单位得到
D ．向右平移π
4个单位得到
[答案] C
[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
4)
＝2sin2(x ＋π
8
)
y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π
8)
其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π
8
∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π
4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．
4．下列各式中，值为3
2
的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos215°－sin215° C ．2sin215°－1 D ．sin215°＋cos215° [答案] B
[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝1
2，排除A.
cos215°－sin215°＝cos30°＝
3
2，故选B. 5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.
6
2
4C.3
2 D.23
[答案] B
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°
＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.
6．若f(x)＝2tanx －2sin2x
2－1
sin x 2cos x
2，则f ????
π12的值是( ) A ．－433
B ．－4 3
C ．4 3
D ．8
[答案] D
[解析] f(x)＝2tanx ＋cosx
1
2sinx ＝2????sinx cosx ＋cosx sinx ＝2·1sinx·cosx ＝4sin2x ，∴f(π12)＝4
sin π
6
＝8.
7．若－π2≤x≤π
2，则函数f(x)＝sinx ＋3cosx 的最大值和最小值分别是( )
A ．1，－1
B ．1，－1
2
C ．2，－1
D ．2，－2 [答案] C
[解析] ∵x ∈????－π2，π2，∴x ＋π
3∈????－π6，5π6， ∵f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ????x ＋π
3， ∴f(x)最小值为－1，最大值为2.
8．设函数f(x)＝2cos2x ＋3sin2x ＋a(a 为实常数)在区间????0，π
2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )
A ．4
B ．－6
C ．－3
D ．－4 [答案] D
[解析] f(x)＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a
＝2sin ????2x ＋π
6＋a ＋1 ∵0≤x≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π
6，
∴－1
2
≤sin ????2x ＋π6≤1， ∴f(x)min ＝2×???
?－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，3
cosA)，若m·n ＝1＋cos(A ＋B)，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
[答案] C [解析] ∵m·n ＝3sinAcosB ＋sinB·3cosA ＝3sin(A ＋B)＝3sinC ＝1－cosC ，
∴sin ????C ＋π6＝12， 又∵0 . 10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.3 2 B. 3 C.158 D. 157 [答案] D [解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tanθ＝115 ， tanA ＝tan2θ＝2tanθ1－tan2θ ＝2151－115 ＝15 7，故选D. 11．(09·江西理)若函数 f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π 2，则f(x)的最大值为( ) A ．1 B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B [解析] f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx ＝2cos(x －π 3 )． 又∵0≤x<π2，∴当x ＝π 3 时，y 取最大值为2. 12．已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝2 3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y)的值是( ) A.214 5 B ．－2145 C ．±2145 D ．±51428 [答案] B [解析] 由已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝2 3，得 ??? sin2x －2sinxsiny ＋sin2y ＝ 4 9 cos2x －2cosxcosy ＋cos2y ＝49 ， 相加得cos(x －y)＝5 9 ， ∵x 、y 均为锐角且sinx －siny<0，∴－π 2 ∴sin(x －y)＝－214 9， ∴tan(x －y)＝－ 214 5 ，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. [答案] 3 [解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40° 1－tan20°tan40° ∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. 14.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4 [解析] 原式＝cos10°－3sin10° sin10°·cos10° ＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12 sin20°＝4cos70° sin20°＝4. 15．已知α，β∈????3π4，π，sin(α＋β)＝－3 5，sin ????β－π4＝1213，则cos ????α＋π4＝________. [答案] －56 65 [解析] ∵α，β∈????3π4，π，∴α＋β∈????3π 2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝4 5. ∵β－π4∈???? π2，3π4，sin ????β－π4＝1213， ∴cos ????β－π4＝－513 . ∴cos ????α＋π4＝cos ????(α＋β)－????β－π4 ＝cos(α＋β)cos ????β－π4＋sin(α＋β)sin ????β－π 4 ＝－56 65 . 16．关于函数f(x)＝cos ????2x －π3＋cos ????2x ＋π 6，有下列命题： ①y ＝f(x)的最大值为2； ②y ＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f(x)在区间???? π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π 24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③ [解析] 化简f(x)＝cos ????2x －π3＋cos ????2x ＋π2－π3 ＝cos ????2x －π3－sin ????2x －π3＝2cos ????2x －π 12 ∴f(x)max ＝2，即①正确．T ＝2π 2＝π，即②正确． 由2kπ≤2x －π 12 ≤2kπ＋π得， kπ＋π24≤x≤kπ＋13π 24 ，即③正确． 将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π 24 个单位得 y ＝2cos ??? ?2????x ＋π24≠f(x)，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sinθ，－2)与b ＝(1，cosθ)互相垂直，其中 θ∈????0，π2. (1)求sinθ和cosθ的值； (2)若sin(θ－φ)＝ 1010，0<φ<π 2 ，求cosφ的值． [解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a·b ＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得，sinθ＝±255，cosθ＝±5 5， 又θ∈????0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝5 5. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π 2，则 cos(θ－φ)＝1－sin2(θ－φ)＝310 10 ， cosφ＝cos[θ－(θ－φ)] ＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝ 2 10. 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax(a>0)的图 象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π 2. (1)求m 和a 的值； (2)若点A(x0，y0)是y ＝f(x)图象的对称中心，且x0∈????0，π 2，求点A 的坐标． [解析] (1)f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax ＝1－cos2ax 2－3 2sin2ax ＝－sin ????2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f(x)的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝3 2， 由题设知，函数f(x)的周期为π 2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝3 2，a ＝2. (2)∵f(x)＝－sin ? ???4x ＋π6＋1 2， ∴令sin ????4x ＋π6＝0，得4x ＋π 6＝kπ(k ∈Z)， ∴x ＝kπ4－π 24 (k ∈Z)， 由0≤kπ4－π24≤π 2 (k ∈Z)，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为????5π24，12或???? 11π24，12. 19．(本题满分12分)函数f(x)＝2asin2x －23asinxcosx ＋a ＋b ，x ∈????0，π 2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值． [解析] ∵f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－2a· ??? ?32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2asin ? ???2x ＋π 6＋2a ＋b ， ∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π 6， ∴－1 2 ≤sin ????2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有????? 3a ＋b ＝1 b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5， 当a ＜0时，有? ???? b ＝1 3a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1. 20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角 A 、 B 、 C 的大小． [解析] 方法一：由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0. 所以sinAsinB ＋sinAcosB －sinAcosB －cosAsinB ＝0， 即sinB(sinA －cosA)＝0. 因为B ∈(0，π)，所以sinB≠0，从而cosA ＝sinA. 由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sinB ＋cos2C ＝0得sinB ＋cos2(3π 4－B)＝0， 即sinB －sin2B ＝0.即sinB －2sinBcosB ＝0. 由此得cosB ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π 12. 方法二：由sinB ＋cos2C ＝0得 sinB ＝－cos2C ＝sin ????3π2－2C . 因为0 2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π 2 . 由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0. 所以sinAsinB ＋sinAcosB －sinAcosB －cosAsinB ＝0. 即sinB(sinA －cosA)＝0. 因为sinB≠0，所以cosA ＝sinA. 由A ∈(0，π)，知A ＝π 4. 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π 2不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π 12. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π 12 . 21．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b ，其中向量a ＝(2cosx,1)，b ＝(cosx ，3sin2x ＋m)． (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间． (2)当x ∈????0，π 6时，－4 6＋m ＋1. ∴函数f(x)最小正周期T ＝π， 在[0，π]上的单调递增区间为????0，π6、????2π 3，π. (2)∵当x ∈????0，π 6时，f(x)递增， ∴当x ＝π 6时，f(x)的最大值等于m ＋3. 当x ＝0时，f(x)的最小值等于m ＋2. 由题设知? ???? m ＋3<4 m ＋2>－4解之得，－6 22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A ＋B)＝35，sin(A －B)＝1 5. (1)求tanA tanB ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高． [解析] (1)sin(A ＋B)＝35，sin(A －B)＝1 5 ， ∴??? sinAcosB ＋cosAsinB ＝ 3 5 sinAcosB －cosAsinB ＝1 5 ???? sinAcosB ＝ 25 cosAsinB ＝1 5 ， ?tanA tanB ＝2. (2)∵π 2 3 5，∴tan(A＋B)＝－ 3 4，即 tanA＋tanB 1－tanAtanB ＝－ 3 4，将tanA＝2tanB 代入上式并整理得2tan2B－4tanB－1＝9，解得tanB＝2±6 2，舍去负值得，tanB＝ 2＋6 2， ∴tanA＝2tanB＝2＋ 6.设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝CD tanA＋CD tanB＝ 3CD 2＋6 ，由 AB＝3得CD＝2＋6， 所以AB边上的高为2＋ 6. [点评]第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tanA＝2tanB，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．
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