一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；
（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．
∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；
∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），
∴2=﹣ +b，解得：b= ，
∴一次函数解析式为y= x+ ．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：，或，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有，解得：，
∴直线A′B的解析式为y= x+ ．
令y= x+ 中x=0，则y= ，
∴点C的坐标为（0，）
（2）解：观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0
【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．
2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．
【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，
∴y= ．
OA= =5，
∵OA=OB，
∴OB=5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：
解得：
∴y=2x﹣5．
（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB=MC，
∴
解得：x=2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .
3．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，
y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．
（1）求反比例函数y= 的解析式；
（2）求点P2和点P3的坐标；
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．
【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，
则B1与P1关于y轴对称，
∵B1（﹣1，1），
∴P1（1，1）．
则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=
（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，
又点P1的坐标为（1，1），
∴OA1=2，
设点P2的坐标为（a，a+2），
代入y=得a=-1，
故点P2的坐标为（-1，+1），
则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，
设点P3的坐标为（b，b+2），
代入y=（>0）可得b=-，
故点P3的坐标为（-，+）
（3）1；（-，+）
【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…
∴△P n B n O的面积为1，
由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），
故答案为：1、（﹣， +）．
【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；
（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；
（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.
4．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．
（1）k的值是________；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=
图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形
CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．
【答案】（1）﹣2
（2）3
【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，
n+2），
依题意得：，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BO∥CE，
∴△AOB∽△AEC．
又∵ = ，
∴ = = ．
令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，
∴BO=b；
令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，
解得：x= ，即AO= ．
∵△AOB∽△AEC，且 = ，
∴．
∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．
∵OE?CE=|﹣4|=4，即 b2=4，
解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．
故答案为：3 ．
【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；
（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出
==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
5．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA?PB= ，求点M的坐标．
【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）
∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）
∵顶点在直线y=x+3上，
∴﹣2+3=m﹣1，
得m=2；
（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为： a2+a+2，
即点N（a， a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，
=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，
而NB2=（ a2+a+2）2，
=（ a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2，
NF=NB
（3）解：连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴ = ，PF2=PA×PB= ，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，
PG= = ，
∴PO=PG+GO= ，
∴P（﹣，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，
∴直线PF：y= x+ ，
解方程 x2+x+2= x+ ，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），
当x=﹣3时，y= ，
∴M（﹣3，）．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2，即可得出到NF=NB。
（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。
6．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
所以双曲线的解析式为y=﹣．
设点B的坐标为（m，﹣m）．
∵点B在双曲线上，
∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，﹣2）．
将点A、B、C的坐标代入得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．
（2）解：如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x2﹣3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；
（3）解：存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，
∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，
而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴平移后点A（﹣，），B（，），
∴点A关于y轴的对称点A'（，），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（，），A'（，），
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，
∴P（0，﹣）．
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.
7．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比
例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，
）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），∴k=3× =2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，
∴2m=2，解得：m=1
（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），
∴CD=1．
在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，
∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴点G（0，）．
过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．
∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，
∴∠CGD=∠HDF，
∵∠DCG=∠FHD=90°，
∴△GCD∽△DHF，
∴=2，
∴DF=2GD= ，
∴点F的坐标为（，0）．
设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有，解得：．
∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+
【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．
8．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，
点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
（1）求△APQ的面积；
（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．
【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：
∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，
∴点A（m, ）,点P（－m, ）,
∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,
∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,
∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,
∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,
∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4
（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,
∵PQ=AP
∴2m= ,
∴m=
∴ ,
当PQ＝AQ时，则
（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，
∴OA＝OB，
∵A（m, ）,B(n, )，
∴
∴mn=4.
【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三
角形的面积公式即可得出结论。
（2）分情况讨论：当PQ=AP和当PQ＝AQ时，利用等腰直角三角形和AP∥x轴，建立方程求解即可；
（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程，即可得出结论。
9．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .
（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，
∴A（，1），
把点代入，解得：；
（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，
∴C ，
设过，两点的直线方程为：，
把点，，代入得：
，
解得：，
∴，
设与轴交点为，
则点坐标为，
∴；
（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，
∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，
∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，
根据，即得：，
解得： .
故点坐标为：或 .
【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根
据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.
10．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）s（mm2）的反比例函数，其图象如图．
（1）写出y与s的函数关系式；
（2）求当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是多少m？
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y= ，
将x=4，y=32代入上式，
解得：k=4×32=128，
故y= ．
答：y与x的函数关系式y=
（2）解：当x=3.2时，y= =40．
答：当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是40米
【解析】【分析】（1）根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式；（2）把x=3.2代入关系式可求出y的值，即得答案.
11．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD= ，
又∵OA=3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y= 上，
∴k= ×3=4；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=4，
∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y= 中，得y=1，
∴E（4，1）；
（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m=1或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；
（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），
则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；
（3）解：存在，理由：
如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，
则HQ＝CQ，Q+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①
则直线AH所在表达式中的k值为﹣，
则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：
则直线AH的表达式为：y＝﹣x+ …②，
联立①②并解得：x＝，
故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+ QC的最
小值为 .
【解析】【分析】（1）将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标.
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），求出x的值即可.
（3）存在，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则
HQ＝CQ，Q+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.
13．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
（1）求证:直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；
①求证:△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值.
【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）证明：①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
解：②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB?OC=4HB，