1
n n m
n k k +m k +2m
, n a 等比数列及其前 n 项和(讲义)
知识点睛
一、等比数列 1. 等比数列的概念
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q (q ≠ 0) 表示.
(1) 等比中项
n -1
(2) 等比数列的通项公式: a n = a q .
2. 等比数列的性质
(1) 通项公式的推广: a = a q n -m (m ,n ∈ N * ) . (2) 若{a }是等比数列,且k +
l = m + n (k ,l ,m ,n ∈ N *) , 则a k ?a l = a m ?a n .
(3) 若{a }是等比数列,则a , a , a ,… (k ,m ∈ N *
) 组成公比为q m 的等比数列.
(4) 若{a }是等比数列,则{λa },{| a |}
,{ 1
},{a 2 } 也是 n
等比数列.
n n n
n (5) 若{a } , {b } 是等比数列,则{a ?b } {
a
} 也是等比
n
n
n
n
n
数列.
(6) 当数列{a n }是各项均为正数的等比数列时,
数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列.
b
? ?
? ? ? 二、
等比数列的前 n 项和公式
1. 对于等比数列
当q ≠ 1时, a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n ,…
a (1- q n
)
a - a q
它的前 n 项和的公式为S n
当q = 1 时,
= 1 或S 1- q n = 1 n . 1- q
它的前 n 项和的公式为S n = na 1 . 推导过程:错位相减法
2. 等比数列各项和的性质
(1) 若S m , S 2m , S 3m 分别是等比数列{a n }的前 m 项,前 2m
项,前 3m 项的和,则 S m , S 2m - S m , S 3m - S 2m 成等比数列, 其公比为q m .
(2) 等比数列的单调性
①当?a 1 > 0 或?a 1 < 0 时,{a }是递增数列;
?q > 1 ?0 < q < 1 n
②当?a 1 > 0 或
?a 1 < 0
时,{a }是递减数列; ?0 < q < 1 ?q > 1 n
③当?a 1 ≠ 0 时,{a }是常数列;
?q = 1 n ④当q < 0 时,{a n }是摆动数列.
精讲精练
1. 设{a n}为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比是()
A.0 B.1 或-2 C.-1 或2 D.-1 或-2
2. 等比数列{a n}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则a n=()
A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)n D.-(-2)n
3.设a ,a ,a ,a 成等比数列,其公比为2,则2a
1
+a
2 的值
1 2 3 42a +a 为()
A.1
4
B.
1
2
C.
1
8
3 4
D.1
4. 在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5
的值为()
A.16 B.27 C.36 D.81
5. 已知{a n}为等比数列,a
()4
+a
7
= 2 ,a
5
a
6
=-8 ,则 a
1
+a
10
=
A.7 B.5 C.-5 D.-7 6. 已知{a n}是等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,
那么a
3 +a
5
的值为()
A.5 B.-5 C.±5 D.25
7.已知数列{a }满足3a+a = 0 ,a =-4
,则{a }的前10 项
n
和等于()
n+1 n 2 3 n
A.-6(1- 3-10 ) C.3(1- 3-10 ) B.
1
(1- 3-10 )
9
D.3(1+ 3-10 )
8.S= 1+ (1+1
) + (1+
1
+
1
) +…+ (1+
1
+
1
+…+
1
) =()
n 2 2 4 2 4 2n-1
A.n
B.n+
2n
1
2n-1
C.2n - 2 +
1
2n-1
D.
n -1
2n-1
9.各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n ,若S n = 2 ,
S 3n =14 ,则S
4n
=()
A.80 B.30 C.26 D.16
10.
一个有穷等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为 170,则这个数列的项数为
.
11. 已知定义在(-∞,0) (0,+ ∞) 上的函数 f (x ) ,若对任意给定的 等比数列{a n } ,{ f (a n )} 仍然是等比数列,则称 f (x ) 为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0) (0,+ ∞) 上的如下函数: ① f (x ) = x 2 ;② f (x ) = 2x ;③ f (x ) =;④ f (x ) = ln | x | . 其中是“保等比数列函数”的 f (x ) 的序号为
.
12.
已知{a n } 是等差数列,其前 n 项和为S n ,{b n } 是等比数列,且 a 1 = b 1 = 2 , a 4 + b 4 = 27 , S 4 - b 4 = 10 .
(1)
求数列{a n } 与{b n } 的通项公式;
(2)
记T = a b + a b + …+ a b , n ∈ N * ,求 T n .
n
n 1
n -1 2
1 n
回顾与思考
7
【参考答案】
1.C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B
10.8 11.①③
12.(1)a=3n-1,b=2n;(2)T=5?2n+1-6n-10 n n n
《等比数列的前n项和》说课稿 各位老师,大家好,今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计. 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析: 1、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,依据《课标》我制定了如下的教学目标: [知识与技能] 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. [过程与方法] 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
《等比数列的前n项和》说课稿 尊敬的各位评委,老师: 你们好,我是047号考生,今天我说课的课题是人教版普通高中课程标准实验教材《数学》必修5第二章第五节《等比数列的前n项和》。为了说清楚我对本节课的整体设计整体设计思路,下面我我将从:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计六个方面加以说明。 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
高中数学《等比数列前n项和》说课稿 高中数学《等比数列前n项和》说课稿 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养. 2.从学生认知角度看 从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3.学情分析 教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨. 4.重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用.
教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点. 二、目标分析 知识与技能目标: 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题. 过程与方法目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转 化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. 情感与态度价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 三、过程分析 学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标:掌握等比数列前n 项和的性质,灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程:通过自主探究的方式,培养学生团队精神,勇于探索的精神。 教学过程: 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: (1) (2) 2.数学思想: 课前练习: 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究: 探究一: 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1:若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式:若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2,求a 的值。 探究二: 我们知道,等差数列有这样的性质: 数列{}n a 是等差数列,则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列; 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么,在等比数列中,也有类似的性质吗? 等比数列前n 项和的性质二: 数列{}n a 是等比数列,则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列; 则新的等比数列的首项是K S ,公比( ) 例题2 :已知等比数列{}n a 中,前10项和10S =10,前20项和20S =30,求30S 变式训练: 1. 等比数列{}n a 10S =20,20S =80,求30S =?.
《2.5等比数列的前n项和》 尊敬的各位各位老师、评委: 大家好! 今天我说课的课题是人教版高中课程标准实验教材《数学》必修5第2章第5节等比数列前n项和第一课时。下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计、教学反思等六个方面来进行我的说课。 一、教材分析 三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上,进行第二阶段函数的学习。内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一,是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具,三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(如:物理、天文学)联系紧密。 鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。 二、教学目标 根据新课标对本节课的教学要求,结合学生已有的认知能力结构和以上教材分析,我将从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能目标:掌握等比数列的前n项和公式及其运用。 2、过程与方法目标:让学生从“错位相减法”中,体会“消除差别”思想,培养学生 的化简能力。 3、情感态度与价值观目标:激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。 三、教学重、难点 根据根据新课程的标准要求结合学生的学习情况,本节课注重培养学生的创新精神和探究能力。我把重点定为:等比数列前的n项和公式及应用。难点定为:用错位相减法推导等比数列的前n项和公式。 四、教学与学法 教之道在于度学之道在于悟,任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果,我认为本堂课有以下主要的教法和学法。 在教法上:由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效,故本节课采用“探究式教学法、讲练结合法、类比分析法”等来组织课堂教学。另外,为使课堂生动、有趣、高效,在教学手段上我利用多媒体辅助教学。 在学法上:考虑到这节课主要通过教师的引导让学生自己发现规律,在自己的发现中学到知识,提高能力,我主要引导学生自己观察、归纳、类比,采用自主探究的
等比数列的前n项和 (第一课时) 一.教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
等比数列的前n 项和 命题分析: 1. 高考主要考查两种基本数列(等差与等比数列)、两种基本求和方法(裂项求和法、错 位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合),主要突出数学思想的应用。 2. 若以解答题形式考查,数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查,试题难度中等; 若以客观题考查,难度中等的题目较多,但有时也会出现在第12题或16题位置上,难度偏大,复习时要引起关注。 一、首先回忆一下基本内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母q 表示(q ≠0),即: {n a }成等比数列 ?n n a a 1+=q (+∈N n ,q ≠0) “n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件(前提条件)。 2. 等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n , 1(0)n m n m a a q a q -=??≠ 3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab (a ,b 同号). 5.性质:若m+n=p+q ,q p n m a a a a ?=? 6.判断等比数列的方法:定义法,等比中项法,通项公式法 如: 有一个数列满足135-?=n n a ,与公式)0(111≠??=-q a q a a n n 比较我们可以 判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。 二、 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”,这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项