第7章 梁的弯曲变形与刚度
7.1 梁弯曲变形的基本概念
7.1.1 挠度
在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：
)(x w w = （7-1）
称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y
轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角
梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数：
)(x θθ= （7-2）
称为转角方程或转角函数。
由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x
x w d )
(d tan =
θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：
图7-2 梁的挠曲线
图7-3 梁的转角
)
(x
x
x w x d )
(d )(=
θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
7.1.3 梁的变形
材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。
如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。
图7-4 梁的挠度和转角的符号
x
x
(a)
正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角
(a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形
图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移
无变形
实际上，图示悬臂梁和中间铰梁右半部分的挠度和转角是由于梁左半部分的变形引起的，因此可得如下结论：
1梁（或梁段）如果存在变形，则梁（或梁段）必然存在挠度和转角。 2梁（或梁段）如果存在挠度和转角，则梁（或梁段）不一定存在变形。所以，梁的变形和梁的挠度及转角有联系也存在质的差别。
7.2 挠曲线的近似微分方程 在上一章曾得到梁变形后轴线的曲率方程为：
z
EI x M x )
()(1=ρ
高等数学中，曲线)(x w w =的曲率公式为：
2
32]
)('1[)('')
(1
x w x w x +±=ρ
由于梁的变形是小变形，既挠曲线
)(x w w =仅仅处于微弯状态，则其转角
1)(')(<<=x w x θ，所以，挠曲线的曲率公式可近似为：
)('')
(1
x w x ±=ρ
上章也分析了曲率的正负号的问题，结论是变形后梁轴线曲率的正负号与梁弯矩的正负号一致。因此综合上列几式有：
EI
x M x w )
(d d 22=
（7-4） 上式称为挠曲线的近似微分方程。其中，z I I =是梁截面对中性轴的惯性矩。根据式（7-4），只要知道了梁中的弯矩函数，直接进行积分即可得到梁的转角函数)(')(x w x =θ以及挠度函数)(x w ，从而可求出梁在任意位置处的挠度以及截面的转角。
7.3 积分法计算梁的变形
根据梁的挠曲线近似微分方程式（7-4），可直接进行积分求梁的变形，即求梁的转角函数
)(x θ和挠度函数)(x w 。下面分两种情况讨论。
7.3.1 函数EI x M /
)(在梁中为单一函数
此时被积函数EI x M /)(在梁中不分段（图7-6）。则可将挠曲线近似微分方程式（7-4）两边同时积分一次得到转角函数)(x θ，然后再积分一次得到挠度函数)(x w ，注意每次积分均出现一待定常数。所以有：
???
???
?
++=+=???D Cx x x EI x M x w C x EI
x M x d ]d )([)(d )()(θ （7-5） 其中，D C ,是待定常数，可见，转角函数)(x θ和挠度函数)(x w 在梁中也是单一函数。 积分常数D C ,可由梁的支承条件（又称为约束条件或边界条件）确定。常见的梁的支承条件如下。
固定铰支承：
0)(=A w
移动铰支承：
0)(=A w
固定端支承： 0)(=
A w
0)(=A θ
弹簧支承：
k
R A
w -
=)(
k 为弹簧系数
拉杆支承：
l A w ?-=
)( l ?为拉杆伸长量
梁支承：
?-=)(A w
?为支承梁在A 点的挠度
一般情况下，梁的支承条件有两个，正好可以确定积分常数C 和D 。 7.3.2 函数EI x M /
)(在梁中为分段函数
此时被积函数EI x M /)(在梁中分若干段（图7-7）。则在每个梁段中将挠曲线近似微分
图7-6被积函数在梁中为单一函数
l
?-k
R --
方程式（7-4）两边同时积分一次得到该段梁的转角函数)(x i θ，然后再积分一次得到该段梁的挠度函数)(x w i ，注意每段梁有两个待定常数i i D C ,，一般情况下各段梁的积分常数是不相同的。所以有：
???
?
??
?
++??????=+=???i i i i i i D x C x x EI x M x w C x EI x M x d d ])([)(d ])([)(θ)(1i i x x x ≤≤- （7-6） 可见，梁的转角函数)(x θ和挠度函数)(x w 在梁中也是分段函数。
假设梁分为n 段（图7-7），n i i x x x x x ,...,,.....,110-称为梁的分段点，则共有n 2个积分常数),...2,1(,n i D C i i =，梁的支承条件有两个，另外，梁变形后轴线是光滑连续的，这就要求梁的转角函数以及挠度函数在梁中是连续的函数。这个条件称为梁的连续性条件。
因此，可列出除梁约束点外其它分段点的连续性条件为：
??
?==--)
()()
()(11i i i i i i i i x w x w x x θθ ),...2(n i = （7-7） 共有22-n 个方程，加上梁的两个支承条件，则可确定n 2个积分常数
),...2,1(,n i D C i i =，从而即可求得各段梁的转角函数)(x i θ以及挠度函数)(x w i 。
注意，积分法求分段梁的变形时，可以采用局部坐标系进行求解，相应的弯矩函数)(x M ，抗弯刚度EI 以及支承条件和连续性条件都必须在相同的局部坐标系下写出。 一些常见梁的转角函数与挠度函数以及其在特殊点的值见附录B 。
例7-1 如图7-8所示，悬臂梁下有一刚性的圆柱，当F 至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱表面产生贴合？当F 足够大且已知时，试确定梁与圆柱面贴合的长度。
图7-7 被积函数在梁中为分段函数
1θ1w 1C 1
D i i w i C i
D n n
w n C n
D
解：欲使梁的根部与圆柱面贴合，则梁根部的曲率半径应等于圆柱面的半径（图7-8（a ）），所以有：
EI
FL EI M R A =
=1 得：
LR EI F = 这就是梁根部与圆柱面贴合的最小载荷。 如果：LR
EI F >
则梁有一段是与圆柱面贴合的，假设贴合的长度为x ，那么贴合点C
处的曲率半
径也应等于圆柱面的半径（图7-9（b ）），所以有：
EI x L F EI M R C )(1-==
FR
EI L x -
=
例7-2 梁AB 以拉杆BD 支承，载荷及尺寸如图7-9（a ）所示。已知梁的抗弯刚度为EI ，拉杆的抗拉刚度为EA ，试求梁中点的挠度以及支座处的转角。
解：（1）求支反力和弯矩函数 由于梁是载荷对称梁，所以
A 处的支反力和
B 处拉杆的拉力是相等的，为：2
ql R R B A =
=
建立图7-9（a ）所示的坐标系，则梁中的弯矩函数函数为：)0(2
)
()(l x x l qx x M ≤≤-=
（2）求转角函数和挠度函数
C x
l EI qx C x EI x M x +-=+=?)3
2(2d )()(2θ
D Cx x
l EI qx D x x x w ++-=+=?)2
(12d )()(3θ
（3）确定积分常数
图7-8 例7-1图
(a)
(b )
图7-9 例7-2图
(a)
(b)
B
R B
R
约束条件为：0)0(=w EA ql EA l ql l l w 4/)22()(2
-
=?-=?-= 代入挠度函数表达式得：0=D )424(3EA
ql
EI ql C +-=
于是转角函数和挠度函数为：
)6(4)32(2)(22A I
l EI ql
x l EI qx x +-
-=θ )6(4)2(12)(23A
I l EI
qlx
x l EI qx x w +-
-= （3）求梁中点的挠度以及支座处的转角
梁中点的挠度为：
向下）
()83845()6(8)4(12)2/()2(2
4223EA
ql EI ql A I l EI ql l l EI l q l w w C +-=+--== 支座处的转角：
顺时针）
()424()6(4)0(32EA
ql
EI ql A I l EI ql A
+-=+-==θθ
例7-3 如图7-10所示阶梯状悬臂梁AB ，在自由端受集中力F
作用，梁长度及抗弯刚度如图示，试求
自由端的挠度以及梁中点截面的转角。
解：（1）求梁的弯矩函数
建立图7-10（a ）所示的坐标系，由截面法可求得梁中的弯矩函数为：)0()(l x Fx x M ≤≤-=
由于梁分为两段，则两段梁的被积函数分别为：
)2
0()(
1l
x EI Fx EI M ≤≤-= )2
(
2)(2l x l
EI Fx EI M ≤≤-= （2）求转角函数和挠度函数 转角函数：
???
????≤≤+-=+=≤≤+-=+==??)
2(4d )()()20(2d )()()(22
22212111l x l C EI Fx C x EI M x l x C EI Fx C x EI M x x θθθ 挠度函数：
???
????≤≤++-=+=≤≤++-=+==??)
2(12d )()20(6d )()(223
222113111l x l D x C EI Fx D x x w l x D x C EI Fx D x x w x w θθ
y
A
B
C
1)(
EI
M 2)(
EI
M
2θ2
w 2
C 2
D 1θ1
w 1
C 1
D 图7-10 例7-3图
(a)阶梯状梁 (b)梁的分段图
（3）确定积分常数 约束条件：0)
(=l θ 0)(=l w
根据梁的分段图可见：
04)()(222=+-==C EI Fl l l θθ EI
Fl C 42
2=
012)()(223
2=++-==D l C EI
Fl l w l w EI Fl EI Fl EI Fl D 64123332-=-=
连续性条件：)2
()2(
21l
l θθ= )2()2(21l w l w =
22124)2/(2)2/(C EI l F C EI l F +=+- EI
Fl C 1652
1=
2231132
12)2/(26)2/(D l C EI l F D l C EI l F ++=++- EI Fl D 16331-
=
所以，梁的转角函数和挠度函数为：
???
????≤≤+-=≤≤+-==)2(44)()20(1652)()(2
22221l x l EI Fl EI Fx x l
x EI Fl EI Fx x x θθθ
???
????≤≤-+-=≤≤-+-==)
2(4412)()20(1631656)()(3
2323231l x l EI Fl EI x Fl EI Fx x w l x EI Fl EI x Fl EI Fx x w x w
（4）求自由端的挠度以及梁中点截面的转角 由梁的分段图，自由端的挠度为：
向下）
(163)0(3
1EI
Fl w w B
-
== 梁中点截面的转角为：（顺时针）
EI
Fl l l
C 8)2
()2
(2
21===θθθ 因梁x 轴正方向是向左的，因此转角为正的时候是顺时针转角。
7.4 梁弯曲变形的一些重要特性
7.4.1 影响梁内力、应力及变形的因素
梁的内力只与作用于梁上的载荷（包括支反力）有关，而与梁材料的力学性能、梁的几何形状以及约束类型无关。相同长度的梁只要其受力（包括支反力）情况相同，则其内力是完全一样的。
根据梁的正应力公式z I y x M y x )(),(-
=σ和切应力公式z
s bI y S x F y x )
(')(),(=τ可知，