新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章导数及其应用
3．1变化率与导数
练习（P6）
在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升.
练习（P8）
函数在附近单调递增，在附近单调递增. 并且，函数在附近比在附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想.
练习（P9）
函数的图象为
根据图象，估算出，.
说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.
习题 A组（P10）
1、在处，虽然，然而.
所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
2、，所以，.
这说明运动员在s附近以 m／s的速度下降.
3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数在时的导数.
，所以，.
因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能 J.
4、设车轮转动的角度为，时间为，则.
由题意可知，当时，. 所以，于是.
车轮转动开始后第 s时的瞬时角速度就是函数在时的导数.
，所以.
因此，车轮在开始转动后第 s时的瞬时角速度为.
说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增. 同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图象如图（1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题 B组（P11）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由（1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.
1．2导数的计算
练习（P18）
1、，所以，，.
2、（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
习题 A组（P18）
1、，所以，.
2、.
3、.
4、（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
5、. 由有，解得.
6、（1）；（2）.
7、.
8、（1）氨气的散发速度.
（2），它表示氨气在第7天左右时，以克／天的速率减少.
习题 B组（P19）
1、（1）
（2）当越来越小时，就越来越逼近函数.
（3）的导数为.
2、当时，. 所以函数图象与轴交于点.
，所以.
所以，曲线在点处的切线的方程为.
2、. 所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h.
1．3导数在研究函数中的应用
练习（P26）
1、（1）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（3）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
（4）因为，所以.
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
2、
3、因为，所以.
（1）当时，
注：图象形状不唯一.，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
（2）当时，
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
4、证明：因为，所以.
当时，，
因此函数在内是减函数.
练习（P29）
1、是函数的极值点，
其中是函数的极大值点，是函数的极小值点.
2、（1）因为，所以.
令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，当时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，
当时，有极小值，并且极小值为.
（3）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，
当时，有极大值，并且极大值为22
（4）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，
当时，有极大值，并且极大值为2
练习（P31）
（1）在上，当时，有极小值，并且极小值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是20、最小值是.（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；
又由于，.
因此，函数在上的最大值是54、最小值是.（3）在上，当时，有极大值，并且极大值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是22、最小值是.（4）在上，函数无极值.
因为，.
因此，函数在上的最大值是、最小值是.
习题 A组（P31）
1、（1）因为，所以.
因此，函数是单调递减函数.
（2）因为，，所以，.
因此，函数在上是单调递增函数.
（3）因为，所以.
因此，函数是单调递减函数.
（4）因为，所以.
因此，函数是单调递增函数.
2、（1）因为，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（3）因为，所以.
因此，函数是单调递增函数.
（4）因为，所以.
当，即或时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在处，导函数有极大值；
（2）在和处，导函数有极小值；
（3）在处，函数有极大值；
（4）在处，函数有极小值.
5、（1）因为，所以.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，
当时，有极小值，并且极小值为.
（3）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，
当时，有极小值，并且极小值为.
（4）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为128.
6、（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为9，.
（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为16；
当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，.
（3）在上，函数在上无极值.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为，.
（4）当时，有极大值，并且极大值为128..
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.
习题 B组（P32）
1、（1）证明：设，.
因为，
所以在内单调递减
因此，，即，. 图略
（2）证明：设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
又. 因此，，. 图略
（3）证明：设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
综上，，. 图略
（4）证明：设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
当时，显然. 因此，.
由（3）可知，，.
. 综上，，图略
2、（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则
在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.
（2）因为，所以.
下面分类讨论：
当时，分和两种情形：
①当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递增.
②当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递减
1．4生活中的优化问题举例
习题 A组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为，.
令，即，.
当时，；当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去
四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为.
（1）无盖方盒的容积，.
（2）因为，
所以.
令，得（舍去），或.
当时，；当时，.
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，无盖方盒的容积最大.
3、如图，设圆柱的高为，底半径为，
（第2题）
则表面积
由，得.
因此，，.
令，解得.
当时，；
当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点. 此时，.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
4、证明：由于，所以.
令，得，
可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点.
这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为m，则半圆的半径为m，半圆的面积为，
矩形的面积为，矩形的另一边长为m
因此铁丝的长为，
令，得（负值舍去）.
当时，；当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当底宽为m时，所用材料最省.
6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘单价.
由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润.
收入，
利润，.
求导得
令，即，.
当时，；当时，；
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润最大,
习题 B组（P37）
1、设每个房间每天的定价为元，
那么宾馆利润，.
令，解得.
当时，；当时，.
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.
2、设销售价为元／件时，
利润，.
令，解得.
当时，；当时，.
当是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
1．5定积分的概念
练习（P42）
.
说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.
练习（P45）
1、，.
于是
取极值，得
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
2、km.
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.
练习（P48）
. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.
从几何上看，表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积.
习题 A组（P50）
1、（1）；
（2）；
（3）.
说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.
2、距离的不足近似值为：（m）；
距离的过剩近似值为：（m）.
3、证明：令. 用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点
作和式，
从而，
说明：进一步熟悉定积分的概念.
4、根据定积分的几何意义，表示由直线，，以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此.
5、（1）.
由于在区间上，所以定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得.
由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.
（3）根据定积分的性质，得
由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积.
说明：在（3）中，由于在区间上是非正的，在区间上是非负的，如果直接利用定义把区间分成等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分化为，这样，在区间和区间上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出，，进而得到定积分的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.
在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.
习题 B组（P50）
1、该物体在到（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计
物体走过的路程.
2、（1）.
（2）过剩近似值：（m）；
不足近似值：（m）
（3）；（m）.
3、（1）分割
在区间上等间隔地插入个分点，将它分成个小区间：
，，……，，
记第个区间为（），其长度为
.
把细棒在小段，，……，上质量分别记作：
，
则细棒的质量.
（2）近似代替
当很大，即很小时，在小区间上，可以认为线密度的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点处的函数值. 于是，细棒在小段上质量（）.
（3）求和
得细棒的质量 .
（4）取极限
细棒的质量，所以..
1．6微积分基本定理
练习（P55）
（1）50；（2）；（3）；（4）24；
（5）；（6）；（7）0；（8）.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
习题 A组（P55）
1、（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
2、.
它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.
习题 B组（P55）
1、（1）原式＝；（2）原式＝；
（3）原式＝.
2、（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3、（1）.
（2）由题意得 .
这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计的取值范围.
根据指数函数的性质，当时，，从而，
因此，.
因此，，
所以，.
从而，在解方程时，可以忽略不计.
因此，.，解之得（s）.
说明：B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.
1．7定积分的简单应用
练习（P58）
（1）；（2）1.
说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.
练习（P59）
1、（m）.
2、（J）.
习题 A组（P60）
1、（1）2；（2）.
2、.
3、令，即. 解得. 即第4s时物体达到最大高度.
最大高度为（m）.
4、设s后两物体相遇，则，
解之得. 即两物体5s后相遇.
此时，物体离出发地的距离为（m）.
5、由，得. 解之得.
所做的功为（J）.
6、（1）令，解之得. 因此，火车经过10s后完全停止.
（2）（m）.
习题 B组（P60）
1、（1）表示圆与轴所围成的上
半圆的面积，因此
（2）表示圆与直线
所围成的图形（如图所示）的面积，
因此，.
2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的
方程为，则，所以.
从而抛物线的方程为 .
于是，抛物线拱的面积.
3、如图所示.解方程组
得曲线与曲线交点的横坐标，.
于是，所求的面积为.
4、证明：.
第一章复习参考题A组（P65）1、（1）3；（2）.（第1（2）题）（第2题）
2、（1）； （2）； （3）； （4）.
3、.
4、（1）. 因为红茶的温度在下降.
（2）表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为，所以.
当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减. 6、因为，所以.
当，即时，有最小值. 由，得. 又因为，所以. 7、因为， 所以.
当，即，或时，函数可能有极值. 由题意当时，函数有极大值，所以. 由于
所以，当时，函数有极大值. 此时，，. 8、设当点的坐标为时，的面积最小. 因为直线过点，，
所以直线的方程为，即. 当时，，即点的坐标是. 因此，的面积. 令，即. 当，或时，，不合题意舍去. 由于
所以，当，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为2. 9、.
10、设底面一边的长为m ，另一边的长为m. 因为钢条长为. 所以，长方体容器的高为. 设容器的容积为，则
，.
令，即.
所以，（舍去），或.
当时，；当时，.
因此，是函数在的极大值点，也是最大值点.
所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为 m3.
11、设旅游团人数为时，
旅行社费用为.
令，即，.
又，，.
所以，是函数的最大值点.
所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为cm时，可使其打印面积最大.
因为打印纸的面积为，长为，所以宽为，
打印面积
，.
令，即，（负值舍去），.
是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.
所以，打印纸的长、宽分别约为，时，可使其打印面积最大.
13、设每年养头猪时，总利润为元.
则 .
令，即，.
当时，；当时，.
是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.
14、（1）；（2）；（3）1；
（4）原式＝；
（5）原式＝.
15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.
16、.
17、由，得. 解之得.
所做的功为（J）
第一章复习参考题B组（P66）
1、（1）. 所以，细菌在与时的瞬时速度分别为0和.
（2）当时，，所以细菌在增加；
当时，，所以细菌在减少.
2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为.
因为，，所以.
，.
令，即，，此时为2弧度.
是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.
3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么.
因此，，.
令，解得.
容易知道，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，容积最大.
把代入，得.
由，得.
所以，圆心角为时，容积最大.
4、由于，所以.
设船速为km／h时，总费用为，则
，
令，即，.
容易知道，是函数的极小值点，也是最小值点.
当时，（元／时）
所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.
5、设汽车以km／h行驶时，行车的总费用，
令，解得（km／h）. 此时，（元）
容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点.
因此，当时，行车总费用最少.
所以，最经济的车速约为53km／h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.
6、原式＝.
7、解方程组
得，直线与抛物线交点的横坐标为，.
抛物线与轴所围图形的面积.
由题设得
.
又因为，所以. 于是.
说明：本题也可以由面积相等直接得到，由此求出的值. 但计算较为烦琐.
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答
第二章推理与证明
2．1合情推理与演绎推理
练习（P77）
1、由，猜想.
2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.
3、设和分别是四面体和的体积，
则.
练习（P81）
1、略.
2、因为通项公式为的数列，
若，其中是非零常数，则是等比数列；……………………大前提
又因为，则，则；……………………………小前提
所以，通项公式为的数列是等比数列. ……………………结论
3、由，得到的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边
对大角”，小前提是“”，而与不在同一个三角形中.
习题 A组（P83）
1、.
2、.
3、当时，；当时，；当时，.
4、（，且）.
5、（，且）.
6、如图，作∥交于.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
又因为∥，∥.
所以四边形是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等.
又因为四边形是平行四边形.
所以.
因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，
（第6题）又因为，, 所以
因为等腰三角形的两底角是相等的.
又因为△是等腰三角形, 所以
因为平行线的同位角相等
又因为与是平行线和的同位角, 所以
因为等于同角的两个角是相等的，
又因为，, 所以
习题 B组（P84）
1、由，，，，，猜想.
2、略.
3、略.
2．2直接证明与间接证明
练习（P89）
1、因为，所以，命题得证.
2、要证，只需证，
即证，即证，
只需要，即证，这是显然成立的. 所以，命题得证.
3、因为，
又因为
，
从而，所以，命题成立.
说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.
练习（P91）
1、假设不是锐角，则. 因此.
这与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以，假设不成立. 从而，一定是锐角.
2、假设，，成等差数列，则.
所以，化简得，从而，即，
这是不可能的. 所以，假设不成立.
从而，，，不可能成等差数列.
说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.
习题 A组（P91）
1、由于，因此方程至少有一个跟.
假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设是它的两个不同的根，
则①
②
①－②得
因为，所以，从而，这与已知条件矛盾，故假设不成立.
2、因为
展开得，即. ①
假设，则，即
所以.
因为，都是锐角，所以，从而，与已知矛盾.
因此.
①式变形得，即.
又因为，所以.
说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.
3、因为，所以，从而.
另一方面，要证，
只要证
即证，
即证
由可得，，于是命题得证.
说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.
4、因为的倒数成等差数列，所以.
假设不成立，即，则是的最大内角，
所以（在三角形中，大角对大边），
从而 . 这与矛盾.
所以，假设不成立，因此，.
习题 B组（P91）
1、要证，由于，所以只需要，即证.
因为，所以只需要，即证.
由于为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立.
2、由已知条件得①
，②
要证，只要证，只要证
由①②，得，
，
所以，，于是命题得证.
3、由
得，即. ……①
要证
即证
即证
化简得，这就是①式.
所以，命题成立.
说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法
练习（P95）
1、先证明：首项是，公差是的等差数列的通项公式是.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时命题成立.
（2）假设当时，命题成立，即.
那么，.
所以，当时，命题也成立.
根据（1）和（2），可知命题对任何都成立.
再证明：该数列的前项和的公式是.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时命题成立.
（2）假设当时，命题成立，即.
那么，
所以，当时，命题也成立.
根据（1）和（2），可知命题对任何都成立.
2、略.
习题 A组（P96）
1、（1）略.
（2）证明：①当时，左边＝1，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时，等式成立.
②假设当时等式成立，即.
那么，.
所以，当时，等式也成立.
根据①和②，可知等式对任何都成立.
（3）略.
2、，
，
.
由此猜想：.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时，猜想成立.
（2）假设当时，猜想成立，即.
那么，.
所以，当时，猜想也成立.
根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立.
习题 B组（P96）
1、略
2、证明：（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即.
那么，.
所以，当时，等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.
第二章复习参考题A组（P98）
1、图略，共有（）个圆圈.
2、（）.
3、因为，所以，，……
猜想.
4、运算的结果总等于1.
5、如图，设是四面体内任意一点，连结，，，并延长交对面于，，，，则
用“体积法”证明：
6、要证
只需证
即证
由，得. ①
又因为，所以，变形即得①式. 所以，命题得证.
7、证明：（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边. 所以，当时，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
（第5题）即.
那么，.
所以，当时，等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.
第二章复习参考题B组（P47）
1、（1）25条线段，16部分；（2）条线段；
（3）最多将圆分割成部分.
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当时，结论成立.
②假设当时，结论成立，
即：条线段，两两相交，最多将圆分割成部分
当时，其中的条线段两两相交，最多将圆分割成部分，第条线段与线段都相交，最多增加个部分，因此，条线段，两两相交，最多将圆分割成
部分
所以，当时，结论也成立.
根据①和②，可知结论对任何都成立.
2、要证
因为
只需证
由已知条件，得，，
代入上式的左端，得
因此，
新课程标准数学选修2—2第三章课后习题解答
第三章数系的扩充与复数的引入
3．1数系的扩充和复数的概念
练习（P104）
1、实部分别是，，，0，0，0；
虚部分别是，1，0，，1，0.
2、，，0，是实数；
，，，，，是虚数；
，，是纯虚数.
3、由，得.
练习（P105）
1、：，：，：，：，
：，：，：，：.
2、略.
3、略.
习题 A组（P106）
1、（1）由，得.
（2）由，得
2、（1）当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即或时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
3、（1）存在，例如，，等等.
（2）存在，例如，，等等.
（3）存在，只能是.
4、（1）点在第一象限. （2）点在第二象限.（3）点位于原点或虚轴的下半轴上. （4）点位于实轴下方.
5、（1）当，即或时，复数对应的点位于第四象限.
（2）当，或，即或或时，复数对应的点位于第一、三象限.（3）当，即时，复数对应的点位于直线上.
6、（1）；（2）.
习题 B组（P55）
1、复数对应的点位于如图所示的图形上.
2、由已知，设（）.
则
解得
所以
3、因为，
所以，，，，这4个点都在以原点为圆心，半径为的圆上. 3．2复数代数形式的四则运算
练习（P109）
1、（1）5；（2）；（3）；（4）0.
2、略.练习（P111）
1、（1）；（2）；（3）；
2、（1）；（2）；（3）5.
3、（1）；（2）；（3）；（4）.
习题 A组（P112）
1、（1）；（2）；（3）；（4）.
2、对应的复数为.
对应的复数为.
3、.
向量对应的复数为.
向量对应的复数为.
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道 学习活动对学生来说本身就具有重要的意义，但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇：民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程，一定要做到让学生吸收。 而现在的教师为了让学生掌握的更多，没节制的拓宽知识面，不断地补充一些公式或者特殊的解题方法，这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜，导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位，教法单一。 只讲”范式”，不讲”变式”，只要求记结论、套题型，多数学生浅尝辄止，不求甚解。 学生学习毫无兴致，导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究，实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况，
教师需要对其因材施教。 结合班级里学生能力参差不齐的实际，传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求，无法推进后进生的转化。 教师需要根据生源状况，将其分为差、中、好三个档次，对后进生在知识方面进行详细的了解，设计问题的过程中可以梯度小一点，采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下，高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础，激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展，注重学生数学思维的形成，把信息技术和课程化作一体，建立适应学生个性发展的学习体系。 这一切都要求教师提高自身的综合素质，在教学中探索更好的教学方法，实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进，只有完成这个环节，才能顺利的开展教学。 有的老师眼中只有成绩，一味赶进度，形成”填鸭式”的教学模式。 但事实上这样会适得其反，数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。 它的特点就是很抽象，对能力的要求很高。 所以如果不遵从循序渐进的原则，那么必然会形成很多学生的掉队，不仅会影响学生的兴趣，更重要的是还会影响其成绩。 所以高中数学教学方法一定要活，因材施教，要具有针对性。 教师要真正成为学生的引导和合作者。 考虑学生的自身状况以及学习需要，辅以多媒体教学，培养学生的积极性和兴趣，做到学生不仅能够掌握现有概念和技能，还能独立思考学习，要充分鼓励学生自主探索。
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中新课标数学选修（1-2）综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类 2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ??? 的关系（ ） A.在直线上 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i 23 、 i 32 ， 则D 点对应的复数是 （ ） A.i 32 B.i 23 C.i 32 D.i 23 4.在复数集C 内分解因式5422 x x 等于 （ ） A.)31)(31(i x i x B.)322)(322(i x i x C.)1)(1(2i x i x D.)1)(1(2i x i x 5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项 6.用数学归纳法证明)5,(22 n N n n n 成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ） A.假设k n 时命题成立 B.假设)( N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020 )1() 1(i i 的值为 （ ） A.0 B.1024 C.1024 D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2 k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.2 9.已知复数z 满足||z z ，则z 的实部 （ ） A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.命题“对于任意角 2cos sin cos ,4 4 ”的证明：
学生姓名性别男年级高二学科数学 授课教师 上课时 间2014年12月13 日 第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题椭圆 教学目标 教学重点 与难点 选修2-1椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义 １．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ； 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，。
圆的标准方程； 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换 成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间：90分钟满分：120分 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q 6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题： ①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A．0个B．1个
C ．2个 D ．3个 7．下面说法正确的是( ) A ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“?x ∈R ，使得x 2 ＋x ＋1≥0” B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件 C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题 8．已知命题p ：?x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：?x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∨q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9．下列结论错误的是( ) A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1” B ．设α，β∈? ???? －π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“?α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题 10．给出下列三个命题： ①若a ≥b ＞－1，则 a 1＋a ≥ b 1＋b ；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切． 其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 第Ⅱ卷(非选择题，共70分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．
高中数学集合典型例 题
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 集 合 1．集合概念 元素：互异性、无序性、确定性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注：数形结合---文氏图（即韦恩图、Venn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ，(){}2,=-=y x y x B ，则=B A I 2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122，求A 中所有元素之和． 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ，{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A I ，求a 的值． 5. 已知(){}011=+-=x m x A ，{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?，求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ，{}5=A C S ，求a 的值. 8. 若{}Z n n x x A ∈==,2，{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等． 9. 已知(){}a x y y x M +==,，(){}2,22=+=y x y x N ，求使得φ=N M I 成立的实数a 的取值范围. 10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042，(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222，若A B ?，求实数a 的取值范围.
高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3
6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断:
①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 论高中数学习题课教学 发表时间：2014-04-14T11:10:10.810Z 来源：《教育与管理》2014年1月供稿作者：贾丽霞 [导读] 在初中数学教学中，习题课的基本目的是通过解题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学进一步培养学生数学的应用意识和能力。 笙河北省沙河市第一中学／贾丽霞 【摘要】上好习题课课堂教学模式可以是“目标教学法”、“范例式教学法”、先学后教的“学案导学式教学法”、“探究式教学法”等，但无论采用什么教学模式，都离不开教学内容的合理安排。在科学合理地安排好教学内容的同时，再选择适当的教学方式，则能达到事半功倍之效。 【关键词】高中数学习题课模式在新课程改革过程中，专家、教师们对于如何上好一节新授课讨论的很多，而对于如何上好一节习题课讨论的相对较少。然而，习题课在数学课教学中起着非常重要的作用，它是数学教学中的重要课型。 在初中数学教学中，习题课的基本目的是通过解题的形式来形成学生的数学技能，并通过解题教学进一步培养学生数学的应用意识和能力。习题课之所以重要，是因为习题课能使学生加深对基本概念的理解，使理论完整化、具体化。习题课教学还可以增强学生的理性认识，提高学生的辨别能力。另外，通过问题创设了一种适合学生思维的情境，可以多方面、多角度地培养学生的观察、归纳、类比等技能和能力。从此也可看出学生的解题过程是一种独立的创造活动过程，有利于学生思维能力的发展。对于教师来说，还可以检查学生对所学知识的理解和掌握程度，以便适时调整教学方法和策略，实现数学教学的基本目标。结合自己的教学体会，我认为应做好以下几个方面工作： 1 科学安排教学内容1.1 例题和习题的安排要有明确的学习目标。目标主要有两个方面，一是知识目标，二是技能目标，要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些思想方法，形成什么技能，这些都要有明确的目标。如何没有明确的目标，将成为简单的例题讲解和习题训练，使学习内容缺少完整的知识体系，知识之间难以很好地沟通和联系。例题的安排难以达到示范性，习题的安排也缺少典型性，揭示习题的规律性也有困难。所以缺少目标的习题课有盲目性，会降低教学效率，因此要有明确的教学目标。 1.2 例题的安排要有非常强的示范性。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，这样才能体现例题的典型性。分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。 2 精心选题 2.1 选题要有针对性，针对教学目标，针对知识点，针对学生的现状。教师在编选题前，对近一段的教学情况做些回顾和小结，很有必要，做到对教学情况心中有数，不能凭感觉和“经验”随意挑选几个题目，这就很难收到好的效果。小结要从教与学两个方面入手。对于教而言，要冷静，客观的分析前面所学知识到位了没有，教学情况如何，教学方法是否暴露了知识的形成过程。对学而言，要了解学生对重点内容了解到什么层次，难点消化到什么程度，思维训练的效果如何，针对这些来编选题。 2.2 选题要有可行性。选题要把握好度，作为平时的习题课，题目的综合性不要过强，这是因为学生对新概念，新知识接触的时间不长，有的学生尚未完全理解和掌握。如果题目背景较深，信息量较大，涉及到的新知识较多，学生的思维可能跟不上，这会影响学生思维的积极性，甚至使学生丧失信心，若要选综合性较强的题目，一般采取分步设问的方式给出，这样做学生易成功，有利于激发学生的思维兴趣，有助于学生把问题搞懂。 2.3 例题选择要有研究性。选题要精，要有典型性。通过对问题分析，启发学生从不同的角度观察、联想、探索解决问题的途径，使学生参与到研究问题中，成为问题的探索者。 3 重视问题分析第一，树立正确的解题观：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾总结。第二，发挥学生主体作用，让学生自己分解目标，进行知识点定位，寻找问题突破点，选择解题方法。第三，引导学生多角度思考问题，强化等价转化与化归思想，一题多解，培养学生的发散性思维。第四，注重思维方法和品质的培养，如逆向思维，正难则反，类比思想等，要求思维严谨，逻辑严密，切忌会而不对，对而不全。 4 例题的处理要得当对例题的学习要注意师生互动。教师重要的是及时地点拨，学生重要的是始终积极地进行思维活动，这样才能真正体现教师为主导、学生为主体的新的学习方式。教师要精讲，但对学习易犯的错误要及时纠正，对学生困难的解题思路要及时点拨，对方法技巧要引导学生总结。先学后教的“学案导学”教学方式是一种很好的教学模式。按照这种方式提前把学案发到学生手里，让学生予习，教师在上课前利用班空时间要及时了解学生学习的重点、难点及其他内容，并发现问题，这样才能在上课时有的放矢地学习，讲解更能击中要害，学生能会的就不要讲，学生能代老师讲的尽量让学生讲，尽量多给学生点空间和时间，以培养学生自主学习的能力。 人教版高中数学选修2-1 全册导学案 目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法 §1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结 模块学习评价 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B?A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有() A．A26个B．C24个C．A33个D．C35个 【解析】∵A＝{a，b，c，d，e}，B?A，a∈B，且B中含有3个元素，则B中另外两个元素是从b，c，d，e四个元素中选出的，故满足题意的集合B有C24个． 【答案】 B 2．(2014·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为() A．30 B．20 C．15 D．10 【解析】根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数． 因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为T r＋1＝C r6x r，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x3＝15x3，所以系数为15. 【答案】 C 3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为() A．24 B．48 C．72 D．120 【解析】A参加时有C34·A12·A33＝48种，A不参加时有A44＝24种，共72种． 【答案】 C 4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是() A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 【答案】 D 5．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是() A．0.4 B．1.5 C．0.43D．0.6 【解析】遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3,0.5)． ∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 【答案】 B 6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有() A．6种B．12种 C．30种D．36种 高中数学习题课教学反思 进贤一中叶志勇 波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。” “掌握数学就是意味着善于解题。” 习题课是数学教学活动的一个极为重要的形式．目前我国中学数学教学中，习题课教学占有较大的比例．在习题课教学中，师生通过对一些典型例题的分析讨论，使学生对所学过的基本概念、公式、定理及其运用有进一步的理解，以达到夯实基础的目的．在对例题解题策略的思考和解题方法的探求中，要启迪学生的思维，培养学生的品质，提高学生的能力．对于数学习题课的教学，我认为应该做好以下几方面的工作： 一、精心挑选例题： 1.例题选择要有针对性，即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。目标主要有两个方面，一是知识目标，二是技能目标，要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些思想方法，形成什么技能，这些都要有明确的目标。如果没有明确的目标，将成为简单的例题讲解和习题训练，使学习内容缺少完整的知识体系，知识之间难以很好地沟通和联系.例题的安排难以达到示范性，习题的安排也缺少典型性，揭示习题的规律性也有困难.所以缺少目标的习题课不仅有盲目性，还会降低教学效率，因此要有明确的教学目 标. 2.例题选择要注意可行性，即应在学生“最近发展区”内进行选择，不宜过易也不宜过难，要把握好“度”。要注意题型的划分，习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心.我们坚决反对把难题放在前面，坚决反对把整套习题安排得太难，要避免打击学生做题的积极性。适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高.习题的安排，既要体现知识与方法，也要体现能力培养与积极性调动. 3.例题选择要有研究性，典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的。选择例题要精，要有丰富内涵，既要注重结果，更要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性；多题归一，归纳规律” 。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效.例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，这样才能体现例题的典型性，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?
论高中数学习题课教学
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