一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；
③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
2．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )
A ．2n ﹣2
B ．2n ﹣1
C ．2n
D ．2n+1
3．如图，是一长、宽都是3 cm ，高BC ＝9 cm 的长方体纸箱，BC 上有一点P ，PC ＝
2
3
BC ，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是( )
A ．2
B ．3
C ．10 cm
D ．12 cm
4．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ）
A ．1
B ．2
C 2
D 35．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点
C ．AC 的中点
D ．C ∠的平分线与AB 的交点
6．已知x ，y 为正数，且2
2
4(3)0x y -+-=，如果以x ，y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A ．5
B ．25
C ．7
D ．15
7．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3-
B ．5-
C ．13-
D ．15-
8．下列说法不能得到直角三角形的（ ） A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
9．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．12cm
B ．14cm
C ．20cm
D ．24cm 10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．7
D ．4或5
二、填空题
11．如图，在△中，
，∠
90°，是
边的中点，是
边上一动
点，则
的最小值是__________．
12．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
13．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC
的周长为_______________．14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知
BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.
15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为
MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则
2
2
MN
BM
的值为
______________．
17．四边形ABCD中AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝52ABCD的面积是_______．
18．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则
2________BD =．
19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若
12315S S S ++=，则2S 的值是__________．
20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点
,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于
点F ．求证：1
2
BE CF AB +=
．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的
延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．
22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；
（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．
23．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是
ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．
24．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．
25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
28．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．
29．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．
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一、选择题
1．A
解析：A 【分析】
先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出
BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项. 【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ， ∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ， ∴
BE ，故①正确；
∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角， ∴∠BHE=∠C ，
又∵在?ABCD 中，∠A=∠C ， ∴∠A=∠BHE ，故②正确； 在△BEH 和△DEC 中，
BHE C HEB CED BE DE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△BEH ≌△DEC ， ∴BH=CD ，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD ，
∴AB=BH ，故③正确；
利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误， 故选A. 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
2．A
解析：A 【分析】
连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】
解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形
1211
11222
ABC S -?∴=??== ，
∴AC 2==
==
2232
1
2212:
2
1
22122
AACD ADE S S --?∴=??===??==
∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ， 故答案为A. 【点睛】
本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
将图形展开，可得到安排AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可． 【详解】
解：(1)如图1，AD=3cm ，DP=3+6=9cm ， 在Rt △ADP 中，AP=2239+＝310cm
((2)如图2， AC=6cm ，CP=6cm ， Rt △ADP 中，2266+62
综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是2cm ． 故选A ． 【点睛】
题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
4．D
解析：D 【解析】
根据题意可画图为：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，
∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∵AB=2，
∴AD=3，
∴S△ABC= 1
2BC·AD=
1
2
×2×3=3.
故选D.
5．A
解析：A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
6．C
解析：C
【分析】
本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】
依题意得：2240,30x y -=-=， ∴2,x y ==
，
斜边长=
=
所以正方形的面积27==． 故选C ．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
7．D
解析：D 【分析】
根据勾股定理求出AB 的长，即为AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答. 【详解】
由勾股定理得，AB ==
∴AC AB ==
∵点A 表示的数是1
∴点C 表示的数是1-故选D. 【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.
8．C
解析：C 【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系. 【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()2
2
2
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()2
2
2
81617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形 故选：C 【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种； （1）有一个角是直角的三角形； （2）三边长满足勾股定理逆定理.
9．D
解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】
解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE=A'E=DG=4cm，
∴BD=16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：22
-=cm
201612
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
10．D
解析：D
【分析】
根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．
【详解】
当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：
22
+=；
345
当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．
∴斜边长为4或5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．
二、填空题
11．
【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴∠90°.根据勾股定理可得
．
12．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
22
+=29（尺）．
2021
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
13．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
-=-=,
13125
CD AC AD
∵∠D=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=, ∴BC=BD-CD=9-5=4， ∴△ABC 的周长=4+15+13=32；
当△ABC 是锐角三角形时， ∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD =
-=-=，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=， ∴BC=BD-CD=9+5=14， ∴△ABC 的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC 的周长是32或42， 故答案为：32或42. 【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 14．12 【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证?BCO ?∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得(
)(
)
2
2
22102
102
20BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE. 因为三角形COA 是等腰直角三角形 所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90° 因为∠ABC=90°，∠AOC=90°， 所以∠BAO+∠BCO=180°, 又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE 所以?BCO ?∠EAO 所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA 所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90° 所以三角形BOE 是等腰直角三角形 所以(
)(
)
2
2
22102
102
20BO EO +=+=
所以AB=BE-AE=20-8=12 故答案为：12 【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．72965【分析】
分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时． 【详解】
（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时． ∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；
（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ． 在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE + （3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ， 在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE +
故答案为：72965
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 16．12 【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有： MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN. 所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN. 所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3. 设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ， 由勾股定理可得()2
2322x x x -=，
所以MN 2=()
()
2
2
2
2312x
x x x +-=，BM 2=()()
2
2
232x x
x -=.
所以22
2
212MN x BM x ==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和
角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 17．49 【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =
22AB BC + =10．
在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=
（52）2+（52）2=100． ∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ACD =
12AB ?BC +12AD ?DC =12×8×6+1
2
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 18．41 【解析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD ′中，
;
BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝??
∠∠'???
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′， ∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=
22AD AD +' ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=22DC DD +'， ∴BD=CD′=41，即BD 2=41． 故答案是：41． 19．5 【分析】
根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可． 【详解】
解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，
12310S S S ++=， ∴得出1
8S y x ，24S y
x ，3S x =，
1
2
3
31215S S S x y
，故31215x y
，
15
4=53x y
， 所以245S x
y
，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用
12315S S S ++=求出是解决问题的关键． 20．522,322++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长． 【详解】 分两种情况：
①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ， ∴AP=BP=4， ∴∠BPC=2∠A=45°，