一、选择题
1. （2019广西省贵港市，题号9，分值3分）如图，AD是O的直径，AB CD
=，若40
AOB
∠=?，则圆周角BPC
∠的度数是()
A．40?B．50?C．60?D．70?
【答案】D．
【解析】解：AB CD
=，40
AOB
∠=?，40
COD AOB
∴∠=∠=?，
180
AOB BOC COD
∠+∠+∠=?，
140
BOC
∴∠=?，
1
70
2
BPC BOC
∴∠=∠=?，故选：D．
【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
2.（2019湖北十堰，8，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠
DBE，AD＝5，CE=√13，则AE＝（）
A．3B．3√2C．4√3D．2√3
【答案】D
【解析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE=√AC2?CE2=√52?(√13)2=2√3．
故选：D ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质
3. (2019内蒙古包头市，8题，3分)如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AC =BC =2√2，以BC 为直径作半
圆，交AB 于点D ，则阴影部分的面积是（ ） A.π-1
B.4-π
C.√2
D.2
【答案】D. 【解题过程】 解：连接CD ，
∵∠ACB =900，AC =BC ， ∴∠ABC =∠A =450， AB =√AC 2+BC 2=4. ∵BC 为直径，
∴∠BDC =900，即CD ⊥AB ， 又∵AC =BC ， ∴AD =BD .
∴∠DCB =∠DBC =450， ∴CD =BD ，
∴CD =BD =AD =1
2AB =2.
∵CD =BD ，
∴S 弓形CD =S 弓形BD ，
∴S 阴影=S △ACD =1
2
AD ·CD =1
2
×2×2=2.
故选D.
【知识点】圆的性质，勾股定理，三角形的面积.
4. (2019内蒙古包头市，6题，3分)下列说法正确的是（ ）
C.在函数y =kx +b （k ≠0）中，y 的值随着x 值的增大而增大
D.如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等 【答案】B. 【解析】
解：对于A ，立方根等于它本身的数是0和±1，该选项错误；
对于B ，顺次连接任意四边形各边中点得到平行四边形，而菱形对角线互相垂直，故顺次连接菱形各边中点可以得到矩形，该选项正确；
对于C ，函数y =kx +b （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，该选项错误；
对于D ，两个圆周角相等，它们所对弧长相等的前提是在同圆或等圆中，没有这个前提是错误的. 故选B.
【知识点】立方根，中点四边形，一次函数的图象及其性质，圆周角的性质.
5. （2019北京市，5题，2分） 已知锐角∠AOB ，如图，
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 A ．∠COM=∠COD B ．若OM=MN ，则∠AOB=20°
C ．MN ∥CD
D ．MN=3CD
【答案】D
【解析】由作图知，CM CD DN == ,OM=OC=OD=ON ； A ．在⊙中，由CM CD =得∠COM=∠COD ；故选项A 正确.
B ．由OM=MN ，结合OM=ON 知△OMN 为等边三角形；得∠MON=60°.又由CM CD DN ==得∠COM=∠COD=∠DON ；∴∠AOB=20°.故选项B 正确.
C ．由题意知OC=O
D ，∴1802
COD
OCD ?-∠∠=
.
设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S.易得△MOR ≌△NOS （ASA ）∴OR=OS ∴1802
COD
ORS ?-∠∠=
∴OCD ORS ∠=∠ ∴MN ∥CD. 故选项C 正确.
D ．由CM CD DN ==得CM=CD=DN=3CD ；而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN ，即MN<3CD ；∴MN=3CD 是错误的；故选D.
B
6.（2019年广西柳州市，6，3分）如图，
A 、
B 、
C 、
D 是圆上的点，则图中与∠A 相等的角是（ ）
A ．∠
B B ．∠
C C ．∠DEB
D ．∠D 【答案】D
【解析】：∵∠A 与∠D 都是弧BC 所对的圆周角，∴∠D=∠A ．故选：D ． 【知识点】圆周角定理
7. （2019贵州省安顺市，8，3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan ∠OBC ＝（ ） A ．
3
1
B ．22
C ．
3
2
2 D ．
4
2
【答案】D
【思路分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据余弦函数的定义求出cos ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC ＝∠CDO ，等量代换即可． 【解题过程】 解：作直径CD ，
在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝42，
E O
B
A
C
D
第8题图
第8题答图
cos ∠CDO
＝
OC
OD ＝32
2，
由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ， 则cos ∠OBC ＝3
2
2， 故选：D ．
【知识点】圆周角定理、锐角三角函数的定义，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半．
8. （2019吉林省，5，2分）如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度数为
(A) 30° (B) 45° (C) 55° (D) 60° 【答案】B
【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB 的度数为45°，故选B
【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系
9.（2019·江苏镇江，15，3）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，弧DC ＝弧CB ．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ）
A ．55°
B ．60°
C ．65°
D ．70°
【答案】A ．
【解析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦弧关系定理、等腰三角形的性质，解题的关键是充分利用圆的性质及转化思想． 如答图，连接BD ．
第15题图
D
C
B
A
O
D
C
B
A
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠C ＋∠A ＝180°． ∵∠C ＝110°， ∴∠A ＝70°． ∴∠DAB ＝20°． ∵弧DC ＝弧CB ， ∴DC ＝CB ．
∴∠CBD ＝∠CDB ＝1
(180110)2
?-?＝35°．
∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝20°＋35°＝55°． ∴本题选A ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形性质定理；弦弧关系定理；等腰三角形的性质
10. （2019广西梧州，11，3分）如图，O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，
1AE =，则CD 的长是( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C
【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示： 则DF CF =，1
32
AG BG AB ===， 2EG AG AE ∴=-=，
在Rt BOG ?中，2OG ==， EG OG ∴=，
EOG ∴?是等腰直角三角形，
45OEG ∴∠=?，OE ==，
75DEB ∠=?， 30OEF ∴∠=?， 1
2
OF OE ∴==
在Rt ODF ?中，DF =
2CD DF ∴==
故选：C ．
【知识点】垂径定理；勾股定理；直角三角形的性质
11. （2019江苏镇江，15，3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=?，则ABC ∠的度数等于( )
A ．55?
B ．60?
C ．65?
D ．70?
【答案】A
【解析】解：连接AC ，
四边形ABCD 是半圆的内接四边形， 18070DAB C ∴∠=?-∠=?， DC CB =，
1
352
CAB DAB ∴∠=∠=?，
AB 是直径，
90ACB ∴∠=?，
9055ABC CAB ∴∠=?-∠=?，
故选：A ．
【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
12. （2019内蒙古赤峰，10，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D
【解析】解：如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，
?=BC?．
∴AC
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
二、填空题
1. （2019广西北部湾，17，3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.
【答案】26.
【思路分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，设⊙O的半径为r．在Rt⊙ADO中，AD=5，OD=r-1，
OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．
在Rt⊙ADO 中，AD=5，OD=r -1，OA=r ， 则有r 2=52+(r -1)2， 解得r =13，
⊙⊙O 的直径为26寸， 故答案为26．
【知识点】垂径定理；勾股定理.
2. (2019黑龙江绥化,20题,8分)半径为5的 O 是锐角三角形ABC 的外接圆,AB ＝AC,连接OB,OC,延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形,则弦BC 的长为______. 【答案】5352或【解析】∵△OBD 为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD ＝90°时,∠BOC ＝90°,在Rt △BOC 中,BO ＝OC ＝5,∴BC ＝2当∠ODB ＝90°时,∵OB ＝OC,设∠OBC ＝∠OCB ＝x,∴∠BOD ＝2x,∠BOC ＝180°－2x,∴∠ABO ＝90°－2x,∠ABC ＝∠ACB ＝90°－x,∴∠A ＝2x,∵∠BOC ＝2∠A,即180－2x ＝2×2x,∴x ＝30°,∴∠BOC ＝120°,∵OB ＝OC ＝5,∴BC ＝53综上所述,BC 的长度为5352或
【知识点】等边对等角,勾股定理,圆周角定理
3. （2019宁夏，14，3分）如图，AB 是
O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC
的中点D ，若210AB =，则
O 的半径为 ．
【答案】32【解析】设
O 的半径为R ，
因为OC AB ⊥，所以1
102
AC BC AB ===因为劣弧AB 沿弦AB 折叠交OC 的中点D ，所以2
3
OC R =
，连接OB ，在Rt △OBC 中，由勾股定理得222OB OC CB =+，即
2222
()(10)3
R R =+，解得32R =，所以O 的半径为32．
【知识点】垂径定理、勾股定理、轴对称图形的性质．
4. （2019山东东营，16，4分）如图，AC 是⊙O 的弦，AC =5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC =45°，若点
M 、N 分别是 A C 、BC 的中点，则 M N 的最大值是____________．
【答案】522
【解析】∵MN 是△ABC 的中位线，∴MN=1
2AB ．当AB 为⊙O 的直径时，AB 有最大值，则MN 有最大值．当
AB 为直径时，∠ACB=90°，∵∠ABC =45°，AC =5，∴AB=52MN=52
2
．
【知识点】中位线定理；圆周角定理及其推论
5. （2019黑龙江省龙东地区，6，3）如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，
则∠AOB 的度数为________．
【答案】60°.
【解析】∵OA ⊥BC ，⊙AB AC = ，⊙∠AOB ＝2∠ADC ,∵∠ADC ＝30°，⊙∠AOB ＝60°.
【知识点】垂径定理；圆周角与圆心角关系定理
6.（2019·江苏常州，16，2）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__________°．
A
O
B
C
D
【答案】30
【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30． 【知识点】圆周角定理
7. （2019江苏常州，16，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB
＝ °．
【答案】30
【解析】解：∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB =12
∠BOC ＝30°．故答案为30． 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
8. （2019四川省雅安市，15，3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=21°，则 ∠A 的
度数为___________.
【答案】69° 【解析】∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°，故答案为69°． 【知识点】圆周角定理
三、解答题
1. （2019广西河池，T21，F8分）如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．
（1）尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．
O
C
B
D
A
第16题图
O D C
B
【思路分析】（1）利用基本作图作AD 平分BAC ∠，然后连接OD 得到点E ；
（2）由AD 平分BAC ∠得到12BAD BAC ∠=∠，由圆周角定理得到1
2
BAD BOD ∠=∠，则BOD BAC ∠=∠，再证
明OE 为ABC ?的中位线，从而得到//OE AC ，1
2
OE AC =． 【解题过程】解：（1）如图所示；
（2）//OE AC ，1
2
OE AC =． 理由如下：
AD 平分BAC ∠， 1
2BAD BAC ∴∠=∠，
1
2
BAD BOD ∠=∠，
BOD BAC ∴∠=∠， //OE AC ∴， OA OB =，
OE ∴为ABC ?的中位线， //OE AC ∴，1
2
OE AC =
． 【知识点】作图-基本作图；圆周角定理
2. （2019黑龙江哈尔滨，26，10分）已知:MN 为⊙O 的直径,OE 为⊙O 的半径,AB 、CH 是⊙O 的两条弦,AB ⊥OE 于点D,CH ⊥MN 于点K,连接HN 、HE,HE 与MN 交于点P ；(1)如图1,若AB 与CH 交于点F,求证:∠HFB=2∠EHN ；(2)如图2,连接ME 、OA,OA 与ME 交于点Q,若OA ⊥ME,∠EON=4∠CHN,求证:MP=AB ；
(3)如图3,在(2)的条件下,连接OC 、BC 、AH,OC 与EH 交于点G,AH 与MN 交于点R,连接RG,若HK ：ME=2：
,求RG 的长。
【思路分析】（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；
（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；
（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt△OMQ两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用BC＝2，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应用勾股定理求RG．
【解题过程】解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K
∴∠ODB＝∠OKC＝90°
∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°
∴∠DFK+∠EON＝180°
∵∠DFK+∠HFB＝180°
∴∠HFB＝∠EON
∵∠EON＝2∠EHN
∴∠HFB＝2∠EHN
（2）如图2，连接OB，
∵OA⊥ME，
∴∠AOM＝∠AOE
∵AB⊥OE
∴∠AOE＝∠BOE
∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，
即：∠MOE＝∠AOB
∴ME＝AB
∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN
∴∠EHN＝2∠CHN
∴∠EHC＝∠CHN
∵CH⊥MN
∴∠HPN＝∠HNM
∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM
∴∠EPM＝∠HEM
∴MP＝ME
∴MP＝AB
（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，
由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE
∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°
∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°
∵OA⊥ME，CH⊥MN
∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，
∴∠AOM+∠OMQ＝90°
∴∠CON＝∠OMQ
∵OC＝OA
∴△OCK≌△MOQ（AAS）
∴CK＝OQ＝HK
∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3
∴OQ：MQ＝4：3
∴设OQ＝4k，MQ＝3k，
则OM5k，AB＝ME＝6k
在Rt△OAC中，AC k
∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝1
2
∠AOC＝
1
2
×90°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°
∴AF＝BF＝AB?cos∠ABF＝6k?cos45°＝k
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2
即：（k）2＋（k）2＝（k）2，
解得：k1＝1，k1＝－1
7
（不符合题意，舍去）
∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5
∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，
∴PK
HK
＝tan∠RHK＝tan45°＝1
∴RK＝HK＝4
∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1∵∠CON＝∠OMQ
∴OC∥ME
∵∠EPM ＝∠HEM ∴∠PGO ＝∠EPM ∴OG ＝OP ＝OR ＝1 ∴∠PGR ＝90°
在Rt △HPK 中，PH ∵∠POG ＝∠PHN ，∠OPG ＝∠HPN ∴△POG ∽△PHN
∴
PG
PO ＝PN PH ，即1PG
，PG
∴RG ． 【知识点】
3. （2019湖北仙桃，23，10分）已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接DB ，DC ． （1）如图①，当∠BAC ＝120°时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当∠BAC ＝90°时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若BC ＝5，BD ＝4，求
AD AB+AC
的值．
【思路分析】（1）在AD 上截取AE ＝AB ，连接BE ，由条件可知△ABE 和△BCD 都是等边三角形，可证明△BED ≌△BAC ，可得DE ＝AC ，则AB +AC ＝AD ；
（2）延长AB 至点M ，使BM ＝AC ，连接DM ，证明△MBD ≌△ACD ，可得MD ＝AD ，证得AB +AC =√2AD ； （3）延长AB 至点N ，使BN ＝AC ，连接DN ，证明△NBD ≌△ACD ，可得ND ＝AD ，∠N ＝∠CAD ，证△NAD ∽△CBD ，可得
AN BC
=
AD BD
，可由AN ＝AB +AC ，求出
AD
AB+AC
的值．
【解题过程】解：（1）如图①在AD 上截取AE ＝AB ，连接BE ， ∵∠BAC ＝120°，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC=√2AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM=√2AD，即AB+BM=√2AD，
∴AB+AC=√2AD；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，
∴AN
BC
=
AD
BD
，
∴AD
AN
=
BD
BC
，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，
∴
AD
AB+AC
=
BD
BC
=
4
5
．
【知识点】圆的有关概念及性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定和性质；等边三角形的判定与性质
4. (2019内蒙古包头市，24题，10分)如图12，在圆O中，B是圆O上一点，∠ABC=1200，弦AC=2√3，弦BM
平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC
（1）求圆O半径的长；
（2）求证：AB+BC=BM.
【思路分析】
（1）先根据条件“∠ABC=1200，BM平分∠ABC”判定△ACM是等边三角形；过O作OE⊥AC于E，连接OA，再根据AC=2√3，∠AOE=600,计算出AO的长即可；
（2）在BM上截取BF，使BF=BC，由∠CBF=600可知△BCF为等边三角形，得到BF=BC；再判定△ABC≌△MFC，得到MF=AB；最后根据MF=AB，BM=MF+BF，BF=BC即可得出结论.
【解题过程】
解：（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA，
∵∠ABC=1200，BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM=600，
∵弧AM=弧AM，
∴∠ACM=∠ABM=600，
同理，∠MAC=∠MBC=600,
∴∠MAC=∠MCA=∠AMC=600，∴△ACM为的等边三角形，
∵OE⊥AC，O为圆心，
∴AE=1
2
AC=√3.
∵△ACM为圆内接正三角形，
∴∠AOE=600，
在Rt△AOE中，sin∠AOE=AE
OA
，
∴OA=AE
sin60°=√3
√3
2
=2.
∴圆O的半径长为2.
（2）在BM上截取BF，使BF=BC，
又∵∠CBF=600，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠BFC=600，BF=BC=FC，
∴∠CFM=1800-∠BFC=1200，
又∵∠ABC=1200，
∴∠ABC=∠MFC,
∵弧BC=弧BC，
∴∠BAC=∠FMC，
∴△ABC≌△MFC(AAS).
∴MF=AB，
又∵BM=MF+BF，BF=BC,
∴BM=AB+BC.
【知识点】等边三角形的判定，正多边形的计算，全等三角形的判定，特殊角三角函数.
5.（2019年陕西省，25，12分）（本题12分）
问题探究：
（1）如图①，四边形ABCD为正方形，请在射线CD上找一点P，使△BCP的面积恰好等于正方形ABCD 的面积；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4
BC=，请在直线BC上方找一点Q，使得△BQC是以BC 为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，求出此时BQC
∠的度数；
问题解决：
（3）如图③，在△ABC 中，120C ∠=?，12AB =，在△ABC 所在的平面上是否存在点M ，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，且60AMB ∠=?？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由．
【思路分析】第（1）问中，因为正方形ABCD 与△BCP 的面积相等，而它们有相同的底BC ，所以2PC CD =，即可作出点P ；第（2）问中，利用△BQC 的面积等于矩形ABCD 的面积，可以求出等于三角形的高，利用锐角三角函数即可求出BQC ∠的度数；第（3）问中，因为△ABM 的面积等于△ABC 的面积，而它们有相同的底AB ，所以这两个三角形的高相等，因为120C ∠=?，60AMB ∠=?，所以180AMB C ∠+∠=?，所以利用三角形的外接圆的性质及轴对称图形的性质，可以作出点P 的位置． 【解题过程】
（1）本题的答案是
因为正方形ABCD 与△BCP 的面积相等，而它们有相同的底BC ，所以2PC CD =，
所以将CD 延长一倍，即可找到点P 的位置，如下图：
（2）解：因为四边形ABCD 是矩形，
所以=ABCD S AB BC ?=矩形
因为△BQC 的面积等于矩形ABCD 的面积，
所以=BQC
ABCD S
S =矩形，
设△BQC 的底边BC 上的高为x ， 则11=424322
BQC
S
BC x x x =?==，所以x =
此时，点Q 在BC 的垂直平分线上，并且点Q 到BC
的距离为 点Q 的位置，如下图所示：
P
第25题图
第25题答图（1）