2021年高考数学总复习专题7.1不等式关系与不等式解法基本不等式及应
用试题含解析
【三年高考】
1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，
一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．
【答案】30
【解析】总费用为600900
464()4240x x x x
+
?=+≥?，当且仅当，即时等号成立． 【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【xx 高考江苏，7】不等式的解集为________. 【答案】
【解析】由题意得：，解集为
3.【xx 江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．
【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,
0,0,4,0,x x x x x x x ?->?
=??--
∴
原不等式等价于或
由此可解得x＞5或－5＜x＜0.
故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．.
4. 【xx山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】
B
【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
5．【xx天津，理8】已知函数
23,1,
()2
, 1.
x x x
f x
x x
x
?-+≤
?
=?
+>
?
?
设，若关于x的不等式在R上恒成立，
则a的取值范围是
（A）（B）（C）（D）【答案】
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 6．【xx天津，理12】若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
4422
414111
444
a b a b
ab ab
ab ab ab ab
+++
≥=+≥?=，（前一个等号成立条件是，
后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
7．【xx高考浙江理数改编】已知a，b，c是实数，则下列命题①“若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100”；
②“若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100”；③“若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100”；④“若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100”中正确的是．
【答案】④
考点：不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
8．【xx高考上海理数】设x,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：
由题意得：，即，故解集为.
考点：绝对值不等式的基本解法.
【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.
9.【xx高考陕西，理9】设，若，，，则的大小关系是_____________.
【答案】
10.【xx高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…，同时成
．．．立．，则正整数的最大值是_________.
【答案】4
【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.
11.【xx 高考四川，理9】如果函数()()()()21
281002
f x m x n x m n =
-+-+≥≥，
在区间上单调递减，则mn 的最大值为__________. 【答案】18
12.【xx 高考天津，文12】已知 则当a 的值为 时取得最大值. 【答案】4
【xx 年高考命题预测】
纵观xx 各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解． 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题，
对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测xx 年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题．
【xx 年高考考点定位】
高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系． 【考点1】不等式性质 【备考知识梳理】
1．不等式的基本性质：（1） （2） （3）， （4）000c ac bc a b c ac bc c ac bc >?>??
>=?=??
2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>?+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>?->-，（３）乘法法则：
0,00a b c d ac bd >>>>?>>
（４）除法法则：0,00a b
a b c d d c
>>>>?
>>，
（５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>?>>∈≥
（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>?>>∈≥
【规律方法技巧】
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【考点针对训练】
1.如果,那么下列不等式①②③④成立的是 ． 【答案】④
【解析】因，故，①错，④正确，2
2
()b ab b b a b ab -=-?<，②错；
222()0a ab a a b a ab a ab -=->?>?-<-，③错．
2. 设，则下列不等式①②③④成立的是 . 【答案】④
【解析】取，代入可知①②③错，又∵，∴()01lg 0b a b a <-<∴-<，故选④. 【考点2】不等关系 【备考知识梳理】
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.
【规律方法技巧】
区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现．
【考点针对训练】
1.若a ，b ，c 为实数，且，则下列不等式①②③④正确的是 ． 【答案】④
【解析】试题分析：因为,所以即，均不成立；当时，不成立；故填④. 2.已知定义域为R 的奇函数的导函数为，当时，，若
()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ????
??
=
=--= ? ? ???????
，则的大小关系正确的是______________. 【答案】
【考点3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数
（）的图象
有两相异实根有两相等实根
无实根
【规律方法技巧】
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【考点针对训练】
1.已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）当时，解关于的不等式（用表示）．
的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为.
2.
若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为．
【答案】
【考点4】基本不等式及应用
【备考知识梳理】
1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）
2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）；
3、
22
2
(0,0) 1122
a b a b
ab a b
a b
++
≤≤>> +
【规律方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.
【考点针对训练】
1.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为．
【答案】
【解析】
6 23
2
ac ac ac
a c
=≤=
?
，当且仅当时取等号，故的最大值为
2.设实数满足，则的最小值是．
【答案】
【解析】令，则，所以
()1
1
1
2t t
x t
t
y-
?=+
?
?
?=
?
，
，
，则22
2
4
3262642
x xy t
t
-=+++
≥．
【两年模拟详解析】
1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】整理不等式可得： .
问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a的取值范围是，即1
2．【xx 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知，均为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】
，所以
（当且仅当 时取等号）
而 （当且仅当 时取等号），因此 （当且仅当 时取等号），即
的最小值为7.
3．【南京市、盐城市xx 届高三年级第一次模拟】在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为 ▲ ． 【答案】 【解析】
222222222
111()1(83)sin 1cos ()()222424
ABC
a b c c S ab C ab C ab ab ?+--==-=-=-，
而222228242ab a b c ab c ≤+=-?≤-， 所以22222222
1(83)125(4)(165)244425
ABC
c S c c c ?-≤--=-≤=
当且仅当时取等号
4. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】
【解析】当时，]4[)()(2
x x x f x f +-=--=，所以或，解得或，解集为
5. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】不等式（且）对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】
【解析】)100ln ,0(ln )100,1(∈?∈x x ，所以x x
a x x a ln ln 4ln 14ln log 2
+
<-，又 4ln ln 42ln ln 4=?≥+x x
x x ，当且仅当时取等号，因此或 6. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知不等式22
2
≥+-+-)ln ()(λn m n m 对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】
【解析】不等式恒成立等价于直线上任一点到曲线上任一点距离最小值不小于，易得直线与曲线相切，所以
11,22
|
1|≥?->≥+λλλ 7. 【xx 年第二次全国大联考江苏卷】对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】
8. 【xx 年第二次全国大联考江苏卷】实数满足，使取得最大值的最优解有两个，则的最小值为 【答案】
【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵取得最大值的最优解有两个，∴，∴当，或，时，有最小值．
9. 【xx 年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形中，若依次成等差数列，则的取值范围
为 ． 【答案】 【解析】由题意得
tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2
tan tan 1tan tan A C
B A
C A C A C A C A C
+=+?-+=+?-=+-
因为锐角三角形，所以，
因此，2tan tan B B ≥?≥（当且仅当时取等号），从而.
10. 【xx 年第二次全国大联考江苏卷】已知 且,则的最小值为 【答案】
【解析】由得,可设1
3,,(0)x y t x y t t
+=-=≠,
因此
222231521,,4484
t t t t t t x y z x y +
-++===+=≥=
,当且仅当时取等号,即的最小值为.
11. 【xx 年第三次全国大联考江苏卷】已知21
,,26x y x y x y
+∈+++=R ，则的最大值为_____________． 【答案】
【解析】令，则，因为
2121214()(4)x y y x
x y x y m m x y
++=+=++ ，当且仅当时取等号，所以2
86,680,24m m m m m
-≥-+≤≤≤，即的最大值为（当且仅当时取等号）．
12．【xx 年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，满足不等式2,6,20,x x y x y ≥??
+≤??-≤?
则的最大值
是 ． 【答案】 2
【解析】在直角坐标系内作出不等式组2620x x y x y ≥??
+≤??-≤?
，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），
其中表示可行域内点 与原点连线的斜率，由图可知，斜率最大，，所以最大值为2．
13．【xx 年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知且满足，则的最小值为 . 【答案】
【解析】由题设可得点分别在曲线上.设点，则问题转化为求曲线上的动点与直线上的动点之间的距离的最小值的平方问题.设点是曲线的切点，因，故在点处的切线的斜率，由题意，即时，也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，最近距离
55d ==，也即的最小值为2229(2ln 3)9ln 553
e d -==.
14. 【xx 年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设，点在过点的直线上，则的最大值为． 【答案】
15. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市xx 届高三第二次调研】设是正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】
【解析】11,2,
,22c c
b c a b c a b a b b c a b b c
+≥+≥+≥≥++++，，令1211121111,22221221222122
b b
c t t t t c c b c t t t ++=+=+=+-≥?=++++当且仅当
时取“=”， 则的最小值为
16．【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式的解集为 . 【答案】
【解析】当时，，，所以，当时，，，所以，因此原不等式的解集为．
17．【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x ，y 是正整数，，则t 的最小值为 . 【答案】8
【解析】由题意只要考虑是正数，即的情形，因为221664
()
2
y x y x ≥
=+-，所以
2221664
max{,
}max{,}()t x x y x y x
=≥-，当时，，所以．
18【江苏省清江中学xx 届高三上学期周练数学试题】已知实数，若以，，为三边长能构成一个三角形，则实数的范围为 ． 【答案】
【解析】根据已知条件得：x y x x x y x y x λλλ?+>>+++>??
①
② ，
0y x x y >>∴+=>，
0x y x λλ>∴++>， 都成立；
∴由①得，
令
1110y t t f t t f t x =>=++>'=，，（）（），
∴在上单调递增；()(
)122f t f λ∴∴≤>=
由②得，令110y t t g t t g t x =>=+'=>，，（）（） ，
∴在单调递增；
(
)()1,1,1g t t g t g t λ=
∴→∞→∴<∴≥=
+，（） ，
综上即λ的取值范围为
19．【扬州市xx 学年度第一学期期末检测试题】.已知且，则的最小值为 . 【答案】3
【解析】令，又得，32log 3log 27a b b a t t +=+=解得，即，211
11311
a a
b a +=-++≥--，当且仅当时取“=”
20．【镇江市xx 届高三年级第一次模拟考试】已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________． 【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．
【解析】当x <0时，()()()2log 1f x f x x =--=--, f (x )<0,即，解得；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0,即，解得，综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)． 21．【泰州市xx 届高三第一次模拟考试】若正实数满足2
(21)(52)(2)xy y y -=+-，则的最大值为 ． 【答案】
【解析】令，则2
2
2
(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，
因此222(88)32(45)0247001t t t t t ?=---≥?+-≤?<≤-，当时，
2440045t y x t -==>=>-，，因此的最大值为．
22．【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】4
【解析】由已知222log log log 1xy x y =+=，，又，所以 （当且仅当时取等号），所以最小值为4.
【一年原创真预测】
1.若正实数满足，则的最大值为 . 【答案】
【解析】由题可得,因为()22a b a b a b +≥?+≥?-+≤-
()
()
21
2
22
4
a b a b -+-+-?≤?≤
,当且仅当时, 取得最大值. 【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合，难度不大，故选此题.
2.若关于的不等式对任意实数恒成立，则的最大值为_________.
【答案】
【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的难度，但构思比较巧，故选此题.
3.已知，对任意，若不等式恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】，或
【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，巧妙的把向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.