、选择题
数值分析复习题
1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.
C. 3 和4
2.已知求积公式x dx 1Af(|) f(2)
，则A =()
C.
3.通过点X o,y o , X1,y1的拉格朗日插值基函数l
o
,
l1
满足（）
A. I o X o = 0, I1 X1 o
B. l o X o= o, 1
1 C. I o X o= 1, I1 X1 I o x o = 1 I
1
X1
f X
4.设求方程0的根的牛顿法收敛,
则它具有（敛
速。
A ?超线性
B ?平方C.线性 D .三次
5.用列主元消元法解线性方程组x-i 2x2x30
2x12x23x3
X 3x2 2
作第一次消元后得到的第3个方程（）.
X2 X3 2 B 2x2 1.5x3 3.5
C. 2X2 X3 3D X2 o.5x3 1.
5
二、填空
1.设x
2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x=
f X1,X2
2.设一阶差商X2 f X-,
X2 X1
f X2,X3
f X3 f X2
X3 X2
则二阶差商
X l,X2,X3
3.设X(2,3
, 1)T,则I|X||2 l|X
II
4.
2
求方程x1-25 0的近似根，用迭代公式
X Vx1?25，取初始值x o 1那么X1
5. 解初始值问题y' f (X, y)
yX) y。近似解的梯形公式是Y k 1
6、，贝U A的谱半径
7
、
设f(x) 3x25, x k kh, k 0,1,2,...,则f X n,X n 1,X n 2
9、x
n
, x
n 1
, x
n 2, X n
3
若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都
解常微分方程初值问题的欧拉( Euler )方法的局部截断误差
为
y 10丄
10、为了使计算x 1
2 3
(X "2 (X 的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写
11.设X(2,3, 4)T，则||X|1 ||X||
2
12.—阶均差 f X0,X1
13.已知n 3时，科茨系数C' 詁3C23
8，那么
C33
f X X 4 2X
14.因为方程f 0在区间1,
2
上满足
f X 0
，所以'x 0在区间内有根。
15.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题的计算公式
16.设x 2.40315是真值X 2.40194的近似值, 位有效数
字。
17.对 f(x) x
3 x 1
,差商 flQ 1,2,3】( )。
28、辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式为
30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则 x*有 ____ 位有效数字。
18.设 X (2, 3,7)T ,则 n
C k n) 19.牛顿一柯特斯求积公式的系数和 k 0 20.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a 有()位有效数字. 21. l0(x), l1 (x), ,ln (x)是以0,1, ,n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则 n
il i (x)
i
().
22.设f(X)可微，则求方程x f (x)的牛顿迭代格式是( ).
23.迭代公式X "k ° BX Z f
收敛的充要条件是 v(k 1)
24.解线性方程组 Ax=b (其中A 非奇异，b 不为0)的迭代格式x 9x 1 X 2 8 组x 1 5x 2 4，解此方程组的雅可比迭代格式为 ( Bx
(k)
中的B 称为( ).给定方程
25、数值计算中主要研究的误差有 26、设lj(X)(j 0,1,2L n)是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 (i, j 0,1,2L
n)；
n l j (x ) j 0 27、设 lj(x)( j 0,1,2L n)是区间[a ,b ]
上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值
A
型求积公式中求积系数
j
n A j ；且j 0
29、 2
f (x) x 1,则 f[1,2,3]
,f [123,4]
X 3
X 1 ,则差商(均差)f[0,1,2,3]
（2）写出余项R （x ）f （x ） H （x ）的表达式
二沁\M=0, 1…收敛?
3.推导常微分方程的初值问题
y' f （x, y ） y （X 0
）y 。的数值解公式:
h ' ' '
y n 1
-(y n 1 4y n J n 1)
（提示：利用 Simpson 求积公式。 4.利用矩阵的 X 1 2X 1
组3X 1
2x 2 3x 3 14 5x 2 2x 3 18 x 2 5X 3 20
LU 分解法解方程 5.已知函数 求分段线性插值函数，并计算
f 1.5
的近似值.
f[0,123,4]
32.求方程X
f
（X ）根的牛顿迭代格式是
A
33.已知 4
，则
34.方程求根的二分法的局限性是
三、计算题
3
f (x) X 2
, X 0
1.设
1
4, X 1
1,X2 -
4
（1）试求
f x
在
1
4'4 上的三次Hermite 插值多项式
X
使满足
0,1,2,...
H (X i ) f (X i ) X 以升幕形式给出。
2 .已知2呦的?3）满足
，试问如何利用砂⑴ 构造一个收敛的简单迭代函数 护'^），使
y n 1
0 X 1
15.设初值问题
6.已知线性方程组
X 0 X i X i x 2 2x 3 7.2 10x 2 2x 3
8.3
x 2 5x 3 4.2 (1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；( 2)于初始值
0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算
1 X (保留小数点后五位数字) 7.用牛顿法求方程X’ 3x 1 0在1,
2 之间的近似根 (1 )请指出为什么初值应取 2? ( 2)请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001. 8.写出梯形公式和辛卜生公式, 并用来分别计算积分
1
丄dx
01 X 9.用二次拉格朗日插值多项式
L 2(x)计算 sin 0.34 的值。 插值节点和相应的函数值是( 0, 0), 10.用二分法求方程f(x) x' 11.用高斯-塞德尔方法解方程组 1 0在 口.。,1.5］区间内的一个根，误差限 4x 1 2x 2 X
3 11 X 1 4X 2 2X 3 18 2x 1 X 2 5X 3 22
，取 x (0)
(0,0,0)T
(0.30, 0.2955),( 0.40, 0.3894)。 迭代三次(要求按五位有效数字计算).。 10 2。
12求系数AA 和A,使求积公式
f(x)dx A 1f ( 1) 1
A 2f ( 1) A 3 f (；)对于次数 2的一切多项式都精确成立 13. 对方程组 3x 1 10x 1 2X 1 2x
2 4X 2 10X 2
10X 3 X 3
4X 3 15 8试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由 14. 数精度. 确定求积公式 1
1f(x)dx Af( 0.5) Bf(X 1) Cf (0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
y y(0) 1
3x 2y
.(1) 写出用Euler 方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;
⑵写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长 h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解 保留两位小数。
16.取节点x 0 0, X 1 o.5, x 2
1
，求函数y e x 在区间［0,1］上的二次插值多项式
P 2
（x ）
，并估计误差。
17、已知函数y f （X ）的相关数据
f
（X ）的三次插值多项式；⑵求x
,使f
（X ） 0
o
确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度
由牛顿插值公式求三次插值多项式
B （x ），并计算
阴）
的近似值。
18、利用尤拉公式求解初值问题, 其中步长
h
O-1
y
y(0
y X 1, 1.
X (0,0.6)
o
h
19.确定求积公式
h
f （x ）dX
Af( h) A i f(O) A 2f(h)
中待定参数A 的值（i
，1
，2）
，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度
20、已知一组试验数据如下
2x 4 3x 2 4x 3 6, 3x 1 5x 2 2x 3 5,
4X 1 3x 2 30x 3 32
22.已知
（1）用拉格朗日插法求
求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组
fh *
［y（A）d.^V（-h）+Wi）
A 0 2 1
2 1 2