江苏省启东中学高一数学暑假作业第一天正弦定理与余弦定理
及其应用（含解析）苏教版
1. 正弦定理：在△ABC 中，
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R . 2. 余弦定理：在△ABC 中，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ；b 2
＝c 2
＋a 2
－2ca cos B ；c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C .
3. 用三角形知识解决实际问题的一般步骤： ① 根据题意作出示意图；
② 确定所涉及的三角形，搞清已知和未知； ③ 选用合适的定理进行求解； ④ 给出答案能否灵活．
4. 解三角形知识实际问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用．
1. 在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝c
cos C
，试判断△ABC 的形状．
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2. 在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，试判断该三角形的形状． _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
(参考时间60分钟 满分100分)
班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________
一、 选择题(每题5分，共30分)
1. (*)在△ABC 中，c ＝3，B ＝45°，C ＝60°，则b ＝( ) A.
22
B.
32
C. 3 22
D. 2
2. (*)在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A. 3 B. 23 C. 3 3
D. 2
3. (**)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
的值等于( )
A. 2393
B. 26
3 3
C. 8
3
3 D. 2 3
4. (**)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－10 3)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为( )
A. 30m
B. 60m
C. 30 3 m
D. 40 3 m
第4题
5. (**)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
6. (***)如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD,2AC ＝3AD ，AB ＝2AD ，则sin B ＝( )
第6题
A.
6
3 B.
33 C. 66
D.
36
二、 填空题(每题5分，共20分)
7. (*)在△ABC 中，若b 2
＝a 2
＋c 2
＋ac ，则B ＝________.
8. (**)在△ABC 中，若a ＝4，b ＝5，S △ABC ＝5 3，则c ＝________.
9. (**)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.
10. (***)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．
三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)
11. (**)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1) 求C ；
(2) 若c ＝7，△ABC 的面积为3 32
，求△ABC 的周长．
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
_________________________________________________________________ 12. (**)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin(A ＋C )＝8sin 2
B
2.
(1) 求cos B ；
(2) 若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 13. (***)如图，某海岛上一观察哨所A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东
π3
的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西π
3的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E
港口．如果轮船始终匀速前进，求船速．
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
第一天 正弦定理与余弦定理及其应用
教材例题回顾练
1. 正三角形
2. 以A 为顶角的等腰三角形 暑期限时检测
1. D 解析：在△ABC 中，c ＝3，B ＝45°，C ＝60°，
则b ＝
c sin B
sin C
＝3×22
32
＝ 2.故选D.
2. C 解析：因为b ＝3，c ＝3，B ＝30°， 所以由余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， 可得9＝a 2
＋9－2×a ×3×
32
， 整理可得a ＝3 3.故选C.
3. A 解析：因为A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×3
2，所以c ＝4，
所以a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12
＝13，所以a ＝13，
所以a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝a sin A ＝133
2
＝239
3.
4. B 解析：设AE ⊥CD ，垂足为E ，则在△ABM 和△AMC 中，AM ＝
AB
sin15°
＝20 6，∠
AMC ＝105°，C ＝30°，所以
AC
sin105°＝20 6sin30°
，
所以AC ＝60＋20 3，所以CE ＝30＋10 3， 所以CD ＝30－10 3＋30＋10 3＝60.故选B. 5. B 解析：因为c ＝2b cos A ， 由正弦定理，可得sin C ＝2sin B cos A ， 即sin(A ＋B )＝2sin B cos A ， sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin B cos A ，
所以sin A cos B －sin B cos A ＝0，即sin(A －B )＝0.
因为A ，B 是△ABC 的三内角，所以A ＝B . 故△ABC 是等腰三角形．故选B.
6. C 解析：由题意设AD ＝2x ，则AC ＝CD ＝3x ，AB ＝4x . 在△ADC 中，由余弦定理可得cos ∠ADC ＝4x 2
＋3x 2
－3x 2
2·2x ·3x ＝3
3，
所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝
1－?
??
??332
＝63， 所以在△ADB 中，由正弦定理可得sin B ＝AD sin ∠ADB
AB
＝2x ·63
4x
＝
6
6
.故选C. 7. 120° 8. 21或61 9.
21
7
10. (2，＋∞) 11. 解：(1) 因为在△ABC 中，0 即2cos C sin[π－(A ＋B )]＝sin C,2cos C sin C ＝sin C ，所以cos C ＝12，所以C ＝π 3. (2) 由余弦定理得7＝a 2＋b 2 －2ab ·12， 所以(a ＋b )2 －3ab ＝7. 因为S ＝12ab sin C ＝34ab ＝3 3 2， 所以ab ＝6，所以(a ＋b )2 －18＝7， 所以a ＋b ＝5或a ＋b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的周长为5＋7. 12. 解：(1) 因为sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2， 所以sin B ＝4(1－cos B )． 因为sin 2 B ＋cos 2 B ＝1， 所以16(1－cos B )2 ＋cos 2 B ＝1， 所以16(1－cos B )2 ＋cos 2 B －1＝0， 所以16(cos B －1)2＋(cos B －1)(cos B ＋1)＝0， 所以(17cos B －15)(cos B －1)＝0，所以cos B ＝15 17. (2) 由(1)可知sin B ＝8 17 ， 因为S △ABC ＝12ac sin B ＝2，所以ac ＝17 2， 所以b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ＝a 2＋c 2 －2×172×1517 ＝a 2 ＋c 2 －15＝(a ＋c )2 －2ac －15 ＝36－17－15＝4， 所以b ＝2. 13. 解：设∠ABE ＝θ，船的速度为v km/h ， 则BC ＝43v ，BE ＝1 3 v . 在△ABE 中，5sin θ＝1 3v sin π6 ，sin θ＝15 2v . 在△ABC 中， AC sin π－θ ＝43v sin 2π3，所以AC ＝43v ·sin θ32＝43v ·152v 32 ＝203. 在△ACE 中，? ????53v 2 ＝25＋? ???? 2032－2×5×? ???? 203·cos 5π6，259v 2＝25＋4003＋100＝7753， 所以v 2 ＝93.所以船的速度v ＝93 km/h. 三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。 人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° 课时达标训练(一) 正 弦 定 理 [即时达标对点练] 题组1 利用正弦定理解三角形 1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2 2. ∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ， ∴cos A a ＝sin A a ， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0° 5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1 sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴ a －2 b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2. ★答案★：2 6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝ b sin C c ＝10·sin 60°56 ＝2 2， 且b ＝10，c ＝56，b 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 高一数学正弦定理余弦定理习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 正 余 弦 定 理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02C x x A B -?+ =的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠= ，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 74sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 323 π 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -=??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin sin 60A =得1sin 2 A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180 C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π+-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利 课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到 一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键： 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入： 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课探究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C 高一数学正余弦定理知 识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T- 高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练 班级 姓名 座号 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222 A B C A B C ++==. 表一： 表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具 基础达标： 1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3．ΔABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +bc ，则∠A= A. 60 B. 45 C. 120 D. 30 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c. 高中数学《余弦定理》 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 1.1.2余弦定理(1) 一、教学内容分析 《余弦定理》第一课时。通过利用平面几何法,坐标法(两点的距离公式),向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，正确理解余弦定理的结构特征，初步体会余弦定理解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，理解余弦定理是勾股定理的特例,从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，培养学生思维的广阔性。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了两点间的距离公式,三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用多种方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。 三、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会多种方法特别是向量方法推导余弦定理的思想；通过例题运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；理解余弦定理是勾股定理的特例，理解余弦定理的本质。 四、教学重点与难点 教学重点：余弦定理的证明过程特别是向量法与坐标法及定理的应用； 教学难点：用正弦定理推导余弦定理的方法 五、教学过程： 1.知识回顾 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ (1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角(AAS,ASA)； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的一边和另外两角(SSA)。 2.提出问题 已知三角形两边及其夹角如何求第三边？ (SAS 问题) 在三角形ABC 中,已知边a,b,夹角C, 求边c C c B b A a sin sin sin = = (经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的 定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B (图1．1-3) 二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大） 高中数学必修5正余弦定理教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.三角形的有关性质； 2.正、余弦定理综合运用. (二)能力目标 1.熟练掌握正、余弦定理应用； 2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质； 3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题. (三)德育目标 通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化. ●教学重点 正、余弦定理的综合运用. ●教学难点 1.正、余弦定理与三角形性质的结合； 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系. ●教学方法 启发式 1.启发学生在求解三角形问题时，注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系，从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的； 2.在题设条件不是三角形基本元素时，启发学生利用正、余弦建立方程，通过解方程组达到解三角形目的. ●教具准备 投影仪、幻灯片 第二张：例题1、2(记作§5.9.4 B) Ⅰ.复习回顾 师：上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.4 A). Ⅱ.讲授新课 师：下面，我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B) ［例1］分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的. 解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则 α αααcos sin 222sin 2sin ?+=+=x x x x x 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α② 将①代入②整理得： ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6. 评述： (1)此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程； (2)在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视. ［例2］分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式Ｓ△ABC ＝ 2 1AB ·AC ·sin A ，需求出sin A ，而△ABC 面积可以转化为Ｓ△ADC ＋Ｓ△ADB ，而Ｓ△ADC ＝21AC ·AD sin 2 A ，Ｓ△AD B ＝21AB ·AD ·sin 2A ，因此通过Ｓ△AB C ＝Ｓ△ADC ＋Ｓ△ADB 建立关于含有sin A ，sin 2A 的方程，而 (经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A 正弦定理和余弦定理 一：基础知识理解 1．正弦定理 (1)S ＝1 2ah (h 表示边a 上的高)； (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1 2ab sin C ； (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二：基础知识应用演练 1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3 D.3 2 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π 6，c ＝23， 则b ＝________. 5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：1选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323 2 ×22＝2 3. 2选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1 2 ，又∵0°B ?a >b ?sin A >sin B . (2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个 数 一解 两解 一解 一解 （1）利用正弦、余弦定理解三角形 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 江苏省邳州市第二中学高二数学 《余弦定理》教案 （二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a A c B (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()() 2 22 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 高考数学正弦定理知识点总结 高中数学正弦定理知识点总结一 正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： 1已知三角形的两角与一边，解三角形 2已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 3运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中R为三角形外接圆的半径 正弦定理的变形公式 1 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; 2 sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 3相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC c/sinC=c/sinD=BD=2RR为外接圆半径 4设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA 5a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 高中数学正弦定理知识点总结二 一、正弦定理变形的应用 1.2021山东威海高二期中,4已知△ABC的三个内角之比为AB∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比ab∶c等于 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式
人教版高中数学,正弦定理(一)
高中数学：(一)正弦定理
高一数学余弦定理公式
高一数学正弦定理余弦定理习题及答案
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
高中数学教案必修四：正弦定理
高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿
高中数学《余弦定理》教案
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理
高中数学 2二项式定理(带答案)
高中数学必修5正余弦定理教案
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
高中数学正余弦定理
二项式定理知识点总结
高中数学《余弦定理》教案北师大版必修
高考数学正弦定理知识点总结
余弦定理公式大全
相关主题
文本预览