立体几何知识点
一、空间几何体
1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体
的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.
3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面
体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。
4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得
的棱台叫做正棱台。
正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形
5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做
旋转体的轴，
6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用
到弧长公式R
=
lα
7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)
8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。
（1）.三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；
侧视图（从左向右的正投影）； 俯视图（从上向下正投影）．
例题1.某四棱锥底面为直角梯形，
一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示， 则其体积为 ．
例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，
其中棱PA 垂直于底面，它的三视图正确的是（ ）
（3）.空间几何体的直观图——斜二测画法特点：
①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角；②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变；③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半． 常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22：1．
例．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰
梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ．
2
2
1＋ C ．
2
2
＋2 D ．2＋1
正视
侧视
俯视
1
1
1 2
D
C B
A
俯视图
左视图
俯视图
左视图
左视图
俯视图
左视图
俯视图
正前方
P
D
A
9.特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）：
ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2
1
ch S =
正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2
1
21h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表
()
22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=2
4R π
10.柱体、锥体、台体和球的体积公式：
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13
V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥
''
1()3V S S S S h =++台 ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台
V 球=343R π 例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S (2)64V =……………7分 (3)40242S =+………12分
例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
例5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_____. 练习：
1 ．已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V ( )
A ．π12
B ．π16
C ．π18
D ．π64
2 ．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ ）
A .π32
B .π16
C .π12
D .π8
3 ．某几何体的三视图如图所示,组成的图形,则此几何体的体积是 （ ） A ．
20
π3
B ．
6π C ．
10π3
D ．
16π3
侧（左）视图
4
2 1
俯视图
2
正（主）视图
（第3题图）
24
侧（左）视
正（主）视图 俯视
4
4 ．一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( )
A ．16
B ．13
C ．5
6 D ．1
5．一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体
的体积为( ) A ．4
B ．8
C ．12
D ．24
6．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,
则这个棱柱的体积为 （ ）
俯视图
侧视图
正视图
33
4
A ．123
B ．6
C ．273
D ．363
7．如图是一个几何体的三视图,若它的体积是33,则a=( )
A ．2
B ．
22 C ．3 D ．3
2
8．某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等等腰三角形)根据
图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为 ( ) A ．443+
B ．445+
C ．8
3
D ．12
9．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．32a
B ．3
6
a
C ．312a
D ．
3
18a
10．已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位:cm ),
正视图
2
2
侧视图
2
a a a (左)视图
可得这个几何体的体积是 （ ）
A ．34
3
cm
B ．38
3
cm
C ．32cm
D ．34cm
二、 立体几何点 线 面的位置关系
例1． 如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的 中点，则以下结论中不成立的是( )
A ．1EF B
B 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 1
1与A C 异面
例2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．,,m n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
例3.已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥
α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 练习：
1.设直线m 与平面α相交但不．
垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 2.设a b ，为两条直线,αβ，为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )
A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a α?，b β?，a b ∥，则αβ∥
D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 3.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.
④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．
命题的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是( )
(A) l m l ⊥=?⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=?,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,
(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
5．设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:
① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥,//m α,则m β
⊥
③ 若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ ④若//,m n n α?,则//m α 其中真命题的序号是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①③
6 ．对于平面α和直线,m n ,下列命题中假命题．．．
的个数是（ ） ①若m α⊥,m n ⊥,则//n α;②若//m α,//n α,则//m n ;③若//m α, n α?,则//m n ; ④若//m n ,//n α,则//m α A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A ．若α∥β，l ?α，n ?β，则l ∥n
B ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β
C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m
D ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β
8.知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α∥β，a ?α，b ?β，则a ∥b ④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 其中正确命题的序号有________
1、线线平行的判断：
⑴平行于同一直线的两直线平行。
（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行。
（3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）垂直于同一平面的两直线平行。 2、线面平行的判断：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。
例2、（证明是平行四边形）已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： C 1O ∥面11AB D ；
证明：（1）连结11A C ，设
11111
A C
B D O ?=，连结1AO
∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴?
∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
3、面面平行的判断：
A
E
D 1
C
B 1
D
C
B
A
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
A A 1 P 1一 ：选择题（4分10?题） １.下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( ) A ． 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 Ｄ.一条直线和一个点 2.1l ，2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ). A.12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? ? Ｂ．12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C.233////l l l ?1l ,2l ，3l 共面? ? D.1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3.已知m,ｎ是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是： Ａ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β Ｂ.若,m n αα⊥⊥,则m ∥n C ．若m ∥α,n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β ４.在四面体ABC P -的四个面中,是直角三角形的面至多有（ ) A ．0 个 Ｂ.1个 C. ３个 D .4个 5,下列命题中错误．．的是?? A ．如果平面αβ⊥平面,那么平面α内一定存在直线平行于平面β ?Ｂ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面,平面βγ⊥平面,l =βα ，那么l γ⊥平面 ?Ｄ.如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ６.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是( ） A. 11//D CB BD 平面 B ． BD AC ⊥1 C ． 111 D CB AC 平面⊥ D ． 异面直线1CB AD 与角为? 60 ７.已知圆锥的全面积是底面积的３倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ） Ａ. ?120 Ｂ. ?150 Ｃ. ?180 D ． ? 240 8.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列命题正确的是( ) A. BC AB ⊥ B ． BD AC ⊥ C ． ABC CD 平面⊥ D ． ACD ABC 平面平面⊥ 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) .A 180 .B 200 .C 220 .D 240 左视图
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式： 圆柱的表面积公式：rl r S ππ222 +=，圆锥的表面积公式：rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ，球的表面积公式：24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2，球的体积公式：33 4r V π= 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列四个几何体中，是棱台的为( ) 2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( ) 3．给出下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( ) A ．96 B ．136 C ．152 D ．192 5．若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ?α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ?α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．10π＋96 B ．9π＋96 C ．8π＋96 D ．9π＋80 8．m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4
高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++ =)3 1 下下 上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 D C B A α L A · α 222r rl S ππ+=
高中空间立体几何典型 例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN. 又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ， 故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD. 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B B G B A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B B G B B C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3 21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.
立体几何单元测试 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下面四个命题： ①分别在两个平面内的两直线是异面直线； ②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( ) A．①②B．②④ C．①③ D．②③ 答案：B 2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A．平行B．相交 C．平行或相交D．不相交 解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B. 答案：B 3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是( ) A．1个B．3个 C．1个或3个D．1个或3个或4个 解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与l 异面时，可确定3个平面；当A、B、C三点不共线时，可确定4个平面．答案：D 4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( ) A．三条交线为异面直线 B．三条交线两两平行 C．三条交线交于一点 D．三条交线两两平行或交于一点 答案：D 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( )
A．5 B．8 C．10 D．6 解析：这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个． 答案：B 6．下列命题正确的有( ) ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线． ②若三条平行线a、b、c都与直线l相交，则这四条直线共面． ③三条直线两两相交，则这三条直线共面． A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：易知①与②正确，③不正确． 答案：C 7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P?l，则下列命题中的假命题是( ) A．过点P且垂直于α的直线平行于β B．过点P且垂直于l的直线在α内 C．过点P且垂直于β的直线在α内 D．过点P且垂直于l的平面垂直于β 答案：B 8．如右图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( ) A．与AC、MN均垂直相交 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与MN垂直，与AC不垂直 D．与AC、MN均不垂直
必修二立体几何初步知识点整理 一、基础知识（理解去记） （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共 点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①????????→??????? →???? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 补充知识点 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】2 22211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角 分别是αβγ，，， 那么2 2 2 cos cos cos 1αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则 222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1、下列命题为真命题的是（ ） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（ ） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’ 与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5.在空间中，下列命题正确的是 A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面 B.若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m C.若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β D.若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥ 6．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝（ ） A ．3 B ．9 C ．18 D ．10 7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π A B D A ’ B ’ D ’ C C ’
人教版高中数学必修一教学讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题《立体几何初步》全章复习 课型□预习课□同步课■复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 《立体几何初步》全章复习 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一：空间几何体的结构与特征 本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体． 柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形． 空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：
【典型例题】 类型一：空间几何体的三视图 例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD 平面PEG 【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等． （2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果． 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
立体几何坐标解法典型例题 1、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 2、如图，在Rt AOB △中， π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． A B C D
3．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值； (2)求点B 1到平面AEF 的距离． 4.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =o ∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． D B C A S
5．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]： ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×） ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. [注]： ①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×） ②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×） ③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×） ⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×） [注]： ①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ
《立体几何初步》练习题 一、 选择题 １、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ） A 、垂直 B 、平行 Ｃ、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ) A. BD Ｂ． CD C. BC Ｄ. 1CC ３、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) Ａ．βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D ．βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； Ｂ．直线a//α，a//β C.直线a α?,直线b β?,且a/／β,b ／/α D.α内的任何直线都与β平行 ５、设ｍ、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α，则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A ．①和②? B.②和③? C.③和④ D.①和④ 6.点Ｐ为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC,垂足为O ，若PA=PB=PC, 则点O 是ΔＡBC 的( ） Ａ．内心 B.外心 Ｃ．重心 D ．垂心 ７． 若l 、ｍ、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ )
A ．若//,,l n αβαβ??,则//l n Ｂ.若,l αβα⊥?,则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥,则//l m ８. 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面． Ａ.3 B ．2 C ．１ Ｄ.０ 9．(２013浙江卷)设m.ｎ是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, ( ) A.若m ∥α,n ∥α，则m ∥ｎ?Ｂ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C.若m ∥ｎ，m ⊥α,则n ⊥α D ．若m ∥α,α⊥β，则ｍ⊥β 10.(２01３广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是?（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C.若l α⊥,//l β,则//αβ D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 二、填空题 11、在棱长为2的正方体ABCD —Ａ1B 1Ｃ1D 1中,E ，F 分别是棱ＡB,ＢC 中点，则三棱锥B —B 1E Ｆ的体积为 . １2．对于空间四边形ABCD ，给出下列四个命题：①若ＡＢ=ＡC,BD=ＣD 则ＢＣ⊥AD;②若AB=ＣＤ,ＡC=BD 则BC ⊥AD;③若AB ⊥AC,B Ｄ⊥CD 则B Ｃ⊥AD;④若A Ｂ⊥ＣD, ＢD ⊥AC 则B Ｃ⊥AD;其中真命题序号是 ． 13. 已知直线ｂ/／平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . １4. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=? 90，ＰA ⊥平面AB Ｃ, A B C P
1 2013年高一数学必修二立体几何测试题 一：选择题（4分10 ?题） 1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（） A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2． 1 l， 2 l， 3 l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()． A． 12 l l ⊥， 23 l l ⊥ 13 // l l ?B． 12 l l ⊥， 23 // l l? 13 l l ⊥ C． 233 //// l l l? 1 l， 2 l， 3 l共面D． 1 l， 2 l， 3 l共点? 1 l， 2 l， 3 l共面3．已知m，n是两条不同的直线，,, αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是：A．若, αγβγ ⊥⊥，则α∥β B．若, m n αα ⊥⊥，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β 4.在四面体ABC P-的四个面中，是直角三角形的面至多有（） A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误 ．．的是 A．如果平面αβ ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面αγ ⊥平面，平面βγ ⊥平面，l= β α ，那么lγ ⊥平面D．如果平面αβ ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体 1 AC,下面结论错误的是（） A. 1 1 //D CB BD平面 B. BD AC⊥ 1 C. 1 1 1 D CB AC平面 ⊥ D. 异面直线 1 CB AD与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（） A. ? 120 B. ? 150 C. ? 180 D. ? 240
一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就 和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
高中数学必修2 空间几何体知识点总结 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E ABCDE-或用对角线的端点字母，如 B A C D 五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E A P- C B D 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E B P- A D C 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的
1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1 / ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC (n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比? 2?如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是 1 PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB , 2 PH PAD 中AD 边上的高? (1) 证明：PH 平面ABCD ; (2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB . 3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱 BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的 中点. 求证：(i )平面ADE 平面BCGB,； (2)直线AF 〃平面ADE . 棱锥E BCF 的体积 ; 妥5小
4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角 形，/ APD=90 面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为 PC和BD的中点. (1) 证明：EF//面PAD ; (2) 证明：面PDC丄面PAD ; (3) 求四棱锥P—ABCD的体积. 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、 PC 的中点，且AD PD 2MA. (I)求证：平面EFG 平面PDC ; (II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,