高二年级数学上学期期末考试试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．椭圆2
212
x y +=的离心率是 （ ）
A.
2 C. 1
2
D. 2 2． 11,22,5,2则24是该数列中的 （ ） A 第9项 B 第10 项 C 第11项 D 第12项 3．在ABC ?中, 30,45, 2.A B BC ∠=?∠=?=则AC 边长为 ( )
C. 34. 过抛物线y=x 2上的点M （
21，4
1
）的切线的倾斜角是 （ ） A ?30 B ?45 C ?60 D ?90
5.设()f x 在[],a b 上的图象是一条连续不间断的曲线，且在(),a b 内可导， 则下列结论中正确的是 （ ） A. ()f x 的极值点一定是最值点 B. ()f x 的最值点一定是极值点 C. ()f x 在此区间上可能没有极值点 D. ()f x 在此区间上可能没有最值点
6.集合{}
2|230A x x x =--<,{}
2|B x x p =<,若A B ?则实数P 的取值范围是（ ） A. 13p p ≤-≥或 B. 3p ≥ C. 9p ≥ D. 9p > 7.已知数列{}n a ,如果121321,,,
,,
n n a a a a a a a ----(2n ≥)是首项为1公比为1
3
的等比数
列，那么n a 等于 （ ） A. 31(1)23n -
B. 131(1)23n --
C. 21(1)33n -
D. 121(1)33
n --
8.已知椭圆222
2135x y m n +=和双曲线22
22123x y m n
-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 （ ）
A. 2x y =±
B. 2y x =±
C. 4x y =±
D. 4
y x =± 9.已知函数()()32,,0f x ax bx x a b R ab =++∈≠的图象如图所示 （12,x x 为两个极值点），且12x x >则有
）
A. 0,0a b >>
B. 0,0a b <<
C. 0,0a b <>
D. 0,0a b ><
10.已知直线y=kx-k 及抛物线22y x =，则 （ ） A.直线与抛物线有且只有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
11在椭圆
120
402
2=+y x 上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 （ ） A 4个 B 6个 C 8个 D 2个
12．已知梯形的两底的长度分别为(),a b a b <。将梯形的两腰各分为n 等份，连结两腰对应的分点，得到n-1条线段的长度之和为 （ ）
A. ()2
n a b + B. ()()12n a b ++ C. ()()12n a b -+ D. ()n a b +
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.数列｛n a ｝为等差数列，58115,n a a a ===且，则
14.已知x,y 满足条件040328x y x y ≤≤??
≤≤??+≤?
则z=2x+5y 的最大值为
15.函数24
(1)1
x x y x x -+=
>-的最小值是 . 16. 给出下列三个命题
(1)设()f x 是定义在R 上的可导函数.()/00f x =是0x 为()f x 极值点的 必要不充分条件
(2)双曲线22
2
2
1124x y m m -=+-的焦距与m 有关 （3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。 其中正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, a=7， b=3， c=5，
（1）求△ABC 中的最大角； （2）求角C 的正弦值。
18．（本小题满分12分）要建一间地面面积为25m 2，墙高为3m 的长方体形的简易工棚，已知工棚屋顶每1m 2的造价为500元，墙壁每1m 2 的造价为400元。问怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？
19．（本小题满分12分）定义在R 上的函数?(x )=3x +a 2x +b x (a ,b 为常数)，在x =－1处取得极值，?(x )的图象在P （1， ?(1)）处的切线平行直线y ＝8x ， （1） 求函数?(x )解析式； （2） 求函数?(x )极值。
20．（本小题满分12分）数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，a 1＝1，121+=+n n S a （n ≥1）. （1） 求｛n a ｝的通项公式；
（2） 等差数列｛n b ｝的各项为正数，其前n 项和为n T ，且3T ＝15，又a 1+b 1，2a +2b ，
3a +3b 成等比数列，求 n T
21．（本小题满分12分）已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线
y l ：＝2-的距离小1.
（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点P （2，2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，设PB AP λ=. （i ）当λ＝1时，求直线m 的方程；
（ii ）当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值. 22．（本小题满分14分）
已知函数()x a x x f ln 2-=在(]2,1是增函数，()x a x x g -=在（0，1）为减函数。 （1）求()()x g x f 、的表达式；
（2）当b ＞1-时，若对于任意的x ∈（0，1 ]，都有)(x f ≥21
2bt t
-
在t ∈（0，1 ]上恒成立，求b 的取值范围.
文科答案
一、1A 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 C 二 13、21-2n 14、19 15、5 16、（1）（3）
17. 22201
(1)cos 12022
b c a A A bc +-=
=-∴= ............6分
sin (2)sin 5A C c a =
?== ............12分 18、解 设地面的长为x ，则宽为
25
x
，总造价为y ，y=25
255002(33)400x x
?++?
? ............6分 25
255002(33)400255006400x x
?++?
?≥?+??36500 ............10分
当且仅当x=
25
x
时取等，即长、宽相等都为5m 时总造价最低为36500元 ............12分 解：
19、（1）由题设知??
?==????=++=+-???
?==-.
1,
2823,0238)1`(,0)1`(b a b a b a f f ∴?(x )＝x 3+2x 2+x ， ............6分
(2)143)`(2++=x x x f ，
令1,3
1
,0)`(21-=-==x x x f 解得， ............8分 当x 变化时，?(x ))`(x f 的变化情况如下表：
∴?(x )的极大值为?（-1）＝0，极小值为?（3-）＝27
- ........12分
20、
（1） 由121+=+n n S a （n ≥1）可得121+=-n n S a （n ≥2）,两式相减得a n+1－a n =2a n ，
)2(31≥=∴+n a a n n .
又a 2＝2S 1+1=3,123a a =∴，故｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，
13-=∴n n a . ............6分
（2）设｛b n ｝的公差为d ，由T 3＝15可得b 1+b 2+b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，
b 3＝5+d .
又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得（5－d +1）（5+d +9）＝（5+3）2，解得d 1＝2，d 2＝－10.
等差数列｛b n ｝的各项为正，∴d ＝2，n n n n n T n 222
)
1(32+=?-+
=∴. ............12分
21、解: （1）解法一
设.12)1(,12y MF ),,(22-+=-+-+y y x y x M 即 ＝则由题意得 当y ≥-2时；y x y y x 4,1)1(222=+=-+两边平方得； 当y ＜-2时，3)1(22--=-+y y x
两边平方得882+=y x ，因y ＜-2，不合题意，舍去.
故点M 的轨迹C 的方程是：y x 42=. ............4分 解法二 ∵点M 到点F （0，1）的距离比它到直线y l ：＝-2的距离小1.
∴点M 在直线l 的上方. ∴点M 到F （0，1）的距离与它到直线y l ：'＝-1的距离相等. ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点'l 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y x 42=. （2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，
当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为)22()2(2k kx y x k y -+=-=-，即. 代入 y x 42=得，
.0)1(842=-+-k kx x ①
)22(162+-=?k x ＞0对k ∈R 恒成立.
∴直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点。
设交点A ，B 的坐标分别为A （11,y x ）B （22,y x ），则k x x 421=+. )1(821-=k x x . （i ）由PB AP λ=，且λ＝1得，P 为AB 的中点，
∴421=+x x .把②代入得，1,44==k k .∴直线m 的方程是0=-y x . ............6分 （ii ）221221)()(y y x x AB -+-=＝
)22)(1(4]4))[(1(22212212+-+=-++k k k x x x x k .
点O 到直线m 的距离2
122k
k d +-=
.
ABO S ? =
AB 2
1
·22142+--=k k k d =24)1()1(4-+-k k ∵ABO S ?=24
∴02)1()1(,24)1()1(42424=--+-=-+-k k k k 即. （2)1(1)122-=-=-k k 或（无实根） 由201)1(2===-k k k 或解得， 1°当k ＝0时，方程①的解为22±=x . 当1x ＝2232
222,2221
2-=---=x x x ＝
时，λ； 当2232
2,22,2221
21+=--=
=-=x x x x λ. ...........10分 2°当k ＝2时，方程①的解为224±，
同理可得，223223-+=＝或λλ. ............12分 22、（1）∵x
a
x x f -
=2)(' ，依题意)('x f ＞x (0∈（1，2]）, ∴a ＜22x ， ∴a ≤2. ............2分 又∵x
a x g 21)('-
=，依题意)('x g ＜0（x ∈（0，1）），∴a ＞x 2，
∴a ≥2. ............4分
∴a =2
，∴2
()2ln ,()f x x x g x x =-=- ............6分
（2）∵x
x x x x x f )1)(1(222)('
-+=-
=， ∴当x ∈（0，1］时)(x f 为减函数，其最小值为1. ............8分
令'23
1222y bt y b t t =-
=+，则 . ∵b ＞-1，t ∈（0，1］，∴'y ＞0在（0，1］恒成立.
∴函数21
2y bt t
=-
，在t ∈（0，1］为增函数，其最大值为2b-1，依题意 ??
?≤-->1
121
b b ，解得-1＜b ≤1为所求范围. ............14分