(时间:40分钟 满分:60分)
1.已知点A 在变换T :??????x y →??????x ′y ′=????
?
?x +2y y 作用后,再绕原点逆时针旋转90°
,得到点B .若点B 的坐标为(-3,4),求点A 的坐标.
解 ??????0 -11 0 ??
????1 20 1=????
??0 -11 2. 设A (a ,b ),则由??????0 -11 2 ??????a b =??????
-3 4,得???
??
-b =-3,a +2b =4. 所以?
????
a =-2,
b =3,即A (-2,3).
2.(2011·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下,点A (1,2)变成了点A ′(7,10),点B (2,0)变成了点B ′(2,4),求矩阵M . 解 设M =????
??
a
b c
d ,
则??
????a b c d ??????12=??????710,??????a b c
d ??????20=????
??24, 即????? a +2b =7,c +2d =10,2a =2,2c =4,
解得?????
a =1,
b =3,
c =2,
d =4.
所以M =??
??
??1 32
4.
3.(2011·南京模拟)求曲线C :xy =1在矩阵M =??
??
?? 1
1-1
1对应的变换作用下得到的曲线C 1
的方程.
解 设P (x 0,y 0)为曲线C :xy =1上的任意一点,
它在矩阵M =??
??
??
1
1-1
1对应的变换作用下得到点Q (x ,y ). 由??
???? 1 1-1
1 ??????x 0y 0=?????
?x y ,得?????
x 0+y 0=x ,-x 0+y 0
=y . 解得???
x 0
=x -y
2
,y 0
=x +y
2.
因为P (x 0,y 0)在曲线C :xy =1上,所以x 0y 0=1. 所以x -y 2×x +y 2=1,即x 2-y 2=4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2-y 2=4.
4.已知矩阵M =??
??
??1 22
x 的一个特征值为3,求其另一个特征值.
解 矩阵M 的特征多项式为
f (λ)=????
??λ-1 -2-2 λ-x =(λ-1)(λ-x )-4.
因为λ1=3为方程f (λ)=0的一根,所以x =1, 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得λ2=-1, 所以矩阵M 的另一个特征值为-1. 5.求矩阵??
??
??2 11
2的特征值及对应的特征向量.
解 特征多项式f (λ)=????
??
λ-2 -1 -1 λ-2=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3.
由f (λ)=0,解得λ1=1,λ2=3.
将λ1=1代入特征方程组,得?
????
-x -y =0,
-x -y =0?x +y =0,
可取??
??
??
1-1为属于特征值λ1=1的一个特征向量. 同理,当λ2=3时,由?
????
x -y =0,-x +y =0?x -y =0,所以可取??????11为属于特征值λ2=3的一个特征
向量.
综上所述,矩阵??
????
2
11 2有两个特征值λ1=1,λ2=3;属于λ1=1的一个特征向量为????
??
1-1,属于λ2=3的一个特征向量为????
??11.
6.在平面直角坐标系xOy 中,直线x +y +2=0在矩阵M =????
??1
a b
4对应的变换作用下得到直
线m :x -y -4=0,求实数a ,b 的值.
解 法一 在直线l :x +y +2=0上取两点A (-2,0),B (0,-2). A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为??
????1 a b
4 ??????-2 0=????
?? -2 -2b , 所以点A ′的坐标为(-2,-2b );
??????1 a b
4 ?????? 0-2=????
??-2a -8,所以点B ′的坐标为(-2a ,-8). 由题意,点A ′、B ′在直线m :x -y -4=0上,
所以?
????
-2 --2b -4=0,-2a --8 -4=0.
解得a =2,b =3.
法二 设P (x ,y )为直线x +y +2=0上的任意一点,它在矩阵M =????
??1
a b
4对应的变换作用下
得到点Q (x ′,y ′), 则??
????1 a b 4??
??x
y =???
?x ′y ′, 得?????
x +ay =x ′,
bx +4y =y ′,解得?
????
x =-4x ′+ay ′,
y =
bx ′-y ′ab -4
.
因此-4x ′+ay ′ab -4+bx ′-y ′ab -4+2=0,
即(b -4)x ′+(a -1)y ′+(2ab -8)=0.
因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m :x -y -4=0.所以b -41=a -1-1=2ab -8-4.
解得a =2,b =3.