概率论与数理统计习(第四版)题解答
第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
一、任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”,事件B 表示“出现的点数能被3整除”.
(1)写出试验的样本点及样本空间;
(2)把事件A 及B 分别表示为样本点的集合; (3)事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件?并把它们表示为样本点的
集合.
解:设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ,则
(1)样本点为654321,,,,,ωωωωωω;样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω (2)},,{642ωωωA =; }.,{63ωωB =
(3)},,{531ωωωA =,表示“出现奇数点”;},,,{5421ωωωωB =,表示“出现的点数不能被3整除”;},,,{6432ωωωωB A =?,表示“出现的点数能被2或3整除”;}{6ωAB =,表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”;},{B A 51ωω= ,表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”
二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点:
(1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和.A —“点数之和大于10”,B —“点
数之和小于15”.
(2)一盒中有5只外形相同的电子元件,分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取3
只,A —“最小号码为1”.
解:(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ,则
},,,{1843ωωω =Ω;
},,,{181211ωωωA =;}.,,,{1443ωωωB =
(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ,则
},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =
三、设C B A ,,为三个事件,用事件之间的运算表示下列事件: (1) A 发生, B 与C 都不发生; (2) C B A ,,都发生;
(3) C B A ,,中至少有两个发生; (4) C B A ,,中至多有两个发生.
解:(1) C B A ;
(2) ABC ;
(3) ABC C AB C B A BC A ???或CA BC AB ??
(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ??????或C B A ??或.
ABC
四、一个工人生产了n 个零件,以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品(n i ≤≤1).用i A 表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅有一个零件是不合格品; (4)至少有一个零件不是不合格品. 解:(1) n A A A 21;
(2) n A A A 21或n A A A ??? 21; (3) n n n A A A A A A A A A 212121??? (4) n A A A ??? 21或.21n A A A
第二章 概率的古典定义·概率加法定理
一、电话号码由七个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数(但第一个数字不能为0),求电话号码是由完全不同的数字组成的概率.
解:基本事件总数为611011011011011011019
109?=C C C C C C C 有利事件总数为45678921
4151617181919
?????=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”,则
0605.010
94
56789)(6
2≈??????=A P 二、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.
解:基本事件总数为!1010
10
=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77
7
=A 种;这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共81
8
=C 种;这三本书的排列顺序数为!333=A ;故有利事件总数为!3!8!38!7?=??(亦可理解为)3388P P
设A 表示“指定的三本书放在一起”,则
067.015
1
!10!3!8)(≈=?=A P
三、为了减少比赛场次,把二十个队任意分成两组(每组十队)进行比赛,求最强的两个
队被分在不同组内的概率.
解:20个队任意分成两组(每组10队)的所以排法,构成基本事件总数10
20C ;两个最强的
队不被分在一组的所有排法,构成有利事件总数9
1812
C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”,则
526.01910
)(10
20
9
1812≈==C C C A P
四、某工厂生产的产品共有100个,其中有5个次品.从这批产品中任取一半来检查,求发
现次品不多于1个的概率.
解:设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ,A 表示“取出的产品中次品不多
于 1个”,则 .10A A A ?=因为V A A =10,所以).()()(10A P A P A P +=而
0281.09799423
47)(5010050950≈???==C C A P 1529.09799447255)(50
100
49
95151≈????==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P
五、一批产品共有200件, 其中有6件废品.求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解:设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”;B 表示“取出的3件产品中没有废品”;
C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”
,则 (1) 0855.0198199200193
19418)(3
2002
19416≈????==C C C A P (2) 912.0198
199200192
193194)(32003
194≈????==C C B P
(3) 00223.0198199200120
19490)(3
200
019436119426≈????=+=C C C C C C P
六、设4
1
)( ,0 ,3
1)()()(=
=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P .求A , B , C 至少有一事件发生的 概率.
解:因为0==P(AC)P(AB),所以V AC V AB ==,,从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P
设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”,则C B A D ??=,于是有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??= 75.043
41313131==-++=
第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P . 解:因为B A AB B B A A +=+=)(,所以)()()(B A P AB P A P +=,即
14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=?--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P
68.074.05
.036.0)4.01(5.05.0)
()()()()()]([)|(≈=--+=-+==
B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P
二、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 解:设A 表示“第一次拨通”,B 表示“第二次拨通”,C 表示“拨号不超过两次而拨通”
(1)2.010
1
101)()()(19111101911011=+=?+=+=C C C C C C A B P A P C P
(2)4.051
51)()()(25
11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P
三、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是
0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍.
(1)求任意取出的零件是合格品的概率;
(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率. 解:设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ;B 表示“出现废品”;C 表示“出现合
格品”
(1))()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(3
1
)03.01(32≈-?+-?=
(2)25.002.03
103.032
02.031
)()()()()()()()()(22112222=?+??=+==
A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P
四、猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人三次之内击中动物的概率.
解:设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ,则由题设,有100
6.0)(1k
A P ==,得60=k ,从
而有
4.015060150)(2===k A P ,.3.0200
60
200)(3===k A P
设A 表示“三次之内击中”,则321211A A A A A A A ++=,故有
)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=
832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=?-?-+?-+= (另解)设B 表示“猎人三次均未击中”,则
168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P
故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P
五、盒中放有12个乒乓球,其中有9个是新的.第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的都是新球的概率. 解:设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ,则
2201)(312330==C C A P 22027
)(31219231==C C C A P 220108)(3
12
29132==C C C A P 22084
)(3
12
39033==C C C A P
设B 表示“第二次取出的都是新球”,则
3123
6
3123731238312393
22084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ?+?+?+?==∑=
146.0532400
77616
1112208444722010855142202755212201≈=?+?+?+?=
第四章 随机事件的独立性·独立试验序列
一、一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人照管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率. 解:设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ,则
9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P
再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则
321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=
于是有
)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-??+?-?+??-+??=
902.0=.
(另解)设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ,B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则10B B B +=且0B 、1B 互斥,另外有 504.07.08.09.0)(0=??=B P
398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-??+?-?+??-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P .
二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成.设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、
0.2、0.2,求电路发生间断的概率. 解:设1A 表示“a 损坏”;2A 表示“b 损坏”;3A 表示“c 损坏”;则
3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”,则
321A A A B += 于是有
)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=
)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=
328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=.
三、三个人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为51、31、4
1
,求能将此密码
译出的概率.
解:设A 表示“甲能译出”;B 表示“乙能译出”;C 表示“丙能译出”,则
51)(=A P 31)(=B P 4
1
)(=C P
设D 表示“此密码能被译出”,则C B A D ??=,从而有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=
)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.04
1
3151415141513151413151=??+?-?-?-++=. (另解)52
)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ,从而有
6.05
3
521)(1)(==-=-=D P D P
四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0.飞机被一
人击中而被击落的概率为2.0,被两人击中而被击落的概率为6.0,若三人都击中,则 飞机必被击落.求飞机被击落的概率. 解:设1A 表示“甲命中”;2A 表示“乙命中”;3A 表示“丙命中”;则
4.0)(1=A P
5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ,则
09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=
)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=
)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=
14.07.05.04.0)()()()()(3213213=??===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”,则由题设有
0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P
故有
458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3
0=?+?+?+?==∑=i i i B A P B P A P .
五、某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7,现在
该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见,并按多数人意见作出决策,求作 出正确决策的概率.
解:设i A 表示“第i 人贡献正确意见”,则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i .
又设m 为作出正确意见的人数,A 表示“作出正确决策”,则 )
9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=
+??+??+??=277936694559
)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(?+??+C C
+??+??+??=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126
918)7.0()3.0()7.0(9+??+
0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=.
六、每次试验中事件A 发生的概率为p ,为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p ,问至少需要进行多少次试验? 解:设做n 次试验,则
n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次
要p p n ≥--)1(1,即要p p n -≤-1)1(,从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答:至少需要进行一次试验.
第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再
放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布. 解:设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则X 的概率分布为
即
亦即
二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .生产过程中出现废品时立即进行调整.求在两次调整之
间生产的合格品数的概率分布.
解:设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”,且设p q -=1,则ξ的概率分布为
三、已知一批产品共20个,其中有4个次品.
(1)不放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布; (2)放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布.
解:(1)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为
)4,3,2,0()(6
20
616
4===-x C C C x X P x
x
从而X 的概率分布为
即
(2)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为
)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x
x x
从而X
即
四、电话总机为300个电话用户服务.在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,求在一小时内
有4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差). 解:(1)用二项分布计算)01.0(=p
168877.0)01.01()01.0()1()4(29644
30029644300≈-=-==C p p C ξP
(2)用泊松分布计算)301.0300(=?==np λ
168031355.0!
43)4(3
4≈==-e ξP
相对误差为.5168877
.0168031355
.0168877.0000≈-=
δ
五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生次数不少于3次时,指示灯发出信号.现进行
了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率. 解:设X 表示“事件A 发生的次数”,则3.0)(==p A P ,5=n ,).3.0,5(~B X 于是有
)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P
5
554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=
16308.000243.002835.01323.0≈++≈
(另解) )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P
3
22541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=
16308.0≈
六、设随机变量X 的概率分布为
2, 1, ,0 , !
)(===k k a
k X P k
λ;
其中λ>0为常数,试确定常数a .
解:因为∑∞
===0
1)(k k X P ,即∑∞
==01!k k
k λa ,亦即1=λae ,所以.λe a -=
第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、函数
2
11
x
+可否是连续随机变量X 的分布函数?为什么?如果X 的可能值充满区间: (1)(∞+∞- ,);(2)(0,∞-).
解:(1)设2
11
)(x x F +=
,则1)(0< 因为0)(lim =-∞ →x F x ,0)(lim =+∞ →x F x ,所以)(x F 不能是X 的分布函数. (2)设2 11 )(x x F += ,则1)(0< 因为)0( 0) 1(2)('2 2<>+-=x x x x F ,所以)(x F 在(0,∞-)上单增. 综上述,故)(x F 可作为X 的分布函数. 二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度?为什么?如果X 的可能值充满区间: (1)??????2,0π; (2)[]π,0; (3)?? ? ???23,0π. 解:(1)因为??????∈2,0πx ,所以0sin )(≥=x x f ;又因为1cos )(2020=-=?π π x dx x f ,所以当?? ????∈2,0πx 时,函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度. (2)因为[]πx ,0∈,所以0sin )(≥=x x f ;但 12cos )(0 0≠=-=? π π x dx x f ,所以当[]πx ,0∈ 时,函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度. (3)因为?? ? ???∈23, 0πx ,所以x x f sin )(=不是非负函数,从而它不可能是随机变量X 的概率密度. 二、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再 放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数,并作出分布函数的图形. 解:设X 表示“取出的废品数”,则X 的分布律为 于是, ????? ????>≤<≤<≤<≤=3, 132,22021921,222110,430, 0)(x x x x x x F 其图形见右: 四、(柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(. 求:(1)系数A 及B ;(2)随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率;(3) X 的概率密度. 解:(1) 由0)2()(lim =-?+=-∞→πB A x F x ,12 )(lim =?+=-∞→πB A x F x ,解得.1 ,21πB A == 即)( ,arctan 1 21)(+∞<<-∞+=x x π x F . (2) .2 1 )]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P (3) X 的概率密度为 ) 1(1 )()(2 x x F x f +='=π. 五、(拉普拉斯分布)设随机变量X 的概率密度为 +∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(. 求:(1)系数A ;(2)随机变量X 落在区间)1,0(内的概率;(3)随机变量X 的分布函数. 解:(1) 由1)(?+∞∞-=dx x f ,得1220??+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae x x ,解得2 1=A ,即有 ).( ,2 1)(+∞<<-∞=-x e x f x (2) ).11(21)(2121)()10(1 01010e e dx e dx x f X P x x -=-===<<--?? (3) 随机变量X 的分布函数为 ?????>-≤===-∞--∞-??0 2 1102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x x x x . 第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布 一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间 不超过3分钟的概率. 解:设随机变量X 表示“乘客的候车时间”,则X 服从]5,0[上的均匀分布,其密度函数为 ?? ??∈=]5,0[,0] 5,0[,51)(x x x f 于是有.6.05 3 )()30(3 === ≤≤? dx x f X P 二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布,概率密度为 ?????≤>=-.0, 0;0,8001)(800x x e x f x 任取3个这种电子元件,求至少有1个能使用1000h 以上的概率. 解:设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”;321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”.则 287.0800 1)1000()()()(45 10008001000800321≈=-==>===-∞ +-∞ +-?e e dx e X P A P A P A P x x )()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??= 638.0287.0287.03287.033 2 ≈+?-?= (另解)设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”.则 287.0800 1)1000(4 51000 800 1000800 ≈=-==>- ∞+-∞ +-?e e dx e X P x x 从而有713.01)1000(1)1000(4 5≈-=>-=≤- e X P X P ,进一步有 638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P 三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe .证明:对于任意非负实数s 及t ,有 ).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥ 这个性质叫做指数分布的无记忆性. (2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(.e .某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上 的概率. 解:(1)因为)(~λe X ,所以R x ∈?,有x e x F λ--=1)(,其中)(x F 为X 的分布函数. 设t s X A +≥=,t X B ≥=.因为s 及t 都是非负实数,所以B A ?,从而A AB =.根据条件概率公式,我们有 ) (1) (1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥=== =≥+≥ t s t s e e e λλλ--+-=----=] 1[1]1[1)(. 另一方面,我们有 t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(. 综上所述,故有 )()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥. (2)由题设,知X 的概率密度为 ???≤>=-., ;,0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年,则根据上述证明的(1)的结论,该电视机还能使用5 年以上的概率为 6065.01.0)()5()5(5.05 1.05 1.05 ≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+? ? e e dx e dx x f X P s X s X P x x . 答:该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0. 四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ,求下列随机变量函数的概率分布: (1)X Y 211-=;(2)2 ) 3(2X X Y -= . 解:X 的分布律为 (1)X Y 211-=的分布律为 (2)2) 3(2X X Y -= 的分布律为 即 五、设随机变量X 的概率密度为 ??? ?? ≤>+=.0, 0;0,)1(2)(2x x x x f π 求随机变量函数X Y ln =的概率密度. 解:因为)()()(ln )()(y X y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为 )( ) 1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y y y y y y X Y Y π,即 )( ) 1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y y Y π. 第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布 一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次.设随机变量X 表示第一次出现的点数,随机变量Y 表示 两次出现点数的最大值,求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布. 解:二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y 的边缘概率分布为 二、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数 )3 arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++=. 求:(1)系数A 、B 及C ;(2)(X ,Y )的联合概率密度:(3)边缘分布函数及边缘概率密度. 解:(1)由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ,得 ??? ? ? ????=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==,.12 πA = (2)因为)3arctan 2)(2arctan 2 (1),(2y x y x F ++=πππ,所以(X ,Y )的联合概率密度为 .) 9)(4(6),(),(2 22" y x y x F y x f xy ++==π (3)X 及Y 的边缘分布函数分别为 x x x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???2 arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121x π+= y x y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???3 arctan 1)9(3),()(2ππ 3 arctan 121y π+= X 及Y 的边缘概率密度分别为 ?? ? +∞+∞ ∞-+∞ ∞ -++?=++==0222222)9(1 )4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ ) 4(2 )3arctan 3 1()4(112 20 22 x y x += +? = ∞ +ππ ?? ? +∞+∞ ∞-+∞ ∞-++=++==022222241 )9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ ) 9(3)2arctan 21()9(122 022y x y +=+=∞+ππ 三、设),(Y X 的联合概率密度为 ? ? ?>>=+-., 00; 0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求:(1)系数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数;(3)X 及Y 的边缘概率密度;(4)),(Y X 落在区域R :632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率. 解:(1)由 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dy dx y x f ,有16 1 32== ??∞ +∞ +--A dy e dx e A y x ,解得.6=A (2)),(Y X 的联合分布函数为 ?????>>==????--∞-∞ -其它0 ,06),(),(00 32y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x y ?? ?>>--=--其它0 ,0)1)(1(32y x e e y x (3)X 及Y 的边缘概率密度分别为 ???≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000200 06),()(2032x x e x x dy e e dy y x f x f x y x X ???≤>=?????≤>== -+∞ --∞ +∞ -?? 300 06),()(30 32y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y (4)? ??? ---== ∈x y x R dy e dx e dxdy y x f R Y X P 3220 33 26),(}),{( 630 6271)(2---?-=-=e dx e e x 四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2 x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布.求: (1) ),(Y X 的联合概率密度;(2) 概率)2(≥+Y X P . 解:(1) 设),(Y X 的联合概率密度为 ?? ??∈=. ),(, 0; ),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(2132212 2212==-+=-+==--+-?????C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R 解得9 2 =C .故有 ??????∈=. ),(, 0; ),(,9 2 ),(R y x R y x y x f (2) ??????++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22 1 22102 29292),()2( ??-++= 212 10)2(92292dx x x xdx 481.027 13 )322(92922132102≈=-+ +=x x x x . 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布 一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,X 在]1,0[上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ??? ??≤>=-.0, 0;0,21)(2y y e y f y Y 求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥. 解: (1)X 的概率密度为? ???∈=)1,0(,0) 1,0(,1)(x x x f X ,),(Y X 的联合概率密度为(注意Y X ,相互独立) ??? ??><<==-其它, 00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X (2)dx e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y x y x y ??? ???- ∞+- ∞ +- ≥=-=== ≥10 2 1 022 10 2)(2 1 ),()( 7869.0)1(222 11 22 ≈-=-=-- e e x 二、设随机变量X 与Y 独立,并且都服从二项分布: . ,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122 11 n j q p C j p n i q p C i p j n j j n Y i n i i n X ====-- 证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布. 证明: 设j i k +=, 则 i k n i k i k n k i i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22 110 )()()()( ∑=-+=k i k n n k i n i n q p C C 212 1)( 由 k n m k i i k n k m C C C +=-= ∑ , 有 k n n k i i n i n C C C 2 1210 +==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212 1n n k q p C k P k n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布. 三、设随机变量X 与Y 独立,并且X 在区间[0,1]内服从均匀分布,Y 在区间[0,2]内服从辛普森分布: ?? ? ??><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或