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2012年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（56分）：
上海）计算：=_________（i为虚数单位）．1．（2012?
2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=
_________．
=的值域是_________．（2012?上海）函数f（x）3．
l的一个法向量，则l_________20124．（?上海）的倾斜角的大小为若=（﹣2，1）是直线
（结果用反三角函数值表示）．
的二项展开式中，常数项等于_________上海）在．5．（2012?
为公比的等比数列，体积分别记上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、6．（2012?（V+V+…
+V）═_________，则，为V，V…，V，…．n112n2
a||x﹣）上是增函数，∞+f（x）在区间[1，为常数））上海）已知函数．7（2012?f（x=e（a．若的
取值范围是_________．a则
的半圆面，则该圆锥的体积为π20128．（?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2
_________．
2（﹣+2x），则g=fxg1f+xy=f?（9．2012上海）已知（x）是奇函数，且（）=1，若（）（_________1）
=．
，若l）的直线与极轴的夹角a=02M?（10．2012上海）如图，在极坐标系中，过点（，的极坐
标方程写成将lρ_________=）θfθ=f（）的形式，则（．
11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ ．（结果用最简分数表示）
2
A=，边AB、AD的长分别为2ABCD中，∠、1，若M、12．（2012?上海）在平行四边形
，则的取值范围是_________、CD上的点，且满足．= N分别是边BC
（，5）、C0，0）、B（13．（2012?上海）已知函数y=fx）的图象是折线段ABC，其中A（（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________．
14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是
_________．
二、选择题（20分）：
2）x的实系数方程x+bx+c=0的一个复数根，则（15．（2012?上海）若i1+是关于 1 ﹣，c=．b =2b =﹣2，c=﹣1 DB．b=﹣2，c=3 CA．b =2，c=3 ．
22216．（2012?上海）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
45x、x、取值x、x、x，随机变量＜≤xx＜x＜x≤10，x=10ξ．17（2012?上海）设1051212153344
的概率也、、、的概率均为0.2，随机变量ξ、取值2均为0.2，若记Dξ、Dξ分别为ξ、ξ的方差，则（）2211A．ξ＞DξD 21B．ξ=DξD 21C．ξ
＜DDξ21D．ξ与Dξ的大小关系与x、x、x、Dx的取值有关422311
sin，S=a+a+…+a，在S，S，设（18．2012?上海）a=…S中，正数的个数是（）100n121n2n75 100 250 5 B．．C．D A．
分）74小题，满分5三、解答题（共．
3
19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E AD=2，PA=2，求：是PC的中点，已知AB=2，（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x ∈[1，2]）的反函数．
21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12
海里A处，如图，现假设：
失事船的移动路径可视为抛物线；①②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22 =1．2x中，已知双曲线?上海）在平面直角坐标系xOyC：﹣y2012．22（1轴围成的的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及C的左顶点引）过（1Cx11三角形的面积；
4
22；OP⊥OQl与圆x+y=1相切，求证：C（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若122到ON，求证：O、C上的动点，且OM⊥N3）设椭圆C：4x+y=1，若M、分别是C（212直线MN 的距离是定值．
，定义2x，n≥＜}，其中0＜x＜x…＜x上海）对于数集23．（2012?X={﹣1，x，，…，x n22n11
，，X}，使得若对任意，存在t向量集，Y={=（st），s∈X，∈则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x＞1时，x=1；1n（3）若X具有性质P，且x=1、
x=q（q为常数），求有穷数列x，x，…，x的通项公式．n2112
5
年上海市高考数学试卷（理科）2012参考答案与试题解析
：一、填空题（56分）．（i为虚数单位）=1﹣2i20121．（?上海）计算：
：复数代数形式的乘除运算。考点：计算题。专题﹣i，再由进行计算即可得到答案分析：
由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1
解答：解：2i
故答案为1﹣复数的四则运算是复数本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分
母都乘以分母的共轭，点评：考查的重要内容，要熟练掌握
（，1|﹣＜2}，则A∩B3?2．（2012上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x
交集及其运算。考点：计算题。专题：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定
义求出两个集合的交集即可得到答案分析：解答：，x＜3}2}={x|﹣1|＜﹣1＜解：由题意
A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x）（﹣，所以A∩B=3），3故答案为（﹣正确化简两个集合对解题也很重解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，本题考查交集的运算，点
评：要，要准确化简
的值域是．（?上海）函数fx）=20123．（
考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．
解答：﹣sin2x
sinxcosx=﹣2﹣﹣）（解：fx==21
≤sin2x≤1∵﹣．
6
≤≤﹣sin2x∴﹣﹣﹣sin2x≤则﹣≤﹣2x）的值域是=
∴函数f（故答案为：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基点评：
础题．
arctan2的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（﹣2，1）是直线20124．（?l上海）若=．（结果用反三角函数值表示）
平面向量坐标表示的应用。考点：
计算题。专题：
可求出倾斜角．根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tan α分析：
解答：的一个法向量1）是直线l解：∵=（﹣2，=2 α得，tan），直线l的倾斜角为α∴可知直线l的一个方向向量为（1，2=arctan2
α∴arctan2
故答案为：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．点评：
．的二项展开式中，常数项等于﹣20125．（?160上海）在
二项式定理的应用。考点：计算题。专题：r，从而可求出常数项．的指数为0，得到相应的分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x解答：2r6rr6r﹣﹣r=3
可得﹣2r=0 x令6解：展开式的通项为T=x（﹣）=（﹣2）r+13160
2）=﹣常数项为（﹣160
故答案为：﹣本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．点评：
（2012?+V…）为公比的等比数列，体积分别记上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、6．
═．++VV，则…，，，V，为V…V（n2n112
数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。：考点．
7
专题：计算题。
分析：为首项，以为公比的等比数，由等不数列的是以由题意可得，正方体的体积1=求和公式可求
解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则
为首项，以为公比的等比数列=1 ∴是以==…+v）则（V+V+n12
故答案为：
点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题
|xa|﹣7．（2012?上海）已知函数f（x）=e（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．
考点：指数函数单调性的应用。
专题：综合题。
分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）?[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围
|xa|﹣解答：（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数解：因为函数f（x）=e由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．
8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为
．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：计算题。
分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；
2 l=2，所以，l=4因为ππ，π2半圆的弧长为
8
r=1，，2πr=2π圆锥的底面半径为=所以圆柱的体积
为：．故答案为：．本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．点评：
2（﹣，则gx）+2，若g（x）=f（（．（2012?上海）已知y=f（x）+x是奇函数，且f1）=19 ．﹣
11）=
函数奇偶性的性质；函数的值。考点：计算题。专题：
）求值即可得到答案g（﹣11）=﹣3，再将其代入分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f （﹣2解答：，）=1f）+x是奇函数，且（1解：由题意，y=f（x23 ﹣）=解得f（﹣1））+1+f（﹣1+（﹣1）=0所以f（11 3+2=﹣1）+2=﹣（﹣所以g1）=f（﹣1
故答案为﹣本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值点评：
的方程，基本题型．
，若l）的直线与极轴的夹角a=上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0?10．（2012
．=（θ）=f将l的极坐标方程写成ρ（θ）的形式，则f
考点：简单曲线的极坐标方程。
专题：计算题。
分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．
解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ
中，利用正弦定理可知：POM在三角形=）θ（=fρ解
得．
9
故答案为：
以及余弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，点评：
想，属于基础题．
若每人都选择其中两个项目，铅球项目的比赛，三位同学参加跳高、跳远、?11．（2012上海）（结果用最简分数表示）则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．
考点：古典概型及其概率计算公式。
专题：计算题。
分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．
解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球
三个同学共有3×3×3=27种
×=18有且仅有两人选择的项目完全相同有种×
个同学选择的项目，2表示3个同学中选表示从三种组合中选一个，其中表示剩下的一个同学有
2中选择
= 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是故答案为：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个点评：
数，属于基础题．
、12、，若M?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为．12（2012
，则的取值范围是[2，上的点，且满足5]=．分别是边NBC、CD
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
，）0，0（A，）0，2（B解：建立如图所示的直角坐标系，则解答：
10
==λ，λ∈（）[0，设，1]，D
（），，N M（2+））=（所以（2+）?
2=﹣λ﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，
2所以λ∈[0，1]时，﹣λ﹣2λ+5∈[2，5]．
故答案为：[2，5]．
点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．
（，5B）、C、）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）（13．2012?上海）已知函数y=f（x．x 轴围成的图形的面积为（0≤x≤1）的图象与（（1，0），函数y=xfx）
函数的图象。考点：计算题；综合题。专题：分析：
，y=xf（x）x根据题意求得（f）==，从而利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．
解答：
=，x）解：由题意可得，f（=，）∴y=xf（x设函数y=xf
（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，
22dx
）+10x10x（﹣dx+10xS=则．
×××+（﹣10）=10+10﹣+5= ﹣==．
故答案为：．
点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．
14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是
．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
EF=，，AB=a∴，所以EB==．×所以几何体的体积为：．故答案为：
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．
二、选择题（20分）：
2）x+bx+c=0的一个复数根，则（上海）若1+i是关于x的实系数方程15．（2012? 1 ﹣=2，c=Dc=﹣1 ．b =b﹣2，c=3 C．b=﹣2，A．b=2，c=3 B．
复数相等的充要条件。考点：
计算题；转化思想。专题：
2分析：的方程b整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，由题意，将根代入实系数方
程x+bx+c=0的值即可选出正确选项，b组，解方程得出a2解答：1+i是
关于x解：由题意的实系数方程x+bx+c=0
2+b+bi+c=0
i∴﹣1+2∴，解得b=﹣2，c=3
故选B
点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
222）sinC，则△ABC的形状是（＜?16．（2012上海）在△ABC中，若sinA+sinB 能确定D．不B．直角三角形C．钝角三角形A．锐角三角形
考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断。专题：计算题。分析：222222C ＜CA+sin由sinB＜sin，结合正弦定理可得，a+bc，由余弦定理可得CosC=可判断的取值范围
222解答：，sinsin解：∵A+sinB＜C222 c+ba由正弦定理可得，＜CosC=由余弦定理可得．
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题
45x、、x、xx=10，随机变量ξ取值x、x（2012?上海）设10≤x＜x＜x＜x≤10，17．55314431122
的概率也，随机变量ξ、取值、、、的概率均为0.22均为0.2，若记Dξ、Dξ分别为ξ、ξ的方差，则（）2211A．ξ＞DDξ21B．ξ=DξD 21C．ξ＜DDξ21D．ξ与Dξ的大小关系与x、x、x、xD的取值有关412231
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据随机变量ξ、ξ的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ、ξ的取值的概率都为0.2，即2211可求得结论．
解答：解：由随机变量ξ、ξ的取值情况，它们的平均数分别为：21
= 且随机变量ξ=+（）+、+ξx=（+x+x+x+x）+，2431521的取值的概率都为0.2，所以有Dξ＞Dξ，21故选择A．
点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．
sin，S=a+a+…+a，在S，S，上海）．（2012?设a…=S中，正数的个数是（）1810021n21nn25 50 75 100 ．．CA．．DB
考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法。
专题：计算题。
分析：=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a，a，…，a＞0，a，a，…，a＜由于f（n）0，f5027125262=单调递减，a，a…a都为负数，但是|a|＜a，|a|＜a，（n）…，|a|＜a，从而可判断2449125262526250解答：=sin的周期T=50
（n）解：由于f由正弦函数性质可知，a，a，…，a＞0，a，a，…，a＜0 5022512627
=单调递减f（n且）sin，但是sin…a，a…a都为负数，但是|a|＜a，|a|＜a，…，|a|＜a 2425249125262650∴S，S，…，S中都为正，而s，s，…，s 都为正
5027262521．
14
同理S，S，…，s都为正，S，S，…，s，…，s都为正，10017575221故选D
点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
三、解答题（共5小题，满分74分）
19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E AD=2，PA=2，求：的中点，已知AB=2，是PC（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；Rt△PAD中，利用勾股定理得到
，=（0，，，1）1）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E=各点的坐标，从而（2（，由此可得异面直线θ夹角满足：cosθ）2，0BC，利用空间向量数量积的公式，
得到=与所成的角的大小为AE与；
[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶
点的等腰直所成的角的大小为．，可得异面直线BC与角三角形，所以∠AEAEF=解答：
解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线
∴CD⊥平面PDC
∵PD?平面PDC，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形
AD=2，PA=2PAD中，，∵Rt△=2PD=∴
DC=2××PD ∴三角形PCD的面积S=（2）[解法一]
）1，，1（E，）0，2，2（C，）0，0，2（B如图所示，建立空间直角坐标系，可得．
15
2，0），=（0，∴=（11，，），=cosθ与= 夹角为θ=设，
则所成的角的大小为与θAE=，由此可得异面直线BC∴[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角
PC==4
△RtPAC中，∵PC=4
∴AE=PB= EF=BC=AF=，∵在△AEF中，222∴AF+EF=AE，△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△
所成的角的大小为AE ，可得异面直线BC∴∠与AEF=
点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．
20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）
的取值范围；x，求1）＜x（f）﹣2x﹣1（f＜0）若1（．
16
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x ∈[1，2]）的反函数．
考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用。
专题：计算题。
分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；
（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．
解答：
）由解得：﹣1＜x（1＜1．解：＜＜10，1得：1 ＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg由0＜，＜10x+102，∴x+1＜﹣2x∵x+1＞0∴．
得：．由
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
y又∵x=3﹣10，
x∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．
点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．
21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12
海里A处，如图，现假设：
失事船的移动路径可视为抛物线；①②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2（．
17
考点：圆锥曲线的综合。
专题：应用题。
分析：|AP|=的纵坐标，利用，即的横坐标，代入抛物线方程中，可得P（1）t=0.5时，确定P可确定救援船速度的大小和方向；
2（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t），从而可得
，整理得vt=，利用基本不等式，
即可得到结论．
解答：，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y=3．…2分解：（1）t=0.5时，P的横坐标x=7t=PP ，得救援船速度的大小为海里/时．由…|AP|=4分arctan
弧度．，得∠…OAP=arctan6∠OAP=，故救援船速度的方向为北偏东分由tan2（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t）．
，整理得．…10vt=分由22，当且仅当t=1时等号成立，所以v≥144×2+337=25因为，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分
点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．
22 y=1．xOy中，已知双曲线C：2x﹣22．（2012?上海）在平面直角坐标系1轴围成的的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x1）过C的左顶点引C（11三角形的面积；22⊥OQ；xl与圆+y=1相切，求证：OPQ于的直线（2）设斜率为1l交CP、两点，若122到O⊥CC、上的动点，且OMON，求证：分别是、，若+y：C3（）设椭圆4x=1MN212直线MN的距离是定值．
直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合。：考点．
18
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出三角形的面积．
2=0．证明，通过求解PQ与已知圆相切，得到b=2（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线．PO ⊥OQ．当直线ON不垂直x垂直x轴时，直接求出O到直线MN轴时，设直线的距离为ON（3）当直线，利用y=，推出直线OM的方程为y=kx，（显然|k|，求出＞）ON的方程为：22222，|ON|d，通过（|OM|+|ON|）d=|OM|，，设O到直线OM的距离为d=．推出O到直线MN的距离是定值．求出
解答：：C（，1）双曲线解：左顶点A）（﹣1±y=渐近线方程为：x．
y=与渐近线x平行的直线方程为过y=（，即x+）Ay=，
，解得．所以
S=．所以所求三角形的面积为
y=kx+b，2）设直线PQ的方程为（与已知圆相切，故因直线PQ，
2，，由即b=2
22，1=0得x﹣2bx﹣b﹣，则，y））y，Q（x，设P（x，2112）．+b）（x+b=又yy（x211222222 2=0﹣．+2b1）xxy所以x=x+y=2x+b（+x+b=2（﹣﹣b）+b=b21121212故
PO⊥OQ．
．的距离为MN到直线O，则|OM|=，|ON|=1轴时，x垂直ON）当直线3（．
19
＞）|k|，轴时，设直线xON的方程为：y=kx，（显然当直线ON不垂直y=则直线OM 的方程为，由得，
所以．
同理，
设O到直线OM的距离为d，
22222因为（|OM|+|ON|）d=|OM||ON|，
==3所以，
d=．即
综上，O到直线MN的距离是定值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不
求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（2012?上海）对于数集X={﹣1，x，x，…，x}，其中0＜x＜x＜…＜x，n≥2，定义n12n21
使得，若对任意，，∈sX，t∈X}，向量集存在Y={=（s，t），则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x＞1时，x=1；1n（3）若X具有性质P，且x=1、x=q（q为常数），求有穷数列x，x，…，x的通项公式．n1122
考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题。
专题：计算题；证明题；综合题。
分析：中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），2中取=（x，），根据数量积的坐标公式，
可得）在（1YY所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．
）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数）2）取=（x，xt，=（s，（11集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x＞1时，x=1．1ni1﹣（3）[解法一]先猜想结论：x=q，i=1，2，3，…，n．记A═{﹣1，
x，x，…，x，n，…，3，k=2，}k21ki
20
i=qx也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出A具有性质P，则A通过反证法证明出引理：若ik+1k1﹣；…，n，2，3，，i=1，得到一正一负的特征，再记，
则s（，t）设=（s，t）等价于，[解法二]=2112B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x，﹣x，﹣x，…，﹣x}，共有n﹣1个数，所n423以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最
后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得k1k1﹣﹣，k=1，2，
3=q，…，==…n=，最终得到数列的通项公式是x=x?．（）1k解答：中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2bx，2），则Y，解：（1 ）选取=（又∵x＞2，∴只有b=2，从而
x=4．
，满足，可得（s+t）x=0，t）∈Ys+t=0，所以s2）∈）取=（x，xY、，设=（s，（111t异号．
因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，
假设x=1，其中1＜k＜n，则0＜x＜1＜x．n1k，满足，可得sx+tx=0，s，
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1
集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4
2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D.
培优点十四 外接球 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【答案】C 【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体） 例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π 【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心 例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足 6BA BC ==π 2 ABC ∠= ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32 π3 【答案】D 【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1 1232r =的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1 632ABC S =?=△，3BD =11 6336 ABC V S h h ==?=△， 最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2 233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是3432ππ33 R =，故答案为D ． 一、单选题 1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π 【答案】B 对点增分集训
【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()() 22 2 2223 5 R =+ + ，则：23R =， 该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项． 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π 【答案】B 【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23 2r =，则2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径() 2 223 27R =+=， 外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项． 3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥 D ABC -的外接 球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π 【答案】C 【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ） A ．2πa B ．22πa C ．23πa D ．24πa 【答案】C 【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示： 该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223 23R a a a a R =++?，所以该几何体外接球面积
2019年高考数学必背公式与知识点过关检测 清单 姓名班级 第一部分：集合与常用逻辑用语 1．子集个数：含n个元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集 2．常见数集：自然数集：正整数集：或整数集：有理数集： 实数集： 3．空集：φ是任何集合的，是任何非空集合的. 4．元素特点：、、确定性 5．集合的的运算：集运算、集运算、集运算 6．四种命题：原命题：若p，则q；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则；原命题与逆命题，否命题与逆否命题互；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为。互为逆否的命题 7．充要条件的判断：p q ?，p是q的条件；p q ?，q是 ?，,p q互为条件；若命题p对 p的条件；p q 应集合A，命题q对应集合B，则p q ?等 ?等价于，p q 价于 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件
是乙（乙?甲）”； 8．逻辑联结词：或命题：p q ∨，,p q 有一为真即为 ，,p q 均为假时才为 ；且命题：p q ∧，,p q 均为真时才为 ，,p q 有一为假即为 ；非命题：p ?和p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?；全称命题p 的否定 ?p ： ； ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?；特称命题p 的否定 ?p ： ； 第二部分：函数与导数及其应用 1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0次幂的底 数 0 ；对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 3．函数的单调性：设1x ，2[,]x a b ∈，且▲1/2 y x y=|cos2x +1/2图象 ，那么：
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割
2019年高考数学填空题专项训练题库100 题（含答案） 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且 =?}B A x __________； 2．设12)(2++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且211=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，9 43 2=a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2-+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78l g ()(2-+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2<-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1l g ()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________；
2018年高考数学考试大纲：出现新考点题型有变化考纲摘录 知识要求 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次，分别用A，B，C 表示。（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题；（2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决；（3）掌握（C）：要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决。 试题类型 全卷分选择题、填空题、解答题三种题型。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程。文、理科全卷题型、题量和赋分分别如下： 试卷结构 文科卷： 1.全卷22道试题均为必做题； 2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题7道，每道5分，共35分；解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分。 理科卷： 1.全卷22道试题，分为必做题和选做题。其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题； 2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；试题按难度（难度=实测平均分/满分）分为容易题、中等题和难题. 难度在 0.70以上的题为容易题，难度在0.40-0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题。控制三种难度的试题的合适分值比例，试卷总体难度适中。 题型变化对文科生影响更明显
2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， .
因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项
2019高考数学专题训练--解三角形（有解析） 专题限时集训(二) 解三角形 (建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2018?天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝13，a＝3，∠C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120° 即AC2＋3AC－4＝0 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.] 2. (2018?合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为( ) A．4πB．8πC．9πD．36π C [由bcos A＋acos B＝2，得b2＋c2－a22c ＋a2＋c2－b22c＝2 化简得c＝2，又sin C＝13，则△ABC的外接圆的半径R＝c2sin C＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积( ) A．3 B.932 C.332 D．33 C [因为c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－ 2abcosπ3，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为12absin C＝3×32＝332，选C.] 4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先 在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为( ) 图216 A．10米 B．102米 C．103米 D．106米 D [在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦 定理得10sin 30°＝BCsin 45°，解得BC＝102. 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝102×tan 60°＝106.] 5．(2018?长沙模拟)在△ABC 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝a，cos A2，n＝b，cos B2，p＝c，cosC2共线，则△ABC的形状为( ) A．等 边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A [由m∥n得acosB2＝bcosA2，即sin Acos B2＝sin Bcos A2化简得sinA2＝sinB2，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．] 6．如图217，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A＝( ) 图217 A.223 B.24 C.64 D.63 C [∵DE＝22，∴BD＝AD＝DEsin A＝22sin A.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin C，
强调数学应用考查关键能力 教育部考试中心命题专家认为，2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 1、素养导向，落实五育方针 教育部考试中心命题专家介绍，2020年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。 比如：理科Ⅱ卷第13题以我国高铁列车的发展成果为背景。 文科Ⅱ卷第5题以“一带一路”知识测试为情境进行设计，引导学生关注现实社会和经济发展。 理科Ⅱ卷第4题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，反映我国航天事业取得的成就。这些试题都发挥了思想教育功能，体现了对考生德育的渗透和引导。 除此之外，今年的试题重视结合学科知识，展示数学之美。 比如：文、理科Ⅱ卷第16题融入了中国悠久的金石文化，赋予几何体真实背景。
文、理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。 今年还体现了劳动教育的内容和要求 比如：文科Ⅰ卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。 文、理科Ⅲ卷第16题再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求。 2、突出重点，灵活考查数学本质 2019年数学高考更加注重对高中基础内容的全面考查，集合、复数、平面向量、二项式定理等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查。 在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。 今年试题排序顺序上依然是由易到难，循序渐进。在整体平稳的基础上，在主观题的设计上进行了适当的调整。主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。
题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷 一、选择题 1. 已知集合A ={(x,y )|x,y ∈N ?，y ≥x}，B ={(x,y )|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2. 复数11?3i 的虚部是( ) A.?3 10 B.?1 10 C.1 10 D.3 10 3. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑p i 4i=1=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A.p 1=p 4=0.1，p 2=p 3=0.4 B.p 1=p 4=0.4，p 2=p 3=0.1 C.p 1=p 4=0.2，p 2=p 3=0.3 D.p 1=p 4=0.3，p 2=p 3=0.2 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：I (t )=K 1+e ?0.23(t?53)，其中K 为最大确诊病例数.当I (t ?)=0.95K 时，标志已初步遏制疫情，则t ?约为( )(ln 19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 5. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2 =2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.(1 4,0) B.(1 2 ,0) C.(1,0) D.(2,0) 6. 已知向量a → ，b → 满足|a → |=5 ，|b → |=6，a → ?b → =?6，则cos =（ ） A.?31 35 B.?19 35 C.17 35 D.19 35 7. 在△ABC 中，cos C =2 3，AC =4，BC =3，则cos B =( ) A.1 9 B.1 3 C.1 2 D.2 3 8. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A.6+4√2 B.4+4√2 C.6+2√3 D.4+2√3 9. 已知2tan θ?tan (θ+π 4)=7，则tan θ=( ) A.?2 B.?1 C.1 D.2 10. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=1 5相切，则l 的方程为( ) A.y =2x +1 B.y =2x +1 2 C.y =1 2 x +1 D.y =12 x +1 2 11. 已知双曲线C ：x 2 a 2?y 2 b 2=1(a >0，b >0)的左右焦点F 1，F 2，离心率为√5．P 是C 上的一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =( ) A.1 B.2 C.4 D.8 12. 已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138， 则( ) A. a 训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷文科第9题理科第8题：如图是求 2 12121++ 的程序框图，图中空白框中应填 入（ ） A.A A += 21 B.A A 12+= C.A A 211+= D.A A 21 1+= 本题解答：本题目考察是算法中循环计算的推理。 计数器k 的初始值，循环计算1+=k k ，循环条件12=?≤k k 和2=k ?进行两次循环就可以输出。 2 12121++ 第一次计算分母上 2 121+，A 初始值为 A +? 2121。执行A A +=21 的循环语句，此时新得到 2 1 21+= A 。第二次计算整体 2 12121++ ，新的2 121+= A A +? 21。执行A A +=21之后2 12121 ++ =A 。 所以：循环语句是A A += 21 。 训练二：2019年高考数学新课标Ⅲ卷文科第9题理科第9题：执行下边的程序框图，如果输入的ξ为01.0，则输出的s 的值等于（ ） A.4212- B.5212- C.6212- D.72 12- 本题解答：如下表所示： 所以：输出的62 1 26416412864112864127-=-=-== s 。 训练三：2019年高考数学北京卷文科第4题理科第2题：执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 本题解答：如下表所示： 所以：输出的 2 =s 。 训练四：2019年高考数学天津卷文科第4题理科第4题：阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ） A.5 B.8 C.24 D.29 本题解答：如下表所示： AB=（2，3），AC=（3，t），|BC|=1，则AB?BC=（ ） M233 3 7.8.9.10.11. 12.13.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α，β平行于同一条直线α，β垂直于同一平面 若抛物线y =2px（p＞0）的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点，则p=（ ） 2348下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2 ）单调递增的是（ ）f（x）=|cos2x| f（x）=|sin2x|f（x）=cos|x|f（x）=sin|x|已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）15553325 5设F为双曲线C：x 2a 2-y 2b 2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）2325 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）．若对任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-89 ，则m的取值范围是（ ）（-∞，94]（-∞，73]（-∞，52]（-∞，83 ]我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ． A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D. 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 2019年高考数学真题分类汇编 专题01：集合 一、单选题 1.（2019?浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（） A. {-1} B. {0，1} C. {-1，2，3} D. {-1，0，1，3} 【答案】 A 2.（2019?天津）设集合 ，则（） A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4} 【答案】 D 3.（2019?全国Ⅲ）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则 A∩B=（） A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1} D.{0，1，2} 【答案】 A 4.（2019?卷Ⅱ）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ） A.（-1，+∞） B.（-∞，2） C.（ -1，2） D. 【答案】 C 5.（2019?卷Ⅱ）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则 A∩B=（） A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 【答案】 A 6.（2019?北京）已知集合A={x|-1 9.（2019?全国Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.（2019?江苏）已知集合，，则 ________. 【答案】 理科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断. 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数2019年高考数学分类汇编：算法初步
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