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摘要
费马小定理是数论中重要定理之一。它不仅仅可以解决很多数论中的问题，还可以证明很多数论中的重要定理，它在素性检验中也有很多应用。
本论文第一章简单阐述了费马小定理的历史背景以及要证明费马小定理的准备知识，用六种不同方法对费马小定理进行了证明。第二章阐述了主要阐述了费马小定理在素性检验中的应用，给出了Strassen
Solovay 素性测试算法。
关键词：费马；费马小定理；素性判别；素数
ABSTRACT
Fermat's little theorem is one of most important theorems in number theory. It can not only solve many problems, but also can prove a lot of important theorems in number theory. It has a lot of applications in primality test.
In this paper, the first chapter simply expounds the historical background and prepared knowledge of Fermat's little theorem. We use six different methods to prove Fermat's little theorem. And the second chapter mainly expounds the applications of the Fermat's little theorem, Solovay - Strassen primality test is presented.
Key words:Fermat; Fermat's little theorem; primality test;prime number
目录
引言 (1)
一、费马小定理 (1)
(一)费马小定理的内容 (1)
(二)费马小定理的历史背景 (1)
(三)证明费马小定理的预备定理 (2)
(四)费马小定理的证明 (2)
二、费马小定理在素性检验中的应用 (6)
(一)
strassen
Solovay 测试 (7)
小结 (9)
参考文献 (10)
致谢 (11)
引 言
费马小定理是初等数论中的重要定理，在定理的证明和解题过程中起着核心的作用，一直以来众多数学爱好者对费马小定理的研究取得了一个又一个的突破，如欧拉的证明方法等；对费马小定理的应用研究一直以来也是数学家们的追求，如AKS 测试。本论文主要研究了两个方面的问题：首先是研究了费马小定理的证明方法并对其进行归纳总结，这些证明方法中有些简便易懂，有些方法闪烁着智慧的光芒；其次是对费马小定理的应用进行研究，费马小定理的应用范围非常广泛，不但在数论中广泛，而且在国际数学赛上也得到了非常广泛的应用。本论文主要研究了费马小定理备受亲睐的应用，以Strassen Solovay -素性测试算法为典例，研究一直受数学家关心的素数判别问题，并结合这种算法体验费马小定理这个璀璨的明珠。
一、 费马小定理
(一)费马小定理的内容
费马小定理是说：当p 是一个素数时，对任意的整数a 都有：
()p a a p mod ≡
如果a 不是p 的倍数，即()1,=p a ，这个定理也可以写成：
()p a p mod 11≡-
费马小定理的是数论中重要的定理之一，它在实际应用中也非常广泛，更为素数检测奠定了理论基础，如文中提到strassen Solovay -测试，还有米拉拉宾测试，AKS 素性测试等等。
(二)费马小定理的历史背景
费马，于1601年8月17日在法国出生，大学毕业以后，费马在家乡图卢兹()Toulouse
当上了图卢兹议会的议员。精通多种语言，如意大利语、西班牙语、希腊语等等。他的一个业余爱好就是对数学的研究。他深入的研究了古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）、丢番图（Diophantus ，
约公元330246--年）、帕波斯（Pa p p u s ，约350300--）以及与他较近的韦达（Viete ，约16031540--）等人的著作，是近代数论的开拓者。
费马小定理最早出现于公元1640年，费马写给友人梅森的一封信上，并在信中表明自己已经知道如何证明这个定理，只是因为纸张的空间狭小致使不能写下定理的证明方法。正式发表的证明方法大约
是100年后的数学家欧拉()Euler 提出，欧拉所用的方法就是利用二项式定理的方法，不过后来发现数学家莱布尼茨()Leibniz 早在1683年之前就已经用这样的方法证明出来了，只是没有发表。
(三)证明费马小定理的预备定理
定义1.设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。 在证明费马小定理之前，我们先给出几个引理
【1】
。
引理1.（剩余系定理2）若a ，b ，c 为3个任意整数，m 为正整数，若有
)(mod ,1),()(mod m b a m c m bc ac ≡=≡则有和成立。
证明： 由条件可知 )(mod 0n bc ac =-，
化简有 )(mod 0)(m c b a =-
又因为 1),(=m c
所以有 )(mod 0m b a ≡- 即有)(mod m b a ≡ 引理2.（二项式定理）若n 是一个正整数，则有
()()
.)!
(!!
,)(0
k n k n y x
y x n k k k
n n
k n k
n
-=
=+-=∑
其中
证明：根据二项式的展开定理，我们有：
n
n n n n n n n n n n y
x C y x C y x C y x C y x 011111100)(++++=+---
n n n n n n n y xy C y x C x ++++=---11
11
由组合公式可得： ()()
.)!
(!!
,)(0
k n k n y x
y x n k k k
n n
k n
k n
-=
=
+-=∑其中
引理 3.（多项式定理）如果k 1, k 2, k 3, ……k m ,和n 均是正整数，且有1≥n 和
n k k k k m =++++ 321，则有
(
)∑+=
+++n
=km +k3+k2+k121
km
…… k3, k2, k1,2121
)( m
k m
k
k n
n m x x x
x x x
其中
(
)!
!!!
2
1
,,21m n
k k k k
k k n
m
=。
(四)费马小定理的证明
很多年以来，许多数学爱好者在不同的角度、不同的方向证明了费马小定理。本论文通过对众多证
明方法所应用的基础理论研究，将这众多的证明归纳整理为以下几种方法：
1.初等方法
证明：对任意的非负整数m 及素数p ，恒有【2】
1)1(1
11++++=+-+m C m C m m p p p p p p
)(mod 1p m p +≡
即有 )(mod 1)1(p m m p p ≡-+ 令 1,,3,2,1,0-=a m 得
)
(mod 1)1()(mod 1)2()1()(mod 123)(mod 112)(mod 101p a a p a a p p p p p p p p p p p p p ≡--≡---≡-≡-≡-
上面各式分别相加得
)(mod p a a p ≡
2.二项式的展开法
证明：设集合)}(mod {p a a a s p
≡=，其中p 是质数，N a ∈，
因为00=p ，所以对任意的p 有00(mod )p
p ≡ 则s ∈0
现假设 )(mod ,p p k
s k p
≡∈则，我们要想得到
1,(1)(1)(mod )p k s k k p +∈+≡+，通过二项式定理有：
()j
p p j p j
p
p
p
k
k k --=∑
++=+1
1
1)1(
)(mod 1p k +≡
如果()1,=p a ，则化简)(mod p a a p
≡有)(mod 11
p a
p ≡-
如果a 是负数，则对任意的r 恒有)(mod p r a ≡成立，其中10-≤≤p r . 从而有 (mod )p
p
a r r a p ≡≡≡.
在迪克森的数论历史这本书中
【3.6.8】
，介绍了费马小定理的原创证明，在这些证明当中，都包含
了莱布尼茨（Leibniz ）,欧拉（Euler ），兰伯特（Lambert ），和图厄（Thue ）等的证明。
3．欧拉法
证明：设Z b a ∈,，p 是一个质数，则p p p b a b a --+)(是能被p 整除。即
p
p
p
b a b a --+)(())(mod 01
1
p b a b a
b a p p j j
p p j p
j
p
p
≡--++=--=∑
如果b b a a p p --和都能整除p ，则b a b a p --+)(也能整除p ，即是 ≡--+b a b a p
)()(mod 0p b b a a p p ≡-+- 下面利用数学归纳法证明：)(mod p x x p
≡
.a 当1=x 时，011=-=-x x p 显然能被p 整除。
.b 假设k x =时，x x p -能被p 整除成立。
.c 当1+=k x 时，则有：
()()()11111
2211+-++++=+-+---k k C k C k C k k k p p p p p p p p
()
k C k C k
C k k p p p p p p p 1
2211---+++-= 由于1,,3,2,1,-=p r C p r
p ，
故结合归纳假设，有x x p
-能被p 整除
于是)(mod p x x p
≡，考虑到(),1,=p a 故有()p x
p mod 11
≡-
4.图厄法
证明：设p 是一个奇素数。注意到会有
()())(mod 1)
(1]1)[()()1()(1
p b a b a b a b a b a p i i
p i
i p
p
p
p
≡--=
----=----∑-=
这是因为()∑=---=
--p
i i
p i
p i
p
b a b a 0
)
1()(]1)[(
()()()p
p p p p p p
b a b a b a )
()1()
()1()
()
1(0
1
1
1
--++--+--=-
由p
b a )(-减去p
b a )1(--，即可得到： ()()∑-=--=
----1
)
(1)1()(p i i
p i
i
p
p
b a b a b a
由于p 是奇素数，假设 ,3,2,1,0=b ，对任意的整数a 我们有：
()p h a a p
p 111+=--
()p h a a p
p 212)1(+=---
()p h a a p
p 313)2(+=---
()p h a a p
p 413)2(+=---
p h a p p 1112-+=-
p h a p p +=-101
其中i h 是整数.将上面各式子等号左右两边分别相加，可以得到：
hp a a p +=
其中，a a h h h h h h +++++=-1321 .因此，有()
a a p p
-成立。
5.()1806,Ivory
证明：设p Z n 且∈不整除n 。考虑集合()}1,,3,2,{n p n n n T -= ，设S 是最积极的一组残基
()T p mod 的元素。若11,-≤≤
∈p j Z j ，则p 不整除ja 且每个S 和T 的元素是不同的。因此S 是
集合)}1(,,3,2,1{-p 的一个置换。则有：
()p j nj p j p j mod 1
1
11
-=-=≡
()()()()()p p n p n n n mod 1321132-????≡-????
()()()p p p n p mod !1!11-≡--
由于
()()1,!1=-p p ，则有()p n p mod 11≡-
6.()1769,Lambert
证明：设1+=c b ，()1,=p b ,p 是一个质数。通过二项式定理有
()
()()1111113
1
2
211
1+++
-++-=-+=------- p p p p p p c
c p c c b
Ap c c c c p p p ++--+-+-=---11321
现由
()())(mod 11p k
p k
-≡-有()()
mp k
p k
+-=-11对任意的N m ∈恒成立。
由于中加部分是交替几何级数1
111111
2
1
+--=++=++-----c c c c c c
c p p p p p
其次1
1
1111
1
+--+-=----c c Ap c
b
p p p ，等式两边同时除以p ，则有
()
.11
11111+--+-=----c p c A p c p b p p p (&) 由b c <，如果p 整除c ，则()p c mod 0≡意味着()()p p p mod 11mod 1b 1≡≡-和 如果p 不整除c ，则利用p 的感应整数互质，设集合
(){}
110mod ,p S x x p p x -=-≡不整除，则S ∈1. 假设S c ∈，
则有()p c
p mod 011
≡--，
Z p
c p ∈--1
1 又因为()11,=+c p 且()()
111
-+-p c
c ，则有()()111-+-p c c p ,这也同时意味着()
11--p b p 根据()&式子，我们有：
()
()p c b p p mod 01111
1≡-+≡---，其中S c ∈+1。
二、费马小定理在素性检验中的应用
数论中费马小定理的应用很广，如利用费马小定理计算余数问题、证明一些整除问题【9.10】
、解一些
指数不定方程、巧解某些数学竞赛题
【11、12】
等等，费马小定理除了能够解决这些数论问题以外，还可以
证明数论中的一些重要的基本定理，如Wilson 定理。费马小定理在数论中还有一个非常重要的也是常见的应用，那就是判定给定的整数是否为素数（即素数判别或者素性判别）。
素性判别具有非常大的理论价值，在数论中占据着特殊的地位。素数的使用范围扩大，作用及其广泛，鉴别素数则成为了数论最基本的问题，也成为了众多数学家研究的焦点。在众多数学家的研究方法当中，最直接、最简单的判别方法就是试除法，即对整数m ，用1,,4,3,2-m 去试除，来判定n 是否为素数。到16世纪，费马小定理的出现为近代数论中的素数判别奠定了基础。费马小定理在算法数论中有有着深远的影响，因为它是依据最知名的素性检测算法。
(一)strassen Solovay -测试
strassen Solovay -提出的测试【4】
，也是第一个算法效率比较高的测试。这个算法测试的起
点是一个重述的费马小定理。
定理（费马小定理，重述）对任意的奇素数n 和任意数a ，n a <<0,有()n a
n mod 12
1±=-
对任意的奇素数，很容易就可以观察到，a 是一个二次剩余，
当且仅当()n a n mod 12
1
≡-。
Legendre 符号??
?
??n a 等于1如果a 是n 的一个二次剩余模，其它的等于1-对任意的素数n 。因此，对任意的素数n 有：
()n a n a n mod 2
1-=??
? ??
勒让德符号可以推广到复合数，通过定义:
∏=???
? ??=??? ??k
i e i i
p a n a 1 其中∏==k
i e i i p n
1,i p 是素数对任意的i 。这个概括被称为Jacobi symbol （雅克比符号）。雅
克比符号满足二次互反律：
()()()
1141a n a n n a --????
?=- ? ?????
伴随着雅克比符合的属性，???
??+=???
??n n a n a 给出了一个算法计算??
?
??n a ，
只需要()n O log 算术运算。 对于可分解的n ，1=??
?
??n a 不再是必要的，如果a 是一个quadraric 剩余模n 或者
()12
mod n a a n n -??= ???
。这表明，检查().mod 2
1n a
n a n -=??
?
??可能是一个对于原始n 的测试。当a 随机选择
时，索洛韦Strassen 高概率表明了这个定理。在这，让n 至少含有两个素因子和
()1,=?=m p m p n k 且,p 是一个质数，k 是一个奇数。假设()(){mod ,1}k A a p a p ==。
显然，()11
-=-p p
A k 和数字()A p p k ∈--12
11是一个完全二次非剩余模p 。假设A a ∈0是一
个完全二次非剩余模p 和A b ∈0是一个二次非剩余模p 。选择任意的数c ，m c <<0且()1,=m c ,假设b a ,是n -0之间不平常的数，这样()m c b a mod ==，()()
k k p b b p a a mod ,mod 00==。则有：
??? ??-=??
? ??=??? ??????? ??=??? ??n b m c m c p
a n a k
如果()n n a a
n mod 2
1???
??=-，()n n b b n mod 2
1???
??=-，则有().mod 2
12
1
n b
a n n ---=这意味着：
()).(mod )(mod )(mod mod 2
12
12
12
1m c
m b
m a
m c
n n n n -----=-==
()1,=m c 这是不可能的原因。因此，要么()n a
n a n mod 2
1-≠??
?
??，要么().mod 2
1n b
n b n -≠??
?
??因此,对
于一个随机选择的一个介于0到n 的数a ，要么()1,=n a ,要么概率至少是
2
1
，使()n a n a n m o d 2
1-≠??
? ??。
其实，我们在小学的时候就已经学习过如何判定一个正整数n 是否为质数：我们的方法是测试介于1到n 之间的整数是否有因子存在即可；但是这个方法有一个弊端，当n 非常大时（如当n 是300位数），要判断n 是否为质数的工作将变得非常的困难，没有办法在短时间内将问题解决。质数的判定在很多领域里都会碰见，如密码学里面的许多算法都需要计算机产生很大的质数。
试除法是很直接很原始的素性检测方法，但是对于20位以上的大数却无能为力，在实际检测中，
AKS 算法在速度上要远远的超过现在一些比较常用的素数判定方法。
当我们要判断n 是否为质数，假设我们选机几个不同的m 值（如11,9,7,5,3=m ），分别计算1
-n m
除以n 的余数，结果发现所有的余数都是1，那么n 为质数的概率其实相当高，然而如果有任何一个余数不是1，则我们可以立即判定n 不是质数。这个方法不能百分百确定n 一定是质数，但是可以非常有效将合数排除，可以在判断质数的过程中提供初步而快捷的帅选，因此为许多实际程序所采用
【13】
。
小结
本论文的以费马小定理的研究为主线、以费马小定理的应用研究为辅展开构成了这篇论文的整体结构。通过对费马小定理的历史背景和证明方法的研究，了解了费马对数论的贡献，对数学发展的贡献。通过对证明方法的总结和归纳，本论文虽然只摘取了众多方法当中的六种证明方法来研究，却看到了众多数学家艰辛的求证过程和取得结论时的喜悦。在阐述费马小定理对素数的检验的应用时，提出了测试
Solovay 素性测试算法，这是因为素数在当今通信中尤其在保密效率很高的应用很广泛的Strassen
通信中有着及其重要的位置。
参考文献
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[12]曾荣.基础数论典型题解300例[J].长沙：湖南科学技术出版社，1982.
[13]郭凤琴.初等数论河南师范大学数学系.代数基本定理：152-154.
致谢
回首四年学士生涯，感慨颇多，在即将告别长江师范学院数学与计算机学院这个大家庭的时刻，对所有人的关心和帮助，真诚的道一声感谢！
长师老师们严谨的学风和渊博的知识指引着我走到今天，文雅的谈吐和高尚的人格是我们学习的榜样，老师的淳淳教诲必将使我们终身受益。在此，感谢张韶华老师的指导，从论文的选题开始到论文最终的定稿过程中，张老师给我提出了许多宝贵的意见和富于启发的思路，在严格要求的同时也倾注了许多关怀，始终给予悉心指导；张老师的这种治学态度和敬业精神，对我现在的学习和未来的学习和工作起到了很大的榜样作用。最后，感谢长江师范学院的老师们，感谢我的同学们对我的关心、鼓励、支持和热情的帮助，本论文的每一个字都渗透着你们的关心和帮助。
最后感谢长江师范学院为我们提供的良好的学习环境，感谢曾经帮助过我的每一个人！
世界数学难题——费马大定理 费马大定理简介： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. （(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。 这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 [编辑本段] 理论发展 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧
()?? ????-+++=222221x a H x H n OB n AO n L += 费马定理 费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。 费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。 光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：?∑∑ =?=?===ndl c t l n c v l t P Q i i i i i i 1111 费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。?==01ndl c t P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。?==0ndl L P Q δδ ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。 ② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点 的面法线，且两线段长度之和相等。 用费马原理导出反射定律 如下图，PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。假设光线所处的介质为均匀介质。光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。那么点A 到点B 的光程为：
●今年6月间，德国哥庭根大学的大会堂里，500名数学家齐聚，观看普林斯顿大学数学家魏尔斯(Andrew Wiles)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家的名字，他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项，给予世界上头一个能解决费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目，约等于200万美金，而几个月前由魏尔斯领到时，不过相当5万美金左右，但是这确是近世数学界的盛事，魏尔斯不只是证明了费马最后定理，也替未来的数学带来革命性新发展。费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马(Pierre deFermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家，他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正，通常不鼓励他们出外社交，因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之中，悠然自得。在1637年的某一天，费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的数学译本，忽然灵光乍现，就在书页空白处，写下有名的费马定理。费马定理的内容其实很简单，它只是基于一个方程式（X+Y=Z)。这个方程式当n等于2时，就是人们熟知的毕氏定理，中国数学上所称的勾股弦定理，其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。如32.+42.=52.(9+16=25)。费马当时提出的难题是，当这个方程式(X+Y=Z)的n大于2时，就找不到任何整数来符合这个方程式。例如33.+43.(27+64)=91，但是91却不是任何整体的3次方。费马不仅写下了这个问题，他同时也写道，自己已经发现了证明这个问题的妙法，只是书页的空白处不够大，无法写下证明。结果他至死都没有提出他的证明，却弄得300多年来数学界群贤束手，也使他的难题得到一个费马最后定理的称号。19世纪时，法国的法兰西科学院，曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏，给予任何可以解决此一难题之人，不过并没有多大进展。20世纪初捐出10万马克奖金的沃夫斯柯，事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数痴”，据一些历史学家研究，沃夫斯柯原本一度已打算自杀，但由于对解决费马定理着迷，而放弃求死之心，因此他后来便在遗嘱中捐出巨款，原因是他认为正是费马定理救了他一命。重赏之下必有勇夫，但是解决数学难题却非人人可为。20世纪公认的德国天才数学家希伯特（D. Hilbert）就不愿去碰费马定理，他的理由是自己没那么多时间，而且到头来还可能落得失败的下场。虽然费马定理还是让许多数学家萦怀于心，但是他们看这个难题就有如化学家看炼金术一样，只是一个古老的浪漫梦。秘密钻研7年突破难题最后解决这个世纪难题的魏尔斯，早在1936年他10岁之时，便有着挑战费马定理的浪漫梦想，他在英国桥剑地方的图书馆中读到这个问题，便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪费时间于这个不可能之事，大学老师也试图劝阻他，最后他进了英国剑桥大学数学研究所，他的指导教授指引他转入数学中比较主流的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到，这个由古希腊起始的数学研究训练，最后会导致他再回到费马定理之上。1927年，日本数学家谷山丰提出一个讨论椭圆曲线的数学结构，后来在美国普林斯顿大学的日本数学家志村五郎，再将这个结构发展得更为完备。这个被称为“志村—谷山猜想”的数学结构，居然成为化繁为简，通向解决费马定理的绝妙佳径。1984年德国萨兰大学的数学家佛列发展出一种很奇特也很简单的关联，将“志村—谷山猜想”和费马定理扯在一块，佛列提出的关联经过好几位数学家的努力，最后终于证明了如果要证明费马最后定理，可以经由证明“志村—谷山猜想”来完成。魏尔斯是1993年在英国剑桥大学，正式宣布他已解决费马最后定理，在此之前他已秘密的工作达7年之久，原因不只是怕受到公众压力，也害怕其他数学家抄袭他的想法，在这段期间，魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。最后的结果是魏尔斯并不需要证明整个的“志村—谷山猜想”，他只要证明一些特定的椭圆形曲线是具备某种特性。但是这些特定的椭圆曲线还是有无穷多个，因此证明技巧上依然十分困难。魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法，他的办法有点像推倒骨牌的游戏，如果要推倒无限多张的骨牌，你必须确知的乃是一张骨牌倒下时，一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整，于是便在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。300年悬案终有解300多年数学悬案终于解决，不只数学界哗然震惊，数学门墙之外的社会大众亦感
储备公式 1.费马大定理（Fermat Last Theore m ）： 当2n >时，n n n x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当3n =时，3 3 3 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当4n =时，4 4 4 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当5n =时，5 5 5 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当7n =时，7 7 7 x y z +=无0xyz ≠的整数解； (2)n n n x y z n +=> 2.商高方程2 2 2 x y z +=满足(,)(,)(,)1x y y z z x ===，,x y 奇偶性不同的全体本原解为： 22222;;x pq y p q z p q ==-=+其中,p q 满足下面的条件： 0;(,)1;,p q p q p q >>=奇偶性不同 3.Fermat 无穷递降法 4.4n =时，Fermat 大定理证明过程 当4n =时，444 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 原理：无穷递降法和毕达哥拉斯三元数组 证明：用反证法。若有正整数解，那么在所有正整数解中，必有一组解 假如存在,,x y z 满足444 x y z +=，且满足(,)(,)(,)1x y y z z x === 初等数论（P99） 定理4：不定方程：442 x y z +=无0xyz ≠的解。 证：用反证法。假若方程有正整数解，那么在全体正整数解中，必有一组解000,,x y z ，使得0z 取得最小值。我们要找出一组正整数解111,,x y z ，满足10z z <，得出矛盾。 （1）必有00(,)1x y =。若不然，就有素数00|,|p x p y 。由此及式442 x y z +=推出 42200|,|p z p z 。因此，2 000000,,x p y p z p 也是方程的正整数解，这和0z 的最小性矛盾。因此，22 000,,x y z 是方程的本原解，00,x y 必为一奇一偶，不妨设02|y ，以及00(,)1z y =
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t
费马大定理的美妙证明 成飞 中国石油大学物理系 摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 0、费马大定理： 当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。 1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有 a b c 可见，线段a和线段b之和，就是线段c。 2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。 对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。 又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。 可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形， B c A 根据三角形余弦定理，有 c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。 3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。 此时，a,b,c也必构成三角形， B A 根据三角形余弦定理，有 c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π) 因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60o，180o），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，?）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b， 1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数； 等式两边同乘以c，有 c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么 c3 > a3+ b3 2、当cosɑ=?，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有 (a+b)c2 = a3+ b3 又因为a+b>c， 所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600） 那么，cosɑ=［0，?）时，更加满足c3 < a3+ b3 既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3， 那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。 即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。 4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，
学院 学术论文 论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大
定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。 【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。 当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。 据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。
费马大定理的简单证明 李联忠 （营山中学 四川 营山 637700） 费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。 证明： 当n=2时，有 222y x z += ∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1） 令 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得 222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-= ∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z += 当n=3时，有 333y x z += ∴ ))((22333y zy z y z y z x ++-=-= （2） 令 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得 ］ ［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +?+=)33(36332233m y m y m ++= 若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某正整数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++ ∴ )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ 则必有 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，而y,m,l 都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以363322)33(l m y m y =++不成立。即x 不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程333y x z +=无正整数解。 当n>3时，同理可证方程n n n y x z +=无正整数解。 定理得证。
一只会下金蛋的鸡 ——费马大定理 学了勾股定理，我们都知道直角三角形的三边满足关系式 a2+b2=c2， 同时还知道，有无数组正整数满足这个关系式。如果a、b、c的次数不是2，而是大于2的正整数，能不能找到正整数满足这个关系式呢？ 十七世纪，法国的一位法官、著名的业余数学大师费马，在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8个命题：“将一个平方数分解为两个平方数之和”时，在书的空白处写下了一段引人注目的文字：“要想把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地说，把任何高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法。可惜这里空白的地方太小，无法写下。”费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。这就是说，费马自称证明了定理： x n+y n=z n，（n≥3） 无正整数解。人称费马大定理，也称费马最后定理。为什么叫这个名称呢？因为费马提出了数论方面许多引人注目的、富有洞察力的结论，这些结论一直到他去世后很久才被人证明大多是正确的，只有一个是错的。到1840年左右，其中只剩下上述这一个结论还没有被证明，因此称为费马的最后定理。把该定理称为费马大定理，是用以区别费马小定理。费马小定理是费马在1640年10月18日给他朋友的一封信中传出去的，这定理说，若p是一个素数而a与p互素，则a p-a能被p整除。 费马真的证明了自己的定理吗？人们普遍持怀疑的态度。费马逝世后，他的后人翻箱倒柜，也只找到了n=4的证明。他是用直角三角形三边长为整数，面积决不是平方数这一事实来证明的。后来，有人经过详实的考证，认为费马不可能完全证明了自己的定理。 三百多年来，上百名最优秀的数学家为了证明它付出了巨大的精力，其中有欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利赫勒、拉梅、柯西、库默等。问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作，有些数学家，如库默和近代的范迪维尔，为此献出了毕生的精力。林德曼在1882年证明了π是超越数后，也终身研究费马定理，而未获结果。 布鲁塞尔和巴黎科学院曾设奖金悬赏数次，但也未得到解决。1908年，数学家佛尔夫斯克尔在哥廷根皇家科学会又悬赏十万马克，征求正确的证明。一大批业余爱好者也进行了尝试，并寄去了自己的解答。据说，著名的数论专家朗道请人印了许多明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士：你对费马大定理的证明已经收到，现予退回。第一个错误出现在第 页，第 行”。朗道将这些明信片分发给他的学生们，吩咐他们将相应的数字填上去。 最初的证明是从n=3开始一个数一个数的进行的。后来，库默经过终生的努力，“成
“费马大定理”的启示 “设想你进入大厦的第一间房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之间跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你经过6个月或者再长些的时间，你找到了开关，拉开了灯，突然整个房间充满光明，你能确切地明白你身在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此每一次这样的突破，尽管有的时候只是一瞬间的事，有时候是一两天的时间，但它们实际上是之前许多个月在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的”——1996年3月，维尔斯因证明费马大定理获得沃尔夫奖作为一个数学老师，数学是大多数学生讨厌的学科，而我们教师更多的只是告诉、教会学生就这么用，就这么做。怎么才能让学生不那么讨厌数学呢？我想应该从尊重数学开始。 当我第二次翻看《明朝那些事》时，我不禁又一次感慨：历史原来可以这样写？历史就应该这样写。本着这样的思维，在严谨的数学叙事中加上事件节点人物的历史，可能更有意思一些，最起码，让学生喜欢读，读的有趣味。从而使学生明白伟大的数学家是怎么影响整个世界的。尊重应该从这里开始。 这个念头一直萦绕脑海，直到我无意中打开选修3-1，才鼓舞起余勇，翻找资料，以费马大定理为主线说说几千年来数学家们前仆后继的历史。 首先，我们来看一个公式： 2 2 2z y x= +。 有人说：“这不就是勾股定理吗？直角三角形的两条直角边的平方等于斜边的平方。谁不知道？” 没错我们中国人知道勾股定理十分久远，公元前1100年，西周开国时期，周公与商高讨论测量时，商高就提到过“勾广三，股修四。径隅五”。这段话被记载于《周脾算经》中。而西方记载勾股定理的是哥伦比亚大学图书馆的泥版“普林顿322”大约公元前1900~公元前1600年的事。 但是中国人说的数学严格的说，应该叫算学。我国古代就有丰富的数学典籍[]1注，但是你看这些书籍的章节结构，就不难看出它鲜明的特点——实用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少广、商功、均输等，就字面意思也能看出它就是为了解决实际问题。 我们中国就是一个实用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用计较为什么这样，这也就是为什么我们的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流数学史中，我国数学家是没有太多地位的，说起这个就不得不说有一个让国人气愤的事情，1972年，美国数学史家莫里斯·克莱因的《古今数学思想》[]2注序言里有这么一段话：“为了不让本书内容漫无目的的铺张，所以有些民族的数学我们就自动忽略了，如：日本、玛雅、中国。”他还说：“他们的数学对世界人类的主流思想是没有什么贡献的。”很让人不服气的说法，但是你回到数学历史的主流，不难发现我国的算学，跟世界主流数学的目的就不一样。 言归正传，我们回到古希腊。说道古希腊，就不得不提一个人——毕达哥拉斯。我们引以为豪的勾股定理，在初中的课本中也是用的毕达哥拉斯定理来引入的。毕达哥拉斯定理和勾股定理的区别就在于他们要证明这个结论。从这里你就可以发现东西方数学的区别，西方数学史这种死心眼般的研究精神，完全就是一种剔除了理性的宗教迷狂，是一种不出于实用的目的完全的智力上的比拼竞赛。就是佛教里的“贪嗔痴”！比如那些著名的数学问题：“四色问题”，不就是四种颜色就可以区分出复杂地图的行政区域么，放在我国，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚为什么？还有“哥德堡七桥问题”，就是不重复的走过七座桥，对中国人来说
费马大定理是怎么证明的 已故数学大师陈省身说道，20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚—辛格指标定理，另一个是费马大定理。当然，20世纪的重大数学成就远不止这两个，不过这两大成就却颇具代表性，特别是从科普的角度来看。 说实在的，数学虽然总是居于科学之首，可是一般人对数学可以说几乎一无所知，尤其是说到数学有什么成就、有什么突破的时候。理、化、天、地、生，门门都有很专门的概念、知识、技术，可不久之前的大成绩很容易就可以普及到寻常百姓家。激光器制造出来还不到50年，激光唱盘早已尽人皆知了，克隆出现不到10年，克隆这字眼已经满天飞了。即使人们不太懂黑洞的来龙去脉，一般人理解起来也不会有太大障碍。可是有多少人知道最新的数学成就呢？恐怕很难很难。数学隔行都难以沟通，更何况一般人呢。正因为如此，99%的数学很难普及，成百上千的基本概念就让人不知所云，一些当前的热门，如量子群、非交换几何、椭圆上同调，听起来就让人发晕。幸好，还有1%的数学还能对普通的人说清楚，费马大定理就是其中的一个。 费马大定理在世界上引起的兴趣就正如哥德巴赫猜想在中 国引起的热潮差不多。之所以受到许多人的关注，关键在于它们不需要太多的准备知识。对于费马大定理，人们只要知道数学中头一个重要定理就行了。这个定理在中国叫勾股定
理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。它的内涵丰富，从数论的角度看就是求不定方程（即变元数多于方程数的方程）X2+Y2=Z2的正整数解。中国在很早已知（3，4，5）是这个方程的一个解，也就是32+42=52，其后也陆续得到其他解，最后知道它的所有解。这样，一个不定方程的问题得到圆满解决。 数学家的思想方向是推广，这个问题到了17世纪数学家费马的手中，就自然问，当指数变是3,4……时，又会怎样？这样费马的问题就变成不定方程Xn+Yn=Znn=3，4，……是否有正整数解的问题。费马误以为自己证明了对于所有n≥3的情形,这个方程(不妨称为费马方程)都没有正整数解，实际上，他的方法只证明n＝4的情形。不过，这个他没有证明的定理还是被称为费马大定理。 这样一个叙述简单易懂的定理对于后来的数学家是一大挑战，其后200多年，数学家只是部分地解决了这个问题，可是却给数学带来丰富的副产品，最重要的是代数数论。原来的问题却成为一个难啃的硬骨头。20世纪初，有人悬赏10万德国马克，征求费马大定理的证明，成千上万的错误证明寄到评审机构那里，其中几乎没有什么真正的数学家。本书的第四章生动地描写了其中的故事。 有时我们把这些人称为业余数学爱好者，近来称之为民间科
我用概率证明了费马大定理 章丘一职专马国梁 1637年，法国业余数学家费马在一本著名的古书——丢番图的《算术》中的一页上写了如下一段文字： “分解一个立方为两个立方之和，或分解一个四次方为两个四次方之和，或更一般地分解任一个高于二次方的幂为两个同次方的幂之和均不可能。对此我发现了一个奇妙的证明，但此页边太窄写不下。” 用数学语言表达就是说，当指数n > 2时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解。这就是著名的连小学生都能看懂的费马猜想。 可是在这个猜想提出后，那个重要的“奇妙证明”不论在费马生前还是死后始终没有被人见到，且后人也再没有找到，所以人们怀疑那个证明根本就不存在或者是在什么地方搞错了。费马生前只是证明了n = 4 的情况；直到1749年，才被欧拉证明了n = 3 的情况。 这个猜想看上去是如此的简单，让局外人根本无法想象证明它的艰难，所以曾经让不少人跃跃欲试。他们搜肠刮肚，绞尽脑汁，耗费了无数的精力。三百多年来，虽然取得了很大进展，显示了人类的智慧，但问题总是得不到彻底解决。直到1995年，才由英国数学家怀尔斯宣称完成了最后的证明。从此费马猜想变成了真正的“费马定理”。 对费马定理的证明之所以艰难，是因为在整数内部有着极其复杂微妙的制约机制，要想找到这些制约关系，必须深入到足够的程度进行细致的分析才行。所以三百多年来，虽然有不少数学大家还有广大业余爱好者不畏艰难，前赴后继，顽强奋斗，但怎奈山高路远，歧途太多，终归难免失败。 在这样的现实下，笔者明白自己也是局外之人，所以不可能去钻这个无底的黑洞。但是作为一种乐趣，我们不妨另外开辟一条渠道，进行旁证和展望。试用概率计算一下：看看费马猜想是否成立，又成立到什么程度。虽然这在数学界难以得到公认，但是我们歪打正着，乐在其中。因为对于决定性的现象，如果其决定因素和控制过程过于复杂，那么其结果是可以用概率理论进行推算的。 但是要证明费马猜想究竟应该从何处下手呢？对此笔者心中一直有一个强烈的直觉。 我们知道：当n = 1 时，x + y = z 可有无数组解。在正整数中，任何两个整数相加的结果必然也还是整数。 但是当n = 2 时，方程x^2 + y^2 = z^2 的解就没有那么随便了，它们必须是特定的一组组的整数。其组数大大减少。 而当n = 3 时，方程x^3 + y^3 = z^3 则根本就没有整数解了。那么其原因是什么呢？ 对此笔者曾经思考了多年。但没想到只是在近几天才一下子开了窍，找到了问题的关键。原来是：指数越大，整数的乘幂z^n在数轴上的坐标点就越稀疏，从而使任意两整数的同次方幂之和x^n + y^n 落在坐标点上成为整数的可能性就越小。其概率是z^n 的导数的倒数。即每组x^n + y^n 能够成为整数的可能性只有 η= 1/[n z^(n-1)] = 1/ [n (x^n + y^n )^(1-1/n) ] 当x、y在平面直角坐标系的第一区间随意取值时，我们可以用积分的办法算出其中能够让z成为整数的组数。其公式为 N =∫∫ηdx dy =∫∫[(dx dy) / (n (x^n + y^n )^(1-1/n))] 因为在平面直角坐标系上，当z 一定时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是个正圆； 而由方程x^n + y^n = z^n 所决定的曲线则是一个近似的圆； 只有当n 趋于无穷大时，它的曲线才能成为一个正方形。 所以当n较小时，我们是可以把方程的曲线当作一个圆来处理的。这样以来，N的积分公式就变成了 N =∫[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))] ①当n = 1 时，由方程x + y = z 所决定的曲线是一条斜的直线。它在第一象限的长度是sqrt(2) z ，此时能够成为整数的概率是100%，即η= 1/[n z^(n-1)] = 1 所以N =∫sqrt(2) z dz = [1/sqrt(2)] z^2 即与z的平方成正比，这意味着在坐标系的第一象限中，遍地都是解。仔细想想这也可以理解。因为不论x还是y，都是可以取任意整数的；而正整数的数量是无穷多，所以它们的组合数将是无穷多的平方，为高一级的无穷多。 ②当n = 2 时，由方程x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是一个正圆。在第一象限是一段1/4 的圆周，其长度是0.5πz ；此时η= 1/[2 z ] 所以N =∫(0.5πz dz / (2 z) ) = (π/4) z
费马原理 定义： 最小光程原理。光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。 应用学科： 费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。 地震学中的费马原理 地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。 光学中的费马原理 光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。在大部分情况下，此极值为最小值，但 有时为最大值，有时为恒定值。 费马原理详解 光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理， 法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。 费马原理对折射定律的证明 假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y 轴，在入射光线上任取一点A(x1, y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x2, y2)。
【费马大定理】 彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官. 费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美. 著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来." 用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程: x2+y2=z2 的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2 而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程 x n+y n=z n 不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来. 尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程: x4+y4=z4 有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2 得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有: ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2 于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的. 对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一
费马定理
可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使a b a f --=) (f )b ()(f ' ξ． 证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x (' =f 在() b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情 形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (a b a f x ---=?．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (?在[]b ,a 上 连续，在()b ,a 上可导，且()a a b b a bf ??=--=)(f )a ()b (，这就是说)x (?满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有 一点ξ，使得()0)(f )b (f )(' ' =---=a b a f ξξ?．即()a b a f --=) (f )b (f ' ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g ' ≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使 ()()()() ξξ''g )(f )b (g f a g b a f = --． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g ' 在()b ,a 内存在零点， 因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()() ()()()a g a g b a f x F ----=x g g ) (f )b ()(f )x (．由