A B
C
D
数学必修四平面向量测试题 (2.4~2.5 数量积、应用举例)
A 组
一、选择题:共6小题
1、(易 数量积)平面向量a 与b 的夹角为60o
,(1,0)=a ,1=b ,则2+a b =( ) A.7
C.4
D.12
2、(易 数量积)已知正ABC △的边长为1,且BC =u u u r a ,CA =u u r
b , 则-a b = ( )
B 3
D.1
3、(易 投影概念)已知a =5,b =3,且12?=-a b ,则向量a 在向量b 上的投影等于( )
A.
125 B.4 C.125
- D.4- 4、(中 应用举例)设P 是曲线1
y x
=上一点,点P 关于直线y x =的对称点为Q ,点O 为坐
标原点,则OP OQ ?=u u u r u u u r
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
5、(中 数量积)在ABC △中,BC =u u u r a ,CA =u u u r b ,AB =u u u r
c ,且???a b =b c =c a ,则ABC △的形
状是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.正三角形 6、(中 应用举例)已知偶函数()f x 满足:()(2)f x f x =+,且当[0,1]x ∈时,()sin f x x =,
其图象与直线1
2
y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P L ,则1324
PP P P ?u u u u r u u u u r 等于( ) A.2 B.4 C.8
D.16
二、填空题:共3小题
7、(易 数量积)如图,在边长为1的棱形ABCD 中,22
AC BD += .
8、(中 数量积)已知a (2,1)=,b (,1)=λ,λ∈R ,a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .
9、(中 数量积)在△ABC 中
,2,2
AB BC A π
=
=∠=
,
≥-恒成立,则实数t 的取值范围是 . 三、解答题:共2小题
10、(中 应用举例)设集合{=D 平面向量},定义在D 上的映射f ,满足对任意x D ∈,均有
f (x ) =λx (λ∈R 且0λ≠).若︱a ︱=︱b ︱且a 、b 不共线,则(f ( a ) -f (b ))
(a+b )= ;
若)8,4(),6,3(),2,1(C B A ,且()f BC AB =u u u r u u u r
,则λ .
11、(中 数量积)给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r
,它们的
夹角为90o
.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB uuu r
上变动,若
OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r
,其中,x y ∈R ,则xy 的范围是________.
B 组
一、选择题:共6小题
1、(中 数量积)已知平面向量11(,)x y =a ,22(,)x y =b ,若||2=a ,||3=b ,6?=-a b ,则
11
22
x y x y ++的值为 ( )
A.2-
B.2
C.23-
D.23
2、(中 数量积)在平面直角坐标系xOy 中作矩形OABC ,已知3,4==AB OA ,则AC → ·OB →
的值为( )
A.0
B.7
C.25
D.-7
3、已知非零向量,a b 若1==a b ,且⊥a b ,又知(23)+⊥a b (k 4)-a b ,则实数k 的值为
( )
A.6
B.3
C.-3
D.-6
4、(中 数量积)已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ,0=?b a ,且2y =-+??=-?
a x y
b x ,则|
y ||x |+等于( )
+2 D.5
5、(中 应用举例)如图,O,A,B 是平面上的三点,向量OA =u u u r
a , OB =u u u r
b ,设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点,
向量OP =u u u r
p ,若a =4,b =2,则()?-p a b =( )
A.8
B.6
C.4
D.0
6、(中 应用举例)设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:?a b 是一个向量,它的模
?=?a b a b
sin θ?,若(1)
=-a ,=b ,则?=
a b ( ).
C.2
D.4
二、填空题:共3小题
7、(中 数量积)已知向量24,11()(),,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是
.
8、(中 应用举例)设向量,a b 满足:||3=a ,||4=b ,0?=a b .以,,+a b a b 为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个.
9、(中 数量积)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若在
Rt ABC △中,AB uuu r
=i +j ,AC uuu r =2m +i j ,则实数m = .
三、解答题:共2小题
10、(中 应用举例)已知a =(1,0),b =(0,1),若向量c =(,)m n 满足()()-?-=a c b c 0, 试求点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值.
11、(中 数量积)如图4,已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点B .
(1)若⊥,求向量; (2)求||OB OA +的最大值.
C 组
解答题:共2小题
1、(难 应用举例)已知向量(2,1)AB k =--u u u r ,(1,)AC k =u u u r
.
(1)若ABC △为直角三角形,求k 值;
(2)若ABC △为等腰直角三角形,求k 值.
2、(难 数量积)在平面直角坐标系中,已知向量(1,2),a =-又点
(8,0),(,),A B n t (sin ,)C k t θ
(0)2θπ
≤≤.
(1)若AB a ⊥u u u r ,且(AB OA O =u u u r u u r
为坐标原点),求向量OB uuu r ;
(2)若向量AC u u u r 与向量a 共线,当4k >,且sin t θ取最大值4时,求OA OC ?u u u r u u u r
.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。