线性代数模拟题A
?单选题. 1?下列( A )是4级偶排列.
(A) 4321;
(B) 4123;
(C) 1324;
(D) 2341 .
2. 如果
an a 12
a 13
4an 2an 3a 〔2 a 13
D
a
21 a
22 a
23
1, D 1
4a
21 2a 21
3a ?2 a
23
a
31
a
32
a
33
4a
31
2a
31
3a 32
a
33
那么D 1
( B ) ?
(A)
8;
(B) 12 ;
(C) 24; (D)
24
.
3.设A 与B 均为n
n 矩阵,满足
AB O ,则必有(
C ) .
(A) A
O 或 B O ;
(B) A B
O ;
4.设A 为n 阶方阵(n 3),而A *是A 的伴随矩阵,又k 为常数,且k 0, 1,则必有kA 等于(B )?
(A) kA * ;
( B) k n 1
A * ;
( C) k n
A * ;
(D) k 1
A* .
5.向量组1, 2,?…,s 线性相关的充要条件是(
C )
(A )
1
, 2,?…,s 中有一零向量
(B) 1
, 2 ,...., s 中任意两个向量的分量成比例 (C) 1
, 2 ,...., s 中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) 1
, 2 ,...., s 中任意一个向量都是其余向量的线性组合
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4
8.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1/2,1/3,14,1/5
(C ) A 0 或 B 0 ;
(D ) A B 0.
6.已知
2是非齐次方程组
Ax b 的两个不同解,
2是
AX 0的基础解系,匕,k ?
为任意常数, 则Ax b 的通解为(
(A) k 1 1
k
2
( 1
2)
(B) k
1 1 k 2(
1
(C) k 1 1
k
2 (
1
(D) k
1 1
k
2(
1
2)
7.入=2是A 的特征值,则 (A 2
/3) 的一个特征值是( -1
,贝U 行列式|B
-
(a)0 (b)24 (c)60 (d)120
9.若A是(A ),则A必有A A .
(A)对角矩阵;(B) 三角矩阵;(C)可逆矩阵;(D)正交矩阵
10.若A为可逆矩阵,下列( A ) 恒正确.
(A) 2A 2A ;(B)
1 1
2A 2A 1;
(C) (A 1) 1(A) 1 ; (D)
1 1 1
(A) (A1)1.
二?计算题或证明题
1.设矩阵
3 2 2
A k 1 k
4 2 3
(1)当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得1AP为对角矩阵?
(2)求出P及相应的对角矩阵。
参考答案:
2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入,A* 是 A的伴随矩阵,设|A|=d,证明:d/入是 A*的一
个特征值。
参考答案:
3. 当a 取何值时,下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,求其解.
2时,无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示.
1
0 3
2 1
1
3
1
1
1
2
“ ,
3
J
4
,
5
2
1 7
5 2
4
2
14
6
参考答案:
极大无关组为: a-i , a 2, a 4,且a 3 3a 1 a 2 , a 5 5. 若A 是对称矩阵,B 是反对称矩阵,试证:
AB BA 是对称矩阵.
参考答案:
ax i X 2 X 3 X i ax 2 X 3
X i X 2 ax 3
1, 2时有唯一解:
X i
a 1
F_2,X2 1 F_2,X3
(a 1)2
a 2
X i 1时,有无穷多解:
X 2 X 3
1 k 1
k 1
k
2
k
2
参考答案:
线性代数模拟题B
?单选题.
1.若( 1) N(1k4l5) a11a k2a43aga55是五阶行列式a ij 的一项,则k、l的值及该项符号为
(A )?
(A) k 2 , l 3,符号为负;(B) k 2 l 3符号为正;
(C) k 3, l 2,符号为负;(D) k 1 , l 2,符号为正.
2.下列行列式( A )的值必为零.
2
(A)n阶行列式中,零元素个数多于n n个;
(B)n阶行列式中,零元素个数小于n2 n个;
(C)n阶行列式中,零元素个数多于n个;
(D)n阶行列式中,零元素的个数小于n个.
3.设A,B均为n阶方阵,若A B A B A2 B2,则必有( D )?
(A) A I ;(B) B O ;(C) A B ;(D) AB BA.
4.设A与B均为n n矩阵,则必有( C ).
(A) A B A B;( B) AB BA;(C) AB BA ; (D) A B A 1 B
5.如果向量可由向量组1, 2,?…,S线性表出,则( D )
(A)存在一组不全为零的数k i,k2,....,k s,使等式k i 1 k2 2
(B)存在一组全为零的数k i,k2,....,k s,使等式k i i k2 2
(C)对的线性表示式不唯一
(D)向量组,1, 2,...., s线性相关
6.齐次线性方程组Ax 0有非零解的充要条件是( C )
(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关
(B)系数矩阵A的任意两个列向量线性无关
(C )必有一列向量是其余向量的线性组合
(D)任一列向量都是其余向量的线性组合
7.设n阶矩阵A的一个特征值为入,则(入Ar)2+ I必有特征值(C )
(a)入2+1 (b)入2-1 (c)2 (d)-2
k s s成立k s s成立
8.已知
A 0 0 a 与对角矩阵相似,则a =( A )
⑻0 ; (b) — 1 ; (c) 1 ; (d) 2
(A) AB C (C B) A ; (B) (A B)C AC BC ;
(C) (AB)C A(BC); (D) (AB)C (AC)B.
10.下列矩阵( B )不是初等矩阵.
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
(A) 0 1 0 ;(B)0 0 0 ;
( C)0 2 0 ; (D) 0 1 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
计算题或证明题(
1 0
1.已知矩阵A, 求A10。其中A
1 2
参考答案:
1 0
2〔0 210
2.设A为可逆矩阵,入是它的一个特征值,证明:入工0且入-1是A1的一个特征值。参考答案:
A101
3.当a取何值时,下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,求其解.
4. 求向量组的秩及一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表
示.
1
1 1 1
2
1
1 0
1
,,
2
“ 7 3
_ 7 4
0 3 1 2
4
1
1
2
参考答案:
极大无关组为: a 2,a 3,a 4,且a i a ? a 3 a 4
5. 若A 是对称矩阵,T 是正交矩阵,证明 T 1
AT 是对称矩阵.
a^ X 2 X 3 a 3
X i ax 2 x 3 2 X i 、 x 2 ax 3
2
参考答案:
当a
1, 2时有唯一解: x
X 1 当a 1时,有无穷多解: X 2
X 3 当a 2时, 无解。
a 1 3 3
X
,X 3
a 2 a 2 a 2
2 K k 2
k i
k
2
参考答案:
线性代数模拟题C
m ,依下列次序对 a j 进行变换后,其结果是( C ) ?
交换第一行与第五行,再转置,用 2乘所有的元素,再用-3乘以第二列加于第三列,
最后用4除第二行各元素.
3x ky z 0
kx 5y z 0
(A) k 0 或 k 1 ; (B) k 1 或 k 2 ; (C) k 1 或 k 1 ; (D) k 1 或 k 3 ?
3.
设A , B ,
C , I 为同阶矩阵,若ABC I ,则下列各式中总是成立的有
(A )?
(A) BCA I ; (B) ACB I ; (C) f BAC I ; (D) CBA
4.设 A , B , C 为同阶矩阵, 且 A 可逆, 下式( A )必成立. (A )若 AB AC ,贝U B C ; (B) 若AB CB ,则 A C ; (C)若 AC BC ,则 A B ; (D 若BC O ,则B O ?
5.若向量组仁 ,2,?…,s 的秩为r ,则( D )
(A )必定r
(B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意个r 1向量必定线性相关 6.设向量组
1
, 2, 3线性无关,则下列向量组线性相关的是(
C )
(A) 1
2
,
2
3
,
3 1
;
(B) 1
,
1
2
,
3
2 1
(C)
1 2
,
2
3
,
3 1
;
(D)
1 2
,2
2
3
,3
3
7.设A 、B 为n 阶矩阵, 且A 与B 相似, I 为n 阶单位矩阵,则(
B )
(a) 入I-A =入I-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量
(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵
(d)kI-A 与kI-B 相似(k 是常数)
8. 当(C )时,A 为正交矩阵,其中
(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组 1, 2, 3, 4线性无关,则向量组( C )
(A)
1 2
,
2
3
,
3
4
,
4 1 线性无关;
?单选题.
1.设五阶行列式a j
(A) 8m ;
(B) 3m ; (C) 8m ;
(D)丄 m ?
4
2.如果方程组
4y z 0有非零解,则( D )?
2
2. 如n 阶矩阵A 满足A=A,证明:A 的特征值只能为 0或-1。 参考答案:
3?当a 、b 取何值时, 下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?有解时,求其解
X 1 2x 2
2x 3 2x 4 1
X 2
X 3 X 4
1
x X 2 X 3 3X 4
a x
1
X
2
X 3 5X 4
b
参考答案:
(C) 1 2
,
2
3
,
3
4
,
4
(D)
1
2
,
2
3 ,
3
4
,
4
10.当
A (
B
) 时,有
a
a 2 a 3
A
a
b 2 b 3
c C 2 C 3
1 0 0
1 0
(A )
0 1 0 ; (B) 0 1
3 0 1
0 0 二?计算题或证明题
1. 设A ? B,试证明
(1)A r
m
?B H (m 为正整数 )(2) 如 A 可 参考答案:
a 1 3c 1 a ? 3c ?
a 3
3c
3
b 1 b 2
b>3
C 1 C 2
C 3
3
0 0 3
1 0 0 0 ;(C)
0 1 0 ;(D) 0 1 0 1
1 0
1
0 3 1
1线性无关;
1线性无关.
,贝U B 也可逆,且A 一1
?B ^1
参考答案
不能被1, 2, 3线性表示。
5.若方阵A 可逆,则A 的伴随矩阵 A *也可逆,并求出 A *的逆矩阵.
参考答案: 证明,
1 I A|
当 a=0, b =
—2时有解 4.判断向量
能否被 10
X i
X 2 X 3 X 4 1 k 2
1 k 1 k
2 k 1
k 2
3线性表出,若能写出它的一种表示法.
(A*)
离散数学试卷 (参考答案)
一、
选择题
1、设 A {{ 1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},下列选项正确的是:(3)
(1)1 A
(2){1,2,3} A
(3){{ 4,5}} A
(4)
A
2、对任意集合 A,B,C ,下述论断正确的是: :(1)
(1)若 A B,B C ,则 A C (2)若 A B, B C ,则A C (3)若 A B, B C ,则 A C
(4)若 A B,B
C ,则A C
3、假设A {a,b,c}上的关系如下,具有传递性的关系是:
(4)
(1)
{ a,c c,a a, a a, b b, a } (2
)
{ a,c c, a a,a }
(3)
{ a,c c,a }
(4)
{ a,c }
4、非空 集
合
A 上的空关系 R 不具备下列哪个性质:(1) (1)
自反性 (2)反自反性 (3) 对称性 (4)传递性 5、假设 A {a,b,c}, B {1,2}
,
令:f : A B
,则不同的函数个数为:(2) (1)
2+3个
(2:
)23
个
(3) 2 3个
(4) 32
个 6、假设 A
{a,b,c}
,
B {1,2}
,
下列哪个关系是
A 到
B 的函数:
(3)
(1)
f { a,1 a,2
b,1 b,2 c,1 c,2 }
(2)
f { a, a a,b b,a b,b c,a
c, c }
(3)
f
{ a,1
b,2
c,1 }
(4
)
f { 1,a 2,b 1,c }
7、一个无向简单图 G 有m 条边,n 个顶点,则图中顶点的总度数为:
(3)
2 2
(1)m ( 2)n
( 3)2m ( 4)2n 8、一个图是欧拉图
是指:(1)
(1) 图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次;
(2)图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次;
(3)图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次;
(4)图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
9、下面哪一种图不一定是树:(3)
(1)无回路的连通图(2)有n个顶点n 1条边的连通图
(3)每一对顶点之间都有通路(4)连通但删去一条边则不连通的图.
10、完全m叉树中有I片叶,i个分支点,则有它们之间的关系表达式是:(2)
(1)i I 1 (2)(m 1)i 1 I (3)(m 1)i I (4)(m 1)l i 1 、填空题
30,x 整数},B {x| x是素数,x 20},C {1,3,5}
(1)(A B) C {1^ 2,3,5}:
(2)(B A) C {1,3,5,7,11,13,17,19}:
(3)(C A) (B A) {7 ,11,
13,19}:
(4) (B C) A
2、假设A {123,4}上的关系R { 1,2 },则:
(1)r(R) {<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}
(2)s(R) {<1,2>,<2,1>};
(3)t(R) {<1,2>};
3、设无向图G有12条边,有3个3度的顶点,其余顶点度数均小于3,则G中至少有」1 个顶点。
4、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则有 9片叶。
5、假设P :我有时间,Q :我去图书馆。
1、假设A {x|x2
三、假设A、B是任意两个集合,证明:(A) (B) (A B)。
证明:对X p(A) p(B)
则X p(A)或者X p(B)
由幕集定义可知:X A或者X B
所以X A B
因此X p(A B)
故(A) (B) (A B)
四、假设N是自然数集合,定义N {0}上的二元关系R
R { x, y | x, y N {0}, x y是偶数}。
证明:R是一个等价关系,并求出关系 R所确定的等价类。
证明:(1)对x N {0},则x x是偶数,所以R是自反的;
对x, y N {0},假设x, y R,则x y是偶数,而y x也是
偶数
所以y,x R,故R是对称的;
对x, y,z N {0},假设x, y R,y, z R
则有x y,y z是偶数;
若x是偶数,由于y z是偶数,所以z也是偶数,则x z是偶数
若x是奇数,由于x y是偶数,所以y是奇数,
又因为y z是偶数,所以z是奇数,因此x z是偶数
所以R是传递的。
综上R是等价关系。
(2)当x是偶数时,[X]R { y| y N {0}并且y是偶数}
最小元,极大元,极小元。
(1) A {2,3,6,12,24,36
}
(2) A{1,3,5,9,15,45}
(3) A3 {2,4,8,16}
解:(1)没有最大元和最小元;极大元是 24,36。
六、令 V = {a, b, c, d, e}, E = {aa, ab, ab, ba, cd,
ca, dd, de},
G =
解:
五、对下列集合在整除关系下构成的偏序集,画出Hasse图,并写出最大元,
? c
(2)最大元和极大元是45,最小元和极小元是
(3)最大元和极大元时16,最小元和极小元是
(1)
离散数学模拟卷2参考答案
一、选择题
1请指出下列选项中哪一个是错误的:(2)
(1)( 2)(3){ } (4
)
{ }
2、对任意集合A,B,C,下述论断正确的是:(1)
(1 )若A B,B C,则A C (2)若A B, B C,则A C
(3)若A B, B C,则A C (4)若A B,B C,则A C
3、假设A {a,b,c}上的关系R {a,a a,b a,c c,a } ,那么,R是:(4)
(1 )反自反的(2 )反对称的(3)可传递的(4)不可传递的
4、非空集合A上的空关系R不具备下列哪个性质:(1)
(1)自反性(2 )反自反
性
(3)对称性(4)传递性
5、若f : A B,g : B C是满射函数,则复合函数g f必是:(3)
(1 )双射函数(2 )单射函数(3)满射函数(4)不单射也不满射
6、假设A{a,b,c},B {1,2},下列哪个关系是A到B的函数:(3)
(1)f { a,1 a, 2 b,1 b,2 c,1 c,2 }
(2) f {a,a a,b b, a b,b c, a c, c }
(3) f {a,1 b,2 c,1 }
(4)f { 1,a 2,b 1,c }
7、一个无向简单图G有m 条边,n个顶点,则图中顶点的总度数为:
(3)
2
(1)m(2) 2 n (3)2m
(4
)
2n
8、一个图是哈密顿图是指:(3)
(1 )图中包含一条回路经过图中每条边一次且仅一次;(2)图中包含一条路经过图中每条边一次且仅一次;(3)图中包含一条回路经过图中每个顶点一次且仅一次;
(4 )图中包含一条路经过图中每个顶点一次且仅一次。
9、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则其1度的顶点数为:(2)
(1) 5 (2) 7 ( 3) 8 (4) 9
10、完全m叉树中有I片叶,i个分支点,则有关系式是:(2)
(1)i I 1 (2)(m 1)i 1 I (3)(m 1)i I
(4)(m 1)l i 1
二、填空题
1、假设A {{a,b}, {c}}, B {{ a}, {b}, {c}}试求出:
A 的幕集(A) { .{{a.b}}.{{c}}.{{a.b}.{c}}} ;
2、假设A {x|x230,x 正整数},B {x|x是正奇数,x 20},C {1,3,5}
(1)(C A) (B A) {7,9,11,13,15,17,19};
(2)(B C) A
3、假设A {1,2,3,4}上的关系R { 2,3 },则:
(1)r(R) {<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>};
(2)s(R) {<2,3>,<3,2>};
(3)t(R) {<2,3>};
4、假设A {1,2,3},f,g,h 是A 到A 的函数,其中:(a) f(1) f (2) f (3) 1;( b)
g(1) 1,g(2) 3,g(3) 2 ;(c) h(1) 3,h(2) h(3) 1 ;则:
(1) g_是满射;(2) g_是双射;
5、设无向图G有36条边,有6个3度的顶点,其余顶点度数均小于 3,则G中至少有33 个顶点。
6、假设P :今天天气好,Q :我就去锻炼身体。
(1)命题“如果今天天气好,我就去锻炼身体”符号化为巳4 ;