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全国2006年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设z=1+2i ，则Im z 3=（ ）
A.-2
B.1
C.8
D.14
2.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ）
A.直线
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
3.ln(-1)为（ ）
A.无定义的
B.0
C.πi
D.(2k+1)πi(k 为整数)
4.设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ）
A.x 2-y 2+2xy
B.x 2-y 2-2xy
C.x 2+y 2+2xy
D.x 2+y 2-2xy
5.设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（
）
A.x 2-3xy 2
B.3xy 2-x 3
C.3x 2y-y 3
D.3y 3-3x 3
6.设C 为正向圆周|z|=1，则?=C 2z dz （
） A.0 B.1
C.πi
D.2πi
7.设C 为从-i 到i 的直线段，则?=C dz |z |（ ）
A.i
B.2i
C.-i
D.-2i
8.设C 为正向圆周|z|=1，则?=-C
z dz 1e z
sin （ ） A.2πi ·sin 1 B.-2πi
C.0
D.2πi
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9.复数列i 2n n e z π=
的极限为（ ） A.-1
B.0
C.1
D.不存在
10.以z=0为本性奇点的函数是（ ） A.z
z sin B.)1z (z 1- C.2z z
cos 1- D.z
1sin 11.1e 1)z (f z -=
在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为（ ） A.πi
B.2πi
C.π
D.2π 12.设∑∞==0n n !
n z )z (f ，则f (10)(0)为（ ） A.0
B.!101
C.1
D.10！
13.设函数22iz )1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（ ）
A.0
B.4ie -
C.4ie
D.4
e 14.把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（ ） A.1z 1z w +-= B.z
1)1z (i w -+= C.z 11z w -+= D.1
z )1z (i w +-= 15.w=e z 把带形区域0 A.上半复平面 B.整个复平面 C.割去负实轴及原点的复平面 D.割去正实轴及原点的复平面 二、填空题（本大题共5小题，每小题2 分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.arg(3-i)=___________. 17.对数函数w=ln z 的解析区域为___________. 第 3 页 18.设C 为正向圆周|z|=1，则积分?=C dz z 1 ___________. 19.设i 1a a lim n 1n n +=+∞→，则幂级数∑ ∞=+0n n n z 1n a 的收敛半径为___________. 20.设C 为正向圆周?=ξ-ξξ =<=ξC 3d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当___________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.求方程z 3+8=0的所有复根. 22.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 23.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数. 24.设C 为正向圆周|z|=1，计算积分? +-=C 2 .dz )2z )(21z (z sin I 25.计算积分?-=C 3z dz )a z (e I ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1. 26.(1)求 z 1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2 z 1 在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式. 27.求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径. 28.计算积分? +-=C 2dz z )i 1(z 1I ，其中C 为正向圆周|z|=2. 四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分） 29.（1）求) 4z )(1z (1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分?+∞∞-++=)4x )(1x (dx I 22. 30.设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射： （1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0； （2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2； （3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3； （4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z). 31.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中???≤>=-. 0t ,00t ,te )t (f t 中国自考人(https://www.doczj.com/doc/de18450089.html,)——改写昨日遗憾 创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！ 中国自考人(https://www.doczj.com/doc/de18450089.html,)——700门自考课程永久免费、完整在线学习快快加入我们吧！ 第 4 页 第 5 页 第 6 页 中国自考人(https://www.doczj.com/doc/de18450089.html,)——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！ 第 7 页
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