（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的
数列问题教师用书
1．(2016·金华十校高三上学期调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 2＝a 3，且
a 1，a 2，a k 成等比数列，则k 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 D
解析 设公差为d ，则2＋d ＝1＋2d ， ∴d ＝1，∴a n ＝n ，
由a 2
2＝a 1·a k ，得4＝1×k ，∴k ＝4.
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??
??
??
1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101 C.
99100D.101100
答案 A
解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
∵a 5＝5，S 5＝15，∴?
???
?
a 1＋4d ＝5，5a 1＋－
2d ＝15，
∴?
??
??
a 1＝1，
d ＝1，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴
1
a n a n ＋1
＝
1
n n ＋＝1n －1n ＋1
， ∴数列??
?
?
??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．(2016·杭州学军中学模拟)已知等比数列{a n }的公比q >0，前n 项和为S n .若2a 3，a 5,3a 4成等差数列，a 2a 4a 6＝64，则q ＝________，S n ＝________. 答案 2 2n
－1
2
解析 由a 2a 4a 6＝64，得a 3
4＝64，解得a 4＝4. 由2a 3，a 5,3a 4成等差数列，得2a 4q ＝3a 4＋2a 4
q
，
即8q ＝12＋8q ，解得q ＝2或q ＝－1
2(舍去)．
又a 1q 3
＝4，所以a 1＝12，所以S n ＝
12－2
n
1－2
＝2n
－1
2
.
4．(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 答案 －1
n
解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n
S n S n ＋1＝1，即
1
S n ＋1－1S n
＝－1，故数列????
??1S n 是以1S 1
＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1
S n
＝－1
－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1
n
.
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 (2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中
q >0，n ∈N *.
(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2)设双曲线x 2
－y 2a 2n
＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2
n .
解 (1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1
.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2. 所以a n ＝2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)由(1)可知，a n ＝q
n －1，
所以双曲线x 2
－y 2a 2n
＝1的离心率e n ＝1＋a 2
n ＝1＋q
n －
.
由e 2＝1＋q 2
＝2，解得q ＝3， 所以e 2
1＋e 2
2＋…＋e 2
n
＝(1＋1)＋(1＋q 2
)＋…＋[1＋q 2(n －1)
]
＝n ＋[1＋q 2
＋…＋q
2(n －1)]
＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12
(3n
－1)．
思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
已知首项为32
的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *
)，且S 3＋a 3，
S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *
)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，
于是q 2
＝a 5a 3＝14
.
又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1
2.
故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ????－12n －1
＝(－1)
n －1
·32
n . (2)由(1)，得S n
＝1－? ????－12n
＝?????
1＋1
2n
，n 为奇数，1－12n
，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1
2
，
故0
6.
当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以3
4
＝S 2≤S n <1，
故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7
12.
综上，对于n ∈N *
，总有－712≤S n －1S n ≤56
.
所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－7
12.
题型二 数列的通项与求和
例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .
(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①，得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴
a n ＋1－1a n －1＝1
2
，∴{a n －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.
又c n ＝a n －1，
∴{c n }是以－12为首项，1
2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n
，
∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n
.
∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－(12)n －[1－(12)n －1
]
＝(12)n －1－(12)n ＝(12
)n
. 又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合，∴b n ＝(12
)n .
思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等．
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋1
2n
a n .
(1)证明：数列{a n n
}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n . (1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋1
2n a n ，
当n ∈N *
时，a n n
≠0.
又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数， ∴{a n n }是以12为首项，1
2为公比的等比数列．
(2)解 由{a n n }是以12为首项，1
2为公比的等比数列，
得a n n ＝12·(12)n －1，∴a n ＝n ·(12
)n
. ∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n
，
12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(1
2)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝
12－12
n ＋1
1－1
2
－n ·(12
)n ＋1
，
∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n
＝2－(n ＋2)·(12
)n
.
综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n
.
题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇
例3 (2016·温州十校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *
，数列{a n }满足
1
a n ＋1
＝f ′? ??
??1a
n ，且a 1＝4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n,16n 2
a －4n
b ＝0，
∴a ＝12，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *
.
数列{a n }满足
1
a n ＋1
＝f ′? ??
??1a
n ，
又f ′(x )＝x ＋2n ， ∴
1
a n ＋1＝1a n
＋2n ，∴1a n ＋1－1a n
＝2n ，
由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2
－n ，
化简可得a n ＝
4n －
2
(n ≥2)，
当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝
4n －
2
(n ∈N *
)．
(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝
4
n －n ＋
＝2?
??
?
?12n －1－12n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1
＝2??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1＝2? ????1－12n ＋1＝4n 2n ＋1
. 命题点2 数列与不等式的交汇
例4 (2016·宁波高三上学期期末考试)对任意正整数n ，设a n 是方程x 2
＋x
n
＝1的正根． 求证：(1)a n ＋1>a n ；
(2)12a 2＋13a 3＋…＋1na n <1＋12＋13＋…＋1n . 证明 由a 2
n ＋a n n
＝1且a n >0，得0 n ＋a n n ＝1，a 2 n ＋1＋a n ＋1 n ＋1 ＝1， 两式相减得 0＝a 2 n ＋1－a 2 n ＋ a n ＋1n ＋1－a n n n ＋a n ＋1n －a n n ＝(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n ＋1n )． 因为a n ＋1＋a n ＋1 n >0， 故a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . (2)因为a n (a n ＋1n )＝1，所以1a n ＝a n ＋1 n ，