第五节函数的图像及应用
题型27识图(知式选图、知图选式)
1.（2013江西理10）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平
行线l,l
12之间，l∥l
1
,l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC
O A
2
两边,相交于E，D两点，设弧FG的长为x(0x π)，y EB BC CD，若l从l平行移动到l，则函数y f(x)
12
F G
的图像大致是（）.
E
B
D
C
l
1
2．（2013四川理7）函数y
3x3
x
1
的图象大致是（）
3.
y y y y
O x O x O x O
x （2013山东理8）
函数 A. B. C. D. y x cos x sin x的图像大致为（）.
y y y
πππy
π
O x O x O x O x A B C D
4.（2014福建理4）若函数y log x a0,且a
1a的图像如图所示，
则下列函数正确的是（）.y
1y log x
a l l
3
x
y
3
1
O1y a
x
x
y
1
O
y x
1
a
x
a y y
log
x
a
-3
O1x O-1
x
A. B. C. D.
5.（2014新课标1理6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是
圆上的动点，角x的始边为射线O A，终边为射线O P，过点P作直线O A
P
的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P的距离表示成x的函数f x y f x 在0,上的图像大致为（）.，则
O M
A
y 1y
1
y
1
错误!未找到引用源。
1
O x O x O x O x
A.
6.(2015安徽理9)函数f
x A.a 0，b 0，c 0
B.a 0，b 0，c 0
B.
ax b
x c
2
C.
的图像如图所示，则下列结论成立的是（）.
y
M
D.
C.a 0，b 0，c 0O N P x
D.a 0，b 0，c 0
6.解析由题可得x
c
，所以c 0，即c 0．令x 0，
b
f 00
则，
c2
所以b 0．令y 0，则ax b 0，所以x b
a
0，所以a 0．故选C．
7.（2016全国乙理7）函数y 2x2e x在
2,2y
y x 1
的图像大致为（）.
y 1
-2
O 2 x
y 1 -2 O
2 x
-2
y 1
O 2 x
-2
y 1
O 2 x
A.
B.
C.
D.
7. D 分析对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.
解析设 f
x 2x 2
e
x
，由 f
28e
2
0,1
，可排除 A （小于 0
），B （从趋势上超过1）；又
x
0,2
时，f
x
4x e x ，f
0f 14e 0，
所以 f x
在
0,1
上不是单调函数，排除 C.故选 D.
评注排除 B 选项的完整论述，设 g x =f x ，则
g
x 4e x
.由 g
10，
g
20，可知
存在 x
1,2
使得g
x 0
0 且 x
x,2 时g x 0，所以f
x 在
x,2 是减函数，即
x x,2 时f x 切线斜率随 x 的增大而减小，排除 B. 0
题型 28 作函数的图像——暂无
题型 29 函数图像的应用
1.（2013 江苏理 13）在平面直角坐标系 xOy
中，设定点 A (a , a ) ， P 是函数 y
1
x
（ x 0 ）
图象上一动点，若点
P ，A
之间的最短距离为
2 2
，则满足条件的实数 a
的所有值为.
2.(2013 湖南理 5）函数
f
x
2l n x
的图像与函数
g
x x 24x 5
的图像的交点个数为（）.
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3. (2013 重庆理 6）若
a
b c
，则函数
f x x a x b
x b
x c
x c
x a
的两个零点分别位于区间（）.
A.
a ，
b 和
b ，c
内
B.
，a 和
a ，b
内
C.b，c 和c ，内
D.，a 和
c ，
内
4. (2013辽宁理11）已知函数f
x
x 22
a 2x a2
，
g
x x
2
2 a 2
x a 2
8 .设 H
x max
f x ，
g x
，1
H x mi n f
x ，g x
，max
p ，q 表示p ，q 2
中的较大值， min
p ，q
表示
p ，q 中的较小值，记 H
1
x
得最大值为 A ， H
2
x
得最小值为 B
，则 A B
（）.
A. a 2 2a 16
B. a 2
2a 16
C.
16
D.
16
5.(2013 湖南理 20）在平面直角坐标系 xOy
中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点
N
的任一路径成
为 M 到 N 的一条“ L 路径”.如图 6 所示的路径
MM M M N 与路径 MN N 都是 M 到 N 的“ L 路
1
2
3
1
径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy
内三点 A (3,20), B (10,0), C (14,0)
处.现计划在
x
轴上方区域（包含 x
轴）内的某一点 P
处修建一个文化中心.
（1）写出点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（2）若以原点O 为圆心，半径为1 的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的
位置，使其到三个居民区的“ L
路径”长度值和最小.
6. (2013 安徽理 8）函数
y
f x
的图象如图所示，在区间
a ，b
上可
找 到
n
n ≥2
个 不 同 的 数
x ，x ，L ，x
1
2
n
， 使 得
f
x
f
x
1
2 L
x x
1
2
f x
n
x
n
，则 n
的取值范围是（）.
A. 3，
4
B.
2，3，4
C.
3，4，
5
D.
2，3
7.（2014 山东理 8）已知函数
f
x
x 21, g
x
kx
.若方程
f
x g
x
有两个不相等的实
根，则实数 k
的取值范围是( ).
0， 2 ，
A.1
B.
1
1
2
C.1,2
D.2，
7.（2014江苏理13）已知 f x是定义在R上且周期为3的函数，当x 0,3时，
f x
x
2
2 x
1
2
．若函数
y f
x a
在区间
3,4
上有10
个零点（互不相同），
则实数 a 的取值范围是．
8.（2014 天津理 14）已知函数 f
( x )
= x 2
+ 3x
， x ? R .若方程 f ( x )
- a x - 1 = 0
恰
有 4
个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为__________. 8.
（2014 浙江理 15）设函数
x 2x,x 0 f x
x,x 0
，若
f
f a …2，则实数a 的取值范
围是______.
2x a,x 1,
9.（2015 北京理 14）设函数 f x
4x a x 2a , x …1.
（1）若 a 1
，则
f
x
的最小值为；
（2）若 f x
恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是.
9.解析（1）若 a 1
2x 1,x 1, 4x 1
x 2
,x …1.
.
函数
f
x
的值域为
1,
，因此 f
x
的最小值为
1
.
（2）依题意，函数
y
2 x
a
x 1
至多有一个零点.
若函数
f
x
恰有两个零点，则有两种情形：
①函数
y 2 x a
，
x
1
无零点，函数
f
x
4x a
x 2a
，
x (1)
有两个零点；
②函数
y 2
x
a
，
x
1
有 1 个零点，函数
f
x 4x a
x 2
a
，
2
， f x
x…1有一
个零
点.
当函数f
x 满足情形①时，可得
2a 0
a…1，解得a…2.
2a (1)
当函数f
x 满足情形②时，可得
2a 0
a 1
2a (1)
，解得
1
2
…a 1.
综上，若函数f
x
恰有两个零点，则实数a
1
的取值范围是,1U 2,
2
.
10.（2015湖南理15）已知
a
则实数的取值范围是.
x3,x…a
f x
x2,x a
，若存在实数b，使函数g
x f x
b
有两个零点，
10.解析利用数形结合解题.问题等价于函数y f
x
与y b有两个交点时a的取值范围.令
x23,解得x 0或x 1.当a ,0，a0,1，a 1,
时的f x
的图像分别如图（1）
（2）（3）所示，上下平移y b可知，图（1）和图（3）与y b有两个交点.所以a的取值范围为,0U 1,.
y y y
y=b
y=b11
O x O 1 x O 1 x
图（1）图（2）图（3）
11.（2015江苏13）已知函数f
x l n x
，g x
x2
0,0x …
42,x 1
1
，
则方程 f x g x1实根的个数为．
11.解析解法一（逐步去绝对值）：1当
ln x 0ln x 1
，
0x…1时，f x g x
故ln x 1
11
，（舍）或x ，即在0,1上有一解为x ．
e e
2当x 1时，l n x 0，故f x l n x ln x，
=x
x e
f
2421，x g x l n x x
①当1x 2时，
ln x x221，
不妨设h x l n x x22，h'
112x
x 2x
x x
2
0对x 1,2恒成立，
故h x单调递减，h x h
2
ln22ln2111，h x h 11，
min
根据绝对值函数的性质分析，在x 1,2上有一解；
max
②当x…2时，ln x x26
1
，
不妨设m x l n x x26，则m'x2x 0对x 2,恒成立，
x
故m x单调递增，h x h 2l n 22ln2111，又m
e 6e 121
min
根据绝对值函数的性质分析，在x 2,上有两解．
，
综上所述：方程f
x g x
1
实根的个数为4．
解法二（直接去绝对值）：设h x f x g x ，
ln x,则h x l n x2x2
0x (1)
,1x 2，下仿照解法一分析．
ln x x26x (2)
或者通过分析h x 1的解亦可．
解法三（图像转化）：因为f
x g x
1，
y
4
g(x)
所以f
x g x1，3
2
1
f(x)
从而g
x 1f x，-1O
-1
123456x
即g x 1f x或g x 1f x．先分别画出f x与g x的图形，如图所示：-2 -3
1
得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究g x 1f x与
g x 1f x 的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有4个交点．
g
x
1f x 图形分析g ( x )
1 f ( x ) 图形分析
y
4
g (x )=1-f (x )
y
g (x ) 4
g(x )=-1-f (x )
g (x)
3 2 1
3 2 1
-1
O -1 -2
1 2 3
4
5 6 1-f (x )
x -1 O -1 -2
1 2 3 4 5 6 -1-f (x )
x
-3
-3
评注本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，
从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精 确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．
12.（2015 天津理 8）已知函数
2x , x … 2 f x
x 22,x
2
，函数 g x
b f
2
x
，
其中 b
R ，若函数 y f
x
g
x
恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）.
A.
7
7 7
, B.
, C. 0,
4
4
4
D.
7
2 x , x … 2,
12.解析由 f x
x 2
2,x 2,
得
22 x ，x …0 f (2 x )
x 2， x 0
，
2x x 2，
x 0
所以
y
f ( x ) f (2 x )
2 x 4 x 2 x ， 0 剟x 2 2 2 x ( x 2)2，x 2
x 2，x 0
， 即 y f ( x ) f (2 x ) 2， 0 剟x 2
2 5 x 8，x 2
x
y f ( x ) g ( x ) f ( x ) f (2
x ) b ，所以
y
f x g
x
恰有 4
个零点等价于方程
, 2
4
f (x) f (2 x)b 0有4个不同的解，即函数y b与函数y f (x) f (2x)的图像的4个公
7
.
共点，由图像可知b 2
4
y
2
O x
13.（2015山东理10）设函数f(x)
3x 1，x 1
2x，x≥1
,则满足f
f a
2
f
a
的a的取值范围是
().
2
A．，1
3
B．0，
1
2
C．，D．
1，
13.解析因为f f
a
2
f
a
，所以f
a?
1
．①当a 1时，f
a 3a1
…1
，
解得
2
3
…a 1；②当a…1时，f
a2a…
1
，解得a…1．
2
综上所述，a…．故选C．
3
14.(2015北京理7)如图所示，函数f x 的图像为折线ACB，则不等式f x 卨log
2
x
1
的解集是
（）.
x 1x…0 B.x1剟x 1
A.
C.x 1x...1 D.x 1x (2)
14.解析函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同
y
2C
A
-1O
y
B
2x
一坐标系中画出y f x及y l o g
2
x
1
的图像，如图
2C
3
所示.可知f
x…l o g
2
x
1
的解集为1
,1
.
A B
故选C.-1O12x
15.（2015全国I理12）设函数f
x
e x 2x 1ax
a
，
其中a 1，若存在唯一的整数x使得f x
00
0，则a的取值范围是（）.
A．
3
,1
B．
33
,
2e4
333
C．,
D．,1
15.解析由f x e x 2x 1ax a，且a1，知f
0a 10
.
所以满足题意的x 0
0.又f x 2x
1e
x a.
当x…0时，f
x0
，函数f x 在0,上单调递增；当x…1时，f x 0，函数f x 在,1上单调递增.
因此，若存在唯一整数x 0，使得f
x
00
0，
f 1…0则
f 1 0
3e 12a 0
，即，解得
e 0
a…
3
2e
，又a 1，
3
,1
所以a的取值范围是.故选D.
2e
16.（2017全国3理15）设函数f
x x 1，x 0
2x，x 0
，则满足f x f x 1
2
的x 的取值范围是
_________.
16.解析因为f
x x 1,x≤0
2x,x 0
，
1
f x f x 1
2
，即
1
f x 1f x
2
.由图像变换可作出
1
y f x 与y 1f x
2的图像如图所示.由图可知，满足f
1
x 1f x
2
的解集为
1
,
4
.
y
1
y f(x )
2
11
(,)
44
1
2
g
O
g
1
2
x
x 1f(x)
2e2e42e
1
g
17.（2017山东理10）已知当x
0,1时，函数y
mx 12
的图像与y x m的图像有且只有
一个交点，则正实数m的取值范围是（）.