2015届高三数学模拟试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，
，，则A B 等于 ▲ ． 2．若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是 ▲ ．
3．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．
乙53
甲6789
8474566902
94866431
4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ▲ ．
5．抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．
6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 ▲ ．
7．已知向量)2,(sin -=θ，)cos ,1(θ=，且⊥，则2sin 2cos θθ+的值为 ▲ ． 8．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x
+2x +m (m 为常数)，则f (1)= ___▲__． 9．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ▲ ．
10．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2
72
62
52
4a a a a +=+，则该数列的前10项和
等于
11．设函数()?????≥-<+=0
,0
,22
x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
12．已知圆C ：12
2=+y x ，点),(00y x P 是直线l ：0423=-+y x 上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得=+，则0x 的取值范围是 ▲ ．
（第3题图）
13．如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，则切割后所得到的梯形的面积的最大值为 ▲ ．
14．已知,m n 为正整数，实数,x y
满足4
x y +=，
若x y +的最大值为40，则m n += ▲ ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，向量(tan tan A C =+m ，
(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．
（1）求角B ；
（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值．
16．（本小题满分14分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：//AB EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．
17．（本小题满分16分）
某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()4
10
12
t f t -+=
+.（设该生物出生时t =0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
C
E
A
B
D
F
（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值. 18．（本小题满分16分）
已知椭圆Γ：2
214
x y +=. （1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，
其中点??
?
??
21,
m M 满足0m ≠
，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若?BME 面积是?AMF 面积的5倍，求m 的值；
（2）若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于
T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ?面积取最大值时直线1l 的方程
.
19．（本小题满分16分）
在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，
1n b +也成等差数列．
（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使114
4
n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．
20．（本小题满分16分） 已知函数()x ex
f x e
=
（e 为自然对数的底数） （1）求()f x 的单调区间；
（2）是否存在正．实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由； （3）若存在不等实数12,x x ，使得12()()f x f x =，证明：12
(
)02
x x f +'<.
2015届高三数学模拟试卷
第Ⅱ卷数学附加题
21．［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4－1：（几何证明选讲）
如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H
求证：AO OH
?为定值．
B．选修4－2：(矩阵与变换)
已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量
11 1
e
??
=??
??
，并且矩阵M对应的变
换将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
（第21—A题）
C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
1
2
，点(,)P x y 是椭圆上的一个动点，若y x 32+的最大值为10，求椭圆的标准方程．
D ．选修4—5（不等式选讲）
已知正实数a b c ，，成等比数列，求证：2222()a b c a b c ++>-+．
［必做题］第22题、第23题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60
，2AB AD =，
PD ⊥底面ABCD ．
(Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．
A
B
C
D P
23.已知数列}{n a 满足),(12
1
21*21N n na a a n n n ∈+-=
+且.31=a (1) 计算432,,a a a 的值,由此猜想数列}{n a 的通项公式,并给出证明;
(2) 求证:当2≥n 时,.4n n
n n a ≥
2015届高三数学模拟试卷参考答案及其评分标准
第Ⅰ卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1． {}1,2 ；2． ()2,4-；3． 甲；4． 16；5． 81
-=y ；6． 35
；7． 1
8．
25；9． 23π；10． 0 ；11． a ≤12． ??
?
??13240，；13． 3227；14．10
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(tan tan A C =+m ，
(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．
（1）求角B ；
（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值．
（1）因为//m n ，所以tan tan tan 1)A C A C +-，
所以
tan tan 1tan tan A C
A C
+=-tan()A C +=， ………………………………4分
所以tan tan()B A C =-+ 又(0,)B π∈，所以3
B π
=
． ………………………………7分
（2）在ABC Δ中，由余弦定理有，2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=， 所以224a c ac +=+，
由基本不等式，222a c ac +≥，可得4ac ≤，当且仅当2a c ==时，取等，…12分
所以ABC Δ
的面积1sin 42S ac B == 故ABC Δ
………………………………14分 16．（本小题满分14分）
3. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：//AB EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ． 证明：（1） 四边形ABCD 是矩形，∴//AB CD ， AB ?平面CDEF ，CD ?平面CDEF ， ∴//AB 平面CDEF ．
AB ?平面ABFE ，平面ABFE 平面C D E F E F =，∴//AB EF ．…………………………7分 （2） DE ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴DE BC ⊥． BC CD ⊥，CD DE D = ，,CD DE ?平面C D E F ，∴BC ⊥平面CDEF ．
BC ?平面BCF ，∴平面BCF ⊥平面CDEF ．…………………………14分
17．（本小题满分16分）
某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()4
10
12t f t -+=
+.（设该生物出生时t =0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值. 【试题分析】：
（1）求需经过多少时间，该生物的身长超过8米，实质就是解不等式4
10
()812t f t -+=≥+，
不等式解集中的最小值就是本题结论；
（2）首先要搞懂什么是“长得最快”，“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大，因此实质就是求()(1)f t f t --的最大值，即00()(1)f t f t --就是这个最大值，下面我们只要求出00()(1)f t f t --，分析它的最大值是在0t 为何值时取得，
C
E A
B
D
F
000410()(1)12t f t f t -+--=-+00004
5451010212(12)(12)
t t t t -+-+-+-+?=
+++， 此式较繁，因此我们用换元法，设04
2
t u -+=，由有00()(1)f t f t --=
2
()(1)(12)231
u u
g u u u u u =
=++++，它的最大值求法一般是分子分母同时除以u ，然后用基本不等式及不等式的性质得到结论． 【解】：（1）设4
10()812t f t -+=
≥+，即4
124
t -+≤，解得6t ≥， 即该生物6年后身长可超过8米；……………………………………5分 （2）设第00(*)t t N ∈年生长最快，于是有
000004
0004545
1010102()(1)(1)1212(12)(12)
t t t t t f t f t t -+-+-+-+-+?--=-=≥++++，…………8分 令04
2
t u -+=，则(0,8]u ∈，
令21()1(1)(12)23123u u g u u u u u u u
=
==≤
++++++，…………11分 等号当且仅当12u u
=即1
22u -=， 014
222t --+=，0 4.5t =时成立，因为0*t N ∈，因此0t 可
能值为4或5，由5
(4)(3)(5)(4)3
f f f f -=-=知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了
5
3
米．………14分 17．（本小题满分14分）【备用题】：
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.
（1）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（2）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）. 解：（1）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，
2113
(150%)2a a d a d =+-=
-， 13
(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.…………………………6分
（2）由（1）得13
2n n a a d -=
- 2233
()22n a d d -=-- 233
()22n a d d -=-- =
12213333()1()()2222n n a d --??=-++++????
. 整理得 113
3()(3000)2()12
2n n n a d d --??=---????
…………………………10分
13
()(30003)22
n d d -=-+. 由题意，1
34000,()(30003)24000,2
n n a d d -=∴-+=
解得13()210001000(32)232()12
n n n n n
n d +??-???-??==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)
32n n n n
+--时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为
４０００元. …………………………14分 18．（本小题满分16分）
已知椭圆Γ：2
214
x y +=. （1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，
其中点??
?
??
21,
m M 满足0m ≠
，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若?BME 面积是?AMF 面积的5倍，求m 的值；
（2）若圆ψ:42
2
=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于
T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ?面积取最大值时直线1l 的方程.
【试题分析】：(1) ①本题方法很容易想到，主要考查计算推理能力，写出直线,AM BM 的方程，然后把直线AM 方程与椭圆方程联立，求得E 点坐标，同理求得F 点坐标，从而得到直线EF 的方程，令0x =，求出y 2=，与m 无关；②两个三角形?BME 与?AMF 有一对对顶角BME ∠和AMF ∠，故面积用公式1
sin 2
AMF S MA MF AMF ?=
∠，1sin 2BME S MB ME BME ?=
∠表示，那么面积比就为AMF BME S
S ??=15MA MF MB ME =，即5MA MB ME
MF
=
，这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式，从而 求出
m ；(2)仍采取基本方法，设1l 的方程为1y kx =-，则2l 的方程为1
1y x k
=--，直线1l 与
圆ψ相交于,T R ，弦TR 的长可用直角三角形法求，(弦心距，半径，半个弦长构成一个直角三角形)，TRQ ?的高为PQ 是直线2l
与椭圆相交的弦长，用公式
PQ =k 值，也即得出1l 的方程.
【解析】：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,
1
2
)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m
23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m
,直线BM 的方程为y =123
-x m , ……………2分
由??
???+-==+,
121,142
2x m y y x 得()22140m x mx +-=，
240,,1m x x m ∴==+22241,,
11m m E m m ??-∴ ?++??
由??
??
?-==+,
123,1422
x m y y x 得()
229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222
129,99m m F m m ??-∴ ?++??
； ……………4分 据已知，20,3m m ≠≠，
∴直线EF 的斜率22
22
22222
19(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---
++23,4m m +-
∴直线EF 的方程为 22
22
1341
41m m m y x m m m -+??-=-- ?++??
, 令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……………5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ?=
∠,1
||||sin 2
BME S MB ME BME ?=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ??=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||
||
MA MB ME MF =, ……………7分
∴
22
5,41219m m m m
m m m m =--++ 0m ≠，
∴整理方程得
22
115119
m m =-++，即22
(3)(1)0m m --=，
又有m ≠∴2
30m -≠， 12
=∴m ， 1m ∴=±为所求. ……………10分
(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-?--=, 直线21
:10l y x x ky k k
=-
-?++=, ……………12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-?--=
的距离为d =
所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦2
2
2
143242k
k d
TR ++=
-=；
由22222
048014
x ky k k x x kx x y ++=???++=?+=??,所以
482+-=+k k x x P Q 所以4
1
8)4(64)11(2
22
222++=++=k k k k k QP ……………14分 所以 131316
13
2323
41334324348212222=≤
++
+=++==?k k k k TR QP S TRQ
252k k =
?=
?=,
此时直线1:1l y =- ……………16分 19．（本小题满分16分）
在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，
1n b +也成等差数列．
（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使
114
4
n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．
（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +-=+，①
由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +-=+， ② ①+②得，113()n n n n a b a b +++=-+，
所以{}n n a b +是以6为首项、3-为公比的等比数列． ……………………4分 （2）由（1）知，16(3)n n n a b -+=?-，③ ①-②得，112n n n n a b a b ++-=-=-， ④
③+④得，116(3)2
3(3)12
n n n a --?--=
=?--， ……………………8分 代入1144n m n m a m a a m a ++-+=-+，得113(3)13(3)3
3(3)13(3)3
n m n m m m --?---?-+=?---?-+，
所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --?---?-+=?---?-+， 整理得，(1)(3)3(3)0m n m +-+?-=，
所以11(3)n m m -++=-， ………………………………12分 由m 是不超过100的正整数，可得12(3)101n m -+-≤≤，
所以12n m -+=或4，
当12n m -+=时，19m +=，此时8m =，则9n =，符合题意； 当14n m -+=时，181m +=，此时80m =，则83n =，符合题意．
故使
114
4
n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)． …………16分
20．（本小题满分16分） 已知函数()x
ex
f x e =
（e 为自然对数的底数） （1）求()f x 的单调区间；
（2）是否存在正．实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由； （3）若存在不等实数12,x x ，使得12()()f x f x =，证明：12
()02
x x f +'<. 解：（1）…………(求导1分，说明2分,结论1分)
函数()y f x =的单调递减区间是(1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞.
…………4分
（2）不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立. 事实上，由（Ⅰ）知函数()y f x =在(,1)-∞上递增，
而当(0,1)x ∈，有(0,1)y ∈，在(1,)+∞上递减，有01y <<，
因此，若存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，必有(0,1)x ∈…………6分 令1
()(1)(1)(1)x x x F x f x f x x e e
+=+--=+-， 则1
()()x
x F x x e e
'=-
，因为(0,1)x ∈，所以()0F x '>，所以()F x 为(0,1)上的增函数，所以()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x +>-， …………9分 故不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立. …………10分 （3）若存在不等实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则1x 和2x 中，必有一个在(0,1)，另一个在(1,)+∞，不妨设1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞. ①若22x ≥，则12
(1,)2
x x +∈+∞，由（Ⅰ）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以12
(
)02
x x f +'<； …………12分 ②若2(1,2)x ∈，由（Ⅱ）知：当(0,1)x ∈，则有(1)(1)f x f x +>-，
而11(0,1)x -∈所以11112(2)[1(1)][1(1)]()()f x f x f x f x f x -=+->--==， 即12(2)()f x f x ->
而122,(1,2)x x -∈，由（Ⅰ）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即有
12
(1,)2
x x +∈+∞， 由（Ⅰ）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以12
(
)02
x x f +'<；…………15分 综合①，②得：若存在不等实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则总有12
()02
x x f +'<. …………16分
说明：由轴对称函数的性质启发命制该题，将函数的单调性，方程的根、导函数，不等式知识融为一体，考查学生的等价转化能力，分析问题，解决问题的能力。分步设问，逐层递进，叙述简洁，具有较高的区分度。
题目的来源与发展：（1）其实本题来源于直线1y x =+与x y e =的关系. 因为1(1)1()x x ex x f x e e --+=
=，令1t x =-，则得1
t
t y e
+=， 则转化为直线1y x =+与x y e =的关系；
（2）若函数()y f x =的图象关于1x =对称，则有(1)(1)f x f x -=+；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（Ⅱ）（Ⅲ）问就是
基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.
2015届高三数学模拟试卷 第Ⅱ卷 数学附加题
21.A ．在ABC Δ中，因为BM 是ABC ∠的平分线，
所以
AB AM
BC MC
=
． 又2
3
AB AC =，所以23AC AM BC MC =
． ① …………………… 4分 因为CA 与CB 是圆O 过同一点C 的弦， 所以，CM CA CN CB ?=?，即CA CN
CB CM
=
． ② ……………………8分 由①、②可知 2
3
CN AM =
， 所以32CN AM =． ……………………10分
B ．（1）由已知13a b ??????11??????133=13????=????????，所以13,33a b +=??+=?，解得2,
0a b =??=?
．…………5分 （2）设曲线C 上任一点(,)P x y 在M 对应的变换作用下对应点(,)P x y '''，
则1203x x y y '??????
=??????'??????，即2,3x x y y y '=+??'=?
，
解得2,3
13x x y y y ?
''=-????'=??
，代入曲线C 得221x y ''+=．
即曲线C 在M 对应的变换作用下的新曲线的方程是221x y +=．……………10分 C ．直线l 的普通方程为220x y +-=，
曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=， ……………………5分 所以线段AB 的垂直平分线是过圆心(1,0)C 且与直线220x y +-=垂直的直线， 其方程为220x y --=，
故线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为2cos sin 20ρθρθ--=．…………10分 D ．因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，
因为,,a b c
为正数，所以由柯西不等式得
2111
[(1)2(1)4(1)]()(12)111
a b c a b c +++++?+++++≥，
当且仅当22
2(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立．
所以
111111a b c +++++， 所以111
a c ++
……………………8分 此时a b c === ……………………10分 22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60
，2AB AD =，
PD ⊥底面ABCD
．
(Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．
【答案】(Ⅰ) ∵DAB ∠=060,AB =2AD ,由余弦定理得BD , ∴22BD AD +=2AB , ∴BD ⊥AD ．
又∵PD ⊥面ABCD ， ∴BD ⊥PD ． ∴BD ⊥平面PAD ， ∴PA BD ⊥．
……………… 4分
B
C
D P
23.已知数列}{n a 满足),(12
1
21*21N n na a a n n n ∈+-=
+且.31=a (1) 计算432,,a a a 的值,由此猜想数列}{n a 的通项公式,并给出证明;
(2) 求证:当2≥n 时,.4n n
n n a ≥
【答案】⑴24a =,35a =,46a =,猜想:*2()n a n n =∈+N ………………3分 ①当1n =时,13a =,结论成立;
②假设当*
(1,)n k k k =∈N ≥时,结论成立,即2k a k =+,
则当1n k =+时,2211111
1=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222
k k k a a ka k k k k k +=
-+-+, 即当1n k =+时,结论也成立,由①②得,数列{}n a 的通项公式为*
2()n a n n =∈+N
………………6分
⑵原不等式等价于2(1)4n n
+≥.
证明:显然,当2n =时,等号成立;
当2n >时,01
222222(1)C C C ()C ()n n n n n
n n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n
+++≥ 01
22222
>C C C ()54n n
n n n n
++=->, 综上所述,当2n ≥时,4n
n
n a n ≥ ………………10分