探索勾股定理（一）
苏
振
玉
卫辉市上乐村镇第二中学
探索勾股定理（一）
卫辉市上乐村镇第二中学苏振玉
教学目标
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探究并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点
重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程
一、创设问题情境，激发学生的学习热情
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的辩，除满足三边关系外，它们还分别存在着两边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
出示投影并回答：
1、观察图2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。正方形B中有个小方格，即B的面积为个面积单位。正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生讨论交流回答的基础上教师接着发问。
3、图2中，A、B、C的面积之间有什么关系？
在学生交流后形成共识，老师再板书：A+B=C，接着提出：图1中A、B、C之间的关系呢？
二、做一做
出示投影（图3、图4）
提问：1、图3中，A、B、C之间有什么关系?
2、图4中，A、B、C之间有什么关系?
3、从图1、2、3、4中你发现了什么？
在学生讨论、交流现场共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形的面积，等于以斜边为边的正方形的面积。
三、议一议
1、图1、
2、
3、4中，你能用三条边的边长表示正方形的面积吗？
2、你能发现直角三角形三条边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么，a2 + b2 = c2 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答）。请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
4、（想一想）:这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的是屏幕的宽吗？那它指的的什么呢？
四、巩固练习，掌握应用：
练习1（填空题）
已知在R t△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c= ；
②若a=40，b=9，则c= ；
③若a=6，c=10，则b= ；
④若c=25，b=15，则a= 。
练习2（填空题）
已知在R t△ABC中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC= ，AC= 。
②若∠A=45°，则BC= ，AC= 。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
①高AD的长；
②△ABC的面积S
五、作业
课本p76—78习题1 1、2、3、4
教学反思：
（1）课堂引入的重要性，好的导入可以让学生的学习热情有很大的提高。
（2）多媒体辅助教学方面。用多媒体课件的展示,可以增大了教学密度,使学生的双基训练得到了加强,使传统的课堂走向了开放,使学生真正感受到学习方式在发生变化。也在一定程度上让课堂更生动，更具有直观性，更加吸引学生的注意力，提高课堂效果。在以后的教学中我应加强。
（3）要相信学生的能力，为学生创造自我学习和创造的机会。
在备每一节课中,对于课堂的每一个细节,每一个教学设计的思考都无不直接影响着你的这一节课,影响着你的课堂效果。静心思考，反思整个过程是一种全新的收获，也是全新的开始，让自己能够重新起步，向前。
探索勾股定理（一） 一、活动探究 观察下面两幅图： （1）填表： （2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． （3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 用符号表示为： 变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B
八年级数学 探索勾股定理(1) 〖温故知新〗 1、指出右图直角三角形各部分的名称，并用符号表示这个直角三角形。 2、边长是a 的正方形的面积是 ， 〖学习目标〗 1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程。 2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 一、自学指导 } 1、观察课本第2页图1— 2、图1—3，直角三角形三边的平方分别是多少，完成下表（时间3分钟）与同伴交流（时间3分钟）。 A 的面积 B 的面积 C 的面积 可能的关系 … ： } : 总结： 勾股定理： _______三角形____________的_________等于__________。 如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么关系可表示为： 。 ~ 符号语言： 二、自学检测 A 1、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=3 b=4，则c=________。， B2、求下图中字母所代表正方形的面积和对应三角形的边长 | b a c C A B b a c C A B A B 125 169 100 、
7cm D A C B 7cm D A C B — 反思总结： 勾股定理的作用_________________________________________ 三、新知运用 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索 · 巩固练习： A1、如图，求等腰三角形ABC的边AB上的高。 ！ 变式训练：B2、三角形ADC的面积是多少你能求出AC边上的高吗 } 反思总结： 1、运用勾股定理解决实际问题的格式： 四、中考链接 1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，A、 B、C、D表示对应正方形的面积，A=9，B=16，C=36，D=64，则E=______;F=-________;G=________。 . 2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是cm2． 【 反思总结：
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 一、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 三、教学目标分析 ●知识与技能目标 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． ●数学思考 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． ●解决问题 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． ●情感与态度 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习． 四、教法学法
1.教学方法：引导—探究—发现法． 2.学习方法：自主探究与合作交流相结合． 五、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一： 内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察： （2）引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：
“三六五”课堂教学模式导学案 年级学科组总课时数主备教师审查人时间 §1.1探索勾股定理（1） 一、学习目标 1、经历用测量的方法探索勾股定理及用数格子的方法简单的验证勾股定理的过程，提高合情 推理的能力，体会数形结合的思想。（难点） 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。是本节的重点和难点。 二、自学感知 自学课本第2—4页解答下面的问题： 1、在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么关系？ 换一个直角三角形试一试此关系还成立吗？ 2、如果直角三角形两直角边分别为a,b斜边为c，那么a2+ = 。即直角三角形两直角 边的和等于斜边的。 3、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称 为。 4、如图（1）所示，求出直角三角形未知边的长度。 9 12 (1) 5、如图（2）所示，阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。 （2） 三、小组合作 1、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ B 12米 C 2、如图，直角三角形三边的平方分别是多少，你能用它们验证勾股定理吗？你是如何计算的？与同伴交流。 四、展 示风 采
400 225 A 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。 2、如图，求等腰△ABC的面积。 5 B 3、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗? 4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图 形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试给出两种以上的方案。 五、小结 通过本节课的学习谈谈自己的收获和体会。 六、达标检测 1、已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长为。 2、在直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边长为。 3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一颗大树，在一次强风中，这棵大树从离地 面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房屋被倒下的大树 砸倒，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答（） A、一定不会 B、可能会 C、一定会 D、以上答案都不对 4、如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，梯 底距墙底端0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子的底端将滑出多少米？ 七、学（教）后反思与错题集锦 班级姓名完成时间小组评价个人评价
第一章勾股定理 1. 探索勾股定理（第1课时） 一、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 二、教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．为此本节课的教学目标是： 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习． 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现第1页 北师大版八年级上册第一章第一节探索勾股定理(第1课时)教学设计
1.1探索勾股定理 （1）练习题 三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm ，则正方形A , 是 _______ cm 2. &已知 Rt △ ABC 中，/ C = a b 14 cm , c 10 cm , 为（ ）. （A ） 24cm 2 （B ） 36cm 2 2 60cm 9. 如图1-1-4，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1, S 2, S 3,则S 1, S 2, S 3之 间的关系是（ ）. (A ) S 1 S 2 S 3 ( B ) S 1 S 2 S 3 (C ) S 1 S 2 S 3 (D )无法确定 10. 暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝 .他们登陆后先往东走 8km ，又 往北走2km ，遇到障碍后又往西走 3km ，再折向北走 6km 处往东一拐，仅走 1km 就找到了宝藏，则登陆点 到埋宝藏点的直线距离为 ____________ k m . 11. 如图1-1-6，已知直角△ ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部 分的面积. 图 1-1-6 6 8 AC = 6cm , _= 8cm ，现将 直 AC 沿直线 AD 1.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬 来一架高为 2.5米的木梯，准备把拉花挂到 2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应 为 __________ 米. 2.如图1-1-1，小张为测量校园内池塘 A , B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ,使/ ABC = 90°,并测 得AC 长26m , BC 长24m ，贝U A , B 两点间的距离为 __________ m . 3?如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 _______________ .（ 不取近 似值） 4.底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 ______________ cm . 5.—艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 12km/h 的速度向东南 方向航行，它们离开港口半小时后相距 ___________ km . 6.一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为 8m ，梯子的顶端下滑 2m 后，底端滑 动 _____ m . 7?如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 90°, r f t 6 若 则Rt J 护 J! Jf J / 3 2 △ ABC 的面积 (C ) 登陆点 s Sl-1-5 48cm 2 (D ) 12 .如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边 J ,1 图IT-4 B , C , D 的面积的和
探索勾股定理教案 教学目标： 1知识目标 （1）、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程。 （2）、运用勾股定理解决实际问题。 （3）、了解有关勾股定理的历史. 2、能力目标： （1）在探索勾股定理的过程中培养学生的思维能力和语言表达能力； （2）通过问题的解决，提高学生的运算能力 3、情感目标： （1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； （2）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育． 教学重点：勾股定理及其应用 教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学用具：直尺，多媒体 教学方法：以学生为主体的讨论探索法 教学过程： 一爱世博爱建筑 多媒体展示图片和视频引入课题 激发学生学习兴趣感受数学与建筑的和谐美 二探索勾股定理
学案导学1 探究边长为3的等腰直角三角形的情况 ⑵、你能发现三个正方形Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ的面积之间有什么关系？ 学案导学2 探究边长为3,4,5的直角三角形的情况 学案导学3 实验作图验证 Ⅰ Ⅱ Ⅲ ⑴观察图形并填写：（图中每个小 方格代表一个单位面积） ⑴观察图形并填写：（图中每个小方 格代表一个单位面积）
几何画板验证 得到新知 学案导学4 勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ， 那么： 即：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方. 经历由特殊到一般的探究过程，培养学生的思维能力和语言表达能力； 三 承古开今 趣味历史 激发学生的学习兴趣，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行爱 b c a
国教育． 四学以致用 五爱数学爱生活（1）生活小常识（2）实际应用题 六小结 七作业
第 1 页 共 2 页 课题：1．2探索勾股定理(2) 【教学目标】1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，发展学生的探究意识 2、掌握勾股定理和它的简单应用。 【课前练习】 ：1、计算: 2)(b a + =____________ 242 1 c ab +?=_____________ 2、直角三角形的一直角边为8, 斜边为10, 则其另一直角边为是__________ 3、在Rt △ABC 中,∠C=900 ,若a = 12,c = 13,则b = . 4、如图所示,图中所有三角形是直角三角形, 所有四边形是正方形, ,144,931==s s 1694=s ,则2s = . 5、直角三角形的一直角边为为4,斜边长为5,则面积为___________ 【知识点一】: 1、看看课本P8图1-5 ,你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？ (1）________________________ (2)_________________________ 2、你能由此得到勾股定理吗？为什么？ 22421 )(c ab b a +?= + 化简： 得到:_________________, 这就可以从理论上说明了勾股定理存在。 练习一：若△ABC 中，∠C=90°， 1、若a =5，b =12，则c = ； 2、若a =6，c =10，则b = ； 3、若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = . 【知识点二】 ：1、想想课本P 11页 数学理解2，如何验证？ a b c c b a a b c A B C
第 2 页 共 2 页 3、猜想：勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形能不能使用勾股定理呢？ 练习二：4、某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用 一块木棒加固，木板的长为 . 5、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，它的面积为（ ）． A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2 D ．60 cm 2 6、如图：直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，求斜边上的高？ 练习三：分层作业： 7、等腰三角形底边长为cm 6，腰长为cm 5，它的面积为 ； 8、若一块直角三角板，两直角边分别为cm 12和cm 5，不移动三角板，能画出的线段最长是cm ________； 9、如图，如果最小的正方形面积为5，最大的正方形面积为x ，另一个正方形面积为y ， 这三个正方形能拼围成一个直角三角形，则x ，y 之间的关系是 ； 10、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？ 11、 轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离. 12、挑战自我: 折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长. E C F B D A B A C D
2.7 探索勾股定理（1） 〖教学目标〗 ◆1、体验勾股定理的探索过程. ◆2、掌握勾股定理． ◆3、学会用勾股定理解决简单的几何问题． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：本节的重点是勾股定理. ◆教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点. 〖教学过程〗 （一）创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。 （二）探索新知 1.让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm 和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a b c 2a2b +2c 3 4 6 8 5 12 2.议一议 （1）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a 和 b ，斜边为 c ，那么2c 2 2 +。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，b a= 斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 (2)分别以9cm 和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？ （三）例题教学 例1 已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
(1) 如果,2,1==b a 求c ； (2) 如果,17,15==c a 求b ； 可以让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述。 例2 如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm ），求两孔中 心A 、B 之间的距离。 首先，教学过程中应启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而 应用勾股定理求解。 其次，应强调，构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整。 （四）巩固练习 1. 已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b, （1）如果,5 3 ,54== b a 求 c ； （2）如果,13,12==c a 求b ； （3）如果,15:8:,34==b a c 求a,b ； 2. 用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为3cm 。 3. 利用作直角三角形，在数轴上表示13。 （五）小结 1. 至少了解一种勾股定理的验证方法； 2. 除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理。 （六）作业 1.作业本 2.7（1） A B 160 90 40 40
课题 1.1探索勾股定理课型新授课授课时间 教学目标知识与技能 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股 定理进行简单的计算和实际运用． 过程与方法 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 情感态度与 价值观 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习 重点 了解勾股定理的由来并能用它解决 一些简单问题 难点勾股定理的发现 方法教具 教学过程 教师活动学生活动设计意图第一环节：创设情境，引入新课 2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示 本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与 “勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一 同探索勾股定理． 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图 形： ★问题：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗 学生通过观察，归纳发现： 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具 有该性质呢 （1）观察下面两幅图： （2）填表： A的面积（单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 独立思考 并回答问 题 填写表格 观察、计 算、探讨、 归纳进一 步发现一 般直角三 角形的性 质 独立完成 用自己的 语言进行 表达 紧扣课题，自 然引入 探究活 动二意在让 学生通过观 察、计算、探 讨、归纳进一 步发现一般 直角三角形 的性质．由于 正方形C的 面积计算是 一个难点，为 此设计了一 个交流环节 议一议意在 让学生在结 论2的基础 上，进一步发 现直角三角 形三边关系， 得到勾股定 理 巩固基本知 识和基本技
1.1 探索勾股定理 第2课时验证勾股定理 1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？ 2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 参考答案 1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3, S正方形ABED=S正方形FCGH－4S Rt△ABC =(3+4)2－4××3×4=72－24=25 即AB2=25，又AC=4，BC=3， AC2+BC2=42+32=25 ∴AB2=AC2+BC2 （2）如图（图见题干中图） S正方形ABED=S正方形KLCJ－4S Rt△ABC=(4+7)2－4××4×7=121－56=65=42+72
第一章勾股定理 1.探索勾股定理（第1课时） 一、分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．学生探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 二、教学任务分析 本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．为此本节课的教学目标是： 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 三、教学过程设计 本节课设计了：创设情境，引入新课；探索发现勾股定理；勾股定理的简单应用；节：课堂小结；布置作业．
创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形， 数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人” 联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书 课题） 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
第一章勾股定理 1. 探索勾股定理（第2课时） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证. 学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验. 二、教学任务分析 本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是： 1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点. 三、教学过程
本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）延伸拓展，能力提升（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：复习设疑，激趣引入 内容：教师提出问题： （1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答） （2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣. 效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望. 第二环节：小组活动，拼图验证. 内容：活动1：教师导入，小组拼图. 教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.） 活动2：层层设问，完成验证一. 学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形： 图1 图2 在此基础上教师提问：
2.7 探索勾股定理（2） 〖教学目标〗 ◆1、掌握勾股定理的逆定理的内容及应用. ◆2、会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形． ◆3、了解我国古代数学家的伟大成就，激发学生热爱祖国的思想和求知欲． ◆4、通过研究讨论培养学生的逻辑思维能力． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：勾股定理的逆定理是教学的重点. ◆教学难点：根据勾股定理的逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形. 〖教学过程〗 （一） 复习回顾，导入新课 勾股定理体现了直角三角形的三边关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里老师有一个感兴趣的问题有待于解决，不知大家有没有想过：把这个定理反过来说：如果一个三角形有两边平方和等于第三边的平方，这个三角形一定是直角三角形吗？ 大家一起来分组做个实验，第一组的同学在本子上画一个边长为3cm,4cm,5cm 的三角形，第二组的同学每人画一个边长为5cm ，12cm ，13cm 的三角形，第三组的同学每人画一个边长为8cm ，15cm ，17cm 的三角形，第四组的同学拿着三角板或量角器分别到一，二，三组来抽查，看看他们画出的三角形大概是什么形状呢？能不能得出一个公认的结论呢？ （二） 实验讨论，新课教学 通过实验大家得出结论了吗？（当第四组的同学量时，其他同学也看到了并得出自己的结论）现在大家讨论半分钟，每组派一个代表说出你们的结论，看看结论一致吗？哪一组概括得更准确？ 1．归纳结论： 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2． 结论的应用： 知道这个结论有什么作用吗？（有些同学是知道的）显然如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，通过判断他们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形。 如 以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？ 解：2 221086=+ ∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形。
1.1探索勾股定理 习题A ： 1. ABC ?中，∠C=90°， （1）若10c ,6b ==，则=a ____ ___。 （2）若12b ,5a ==，则=c _________。 （3）若25c ,24a ==，则=b _____ 。 （4）若4:3b :a =，20c =，则=a ____，=b ____。 2. （新颖题）已知ABC ?中，∠C=90°，AB CD ⊥，垂足为D 。cm 6BC ,cm 8AC ==，则=CD _________，=AD _________。 3. 已知ABC ?中，∠C=90°，BC=5，30S ABC =?，则AB=_________，AC=_________。 4. （典型题）如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值等于_________。 5. 如图，∠C=90°，AC=12，CB=5，AM=AC ，BN=BC ，则MN 的长是（ ） A. 2 B. 2.6 C. 3 D. 4
6. 直角三角形的两条边长是8、15，则第三条边的长是（ ） A. 8 B. 15 C. 17 D. 以上答案均不正确 7. （2006·山西）如图，分别以直角ABC ?的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆。设直线AB 左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积为2S ，则（ ） A. 21S S = B. 21S S < C. 21S S > D. 无法确定 习题B ： 1. 已知ABC ?中，AB=AC=5，BC=6，求ABC ?的面积。 2. 如图，点B 、C 、D 在同一直线上，A 为直线外一点，且20AD ,16CD ,9BC ,BD AC ===⊥，求AB 的长。 3. 如图，点P 、Q 为ABC Rt ?斜边AB 的三等分点。 （1）若2CP ,AB CP =⊥，求以AB 为一边的正方形的面积。 （2）若2CQ CP ==，求以AB 为一边的正方形的面积。
探索勾股定理（一） 苏 振 玉 卫辉市上乐村镇第二中学
探索勾股定理（一） 卫辉市上乐村镇第二中学苏振玉 教学目标 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探究并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 重点、难点 重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。 难点：勾股定理的发现。 教学过程 一、创设问题情境，激发学生的学习热情 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的辩，除满足三边关系外，它们还分别存在着两边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。 出示投影并回答： 1、观察图2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。正方形B中有个小方格，即B的面积为个面积单位。正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位。 2、你是怎样得出上面结果的？在学生讨论交流回答的基础上教师接着发问。 3、图2中，A、B、C的面积之间有什么关系？ 在学生交流后形成共识，老师再板书：A+B=C，接着提出：图1中A、B、C之间的关系呢？ 二、做一做 出示投影（图3、图4）
提问：1、图3中，A、B、C之间有什么关系? 2、图4中，A、B、C之间有什么关系? 3、从图1、2、3、4中你发现了什么？ 在学生讨论、交流现场共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形的面积，等于以斜边为边的正方形的面积。 三、议一议 1、图1、 2、 3、4中，你能用三条边的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三条边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么，a2 + b2 = c2 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答）。请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？ 4、（想一想）:这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？指的是屏幕的宽吗？那它指的的什么呢？ 四、巩固练习，掌握应用： 练习1（填空题） 已知在R t△ABC中，∠C=90°。 ①若a=3，b=4，则c= ； ②若a=40，b=9，则c= ； ③若a=6，c=10，则b= ； ④若c=25，b=15，则a= 。 练习2（填空题） 已知在R t△ABC中，∠C=90°，AB=10。 ①若∠A=30°，则BC= ，AC= 。 ②若∠A=45°，则BC= ，AC= 。 练习3
义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第 的发展和现实世界中有着广泛的作用。 本节是直角三角形相关知识的延续， 同时也是学生认 识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股 定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 教学目标 1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在 般的逻辑推理过程。 2、能力目标：通过分层训练，使.学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决 实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的 情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点 重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 计算以斜边为边长的大正方形 C 面积及割补?思想的理解与应用。 进行教学。 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸； 剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程 、创设情境，引入新课 （师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在 2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 -（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，弓倾学生进入学习情境。 ） 教材 1.1探索勾股定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系， 将形与数密切联系起来，在数学 教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境 建立模型----解释、应用与拓展”的模式 1 节 P2- P6。 经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中, 体会数形结合的思想，体验从特殊到一 难点: 教具准备 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
1.1.1探索勾股定理 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材1页，完成“引入”经历探索勾股定理． ２．学生通过合作探究“做一做”，验证猜想勾股定理，从而得出结论，进一步发展空间观念和推理能力． ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，运用勾股定理进行简单的推理和计算． 二、教学重难点 １．重点：勾股定理及其应用. 2.难点：勾股定理的探索过程. 三、教学过程 （一）、情景引入 1.02年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家 大会的会标:标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾 建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同 探索勾股定理．（板书课题） 2.俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中 写出一个故事： 有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地。卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到。 巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布。第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去。他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点。可是，他还未站稳，两脚一软，就倒地口吐鲜血而死。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？ （二）、自主探究 探究一：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三条边之间的平方具有什么关系？与同伴进行交流。 探究二： （1）如图1-2：等腰直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的，与同伴进行交流。
勾股定理课时达标 1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =__ _____． 2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时， ∠C=90°． 3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为 __________． 4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则 斜边上的高为_ _________． 5.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为 3，则它的周长为__________． 6.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边 长为20，则它的面积为__________． 7.若一个三角形的三边长分别为3，4，x， 则使此三角形是直角三角形的x的值是 __________． 8.在某山区需要修建一条高速公路，在施工过 程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前， 应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°， ∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据， 求出隧道BC的长(精确到0.1 km)． ※课后作业 ★基础巩固 1.△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10， 则a=__________，b=__________． 2.△ABC中∠C=90°，∠A=30°，AB=4， 则中线BD=_________ _． 3.如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落 在AB上的E处，若AC=6，AB=10，则 DB=__________． 4.△ABC中，三边长分别为a=6 cm，b= cm， c=3 cm，则△ABC中最小的角为______度． 5.如图，AB⊥BC，且AB= ，BC=2，CD=5， AD=4 ，则∠ACD=__________，图形ABC D 的面积为__________． 6.等腰三角形的两边长为2 和5，则它的面 积为__________． 7.有一根7 cm木棒，要放在长，宽，高分别 为5 cm，4 cm，3 cm的木箱中，__________(填 “能”或“不能”)放进去．
教育资料 第一章勾股定理 1.1探索勾股定理（1） 一、选择题 1. 如图字母B所代表的正方形的面积是（） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 2. 如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 3. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物 的高度是（） A. 12 米 B. 13 C. 14 米 D. 15 米 二、填空题 4 .在一个直角三角形中，两条直角边分别为a, b，斜边为c : （1）如果a 8, b 15，则c ，三角形的周长为 （2）如果a 5 , c 13,则三角形的周长为，面积为 (3)如果b 6, a: c 4:5，贝U a ______________ , c ___________ 5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,则斜边上的高为________________ 三、解答题 6. 规范表达（严格按格式）：如图，已知/ A=90 ° , AC=5 , AB=12 , BE=3. 求长方形的面积 1韵〈1和\ B ) 第1题 ，面积为
7. 在方格纸上每个小正方形的面积为1个单位，在图上依次画出5个单位和
是 __________ . 6. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ， 在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 __________ 步路（假设2步 为1米），却踩伤了花草. 三、解答题 7. 如图是用纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是 形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 （1 ）画出拼成的这个图形的示意图. （2）证明勾股定理. a . 教育资料 1.1探索勾股定理（2） 一、选择题 1. 如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母 A 所代表的正方形面积是（ ） A. 8 B. 20 C. 336 D. 464 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是（ ） l A. 25 B. 14 C. 7 3.已知一直角三角形的木版， 三边的平方和为 A. 80cm B. 30cm C.90cm 二、填空题 D. 7或25 I 此 (2)若 a 24, c 30,则 b 1800cm 2,则斜边长为( ) D. 120cm. b 8，则 c ________ ; ;(3)若 b 24, c 25，则 a _____________ 5. 如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是 13厘米和5厘米，那么这个直角三角形的面积 a, b 斜边长时c 和一个边长为c 的正方 4.在厶 ABC 中，/ C= 90 ° , (1)若 a 6,