基本概念：
（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：
作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定：
连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变；
设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，
0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律，
0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态；
过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件）
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处
所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称；
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、
平衡微分方程：
(1) 平面问题的平衡微分方程；
00yx
x x xy y
y f x y
f x y
τστσ??++=????++=??（记）
(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；
10210f f ρρ?ρ?
ρ?ρ?ρ?
??σ?τσσ?ρρ??ρ
?σ?ττρ???ρρ
-+++=+++=
1、平衡方程仅反映物体部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体部是平衡的。
2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、
几何方程；
（1） 平面问题的几何方程；
x y xy u
x v y v u x y
εεγ?=
??=???=+
??（记）
（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；
1212
121u u v v u v ρρρ???ρ?ρ?ρ?εεερ
εεερρ??
γγγρρ?ρ
?=+=??=+=+
??=+=
+-??
1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。
2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移） 三、
物理方程；
（1） 平面应力的物理方程；
()()()1
1
21x x y y y x xy xy
E E
E
εσμσεσμσμγτ=
-=-+=（记）
（2） 平面应变的物理方程；
()
22111121x x
y y y
x xy xy
E E E
μμ
εσσμμμεσσμμγτ??-=- ?-????-=- ?-??
+=
（3） 极坐标的物理方程（平面应力）；
1
()1
()12(1)E E G E
ρρ???ρρ?ρ?ρ?
εσνσεσνσνγττ=
-=-+==
（4） 极坐标的物理方程（平面应变）；
221()
11()12(1)E E E
ρρ???ρρ?ρ?
μμεσσμμμεσσμμγτ-=---=--+=
四、 边界条件；
（1） 几何边界条件；
平面问题：()()
()()
s s u u s v v v == 在u s 上；
（2） 应力边界条件；
平面问题：
()()x
yx x
s
xy
y y
s
l m f l m f σ
ττ
σ+=+=（记）
（3） 接触条件；
光滑接触：()()n n
σσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()
()()
n n n n u u σσ'='= n 为接触面的法线方向
（4） 位移单值条件；
()()2u u θπθ+=
（5） 对称性条件：
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。
一﹑概念
1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。
2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材
料力学。
3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。.
4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究围更为广泛
5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.
6弹性力学研究问题，在弹性体严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.
7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。
10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。
11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13．圣维南原理主要容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。
14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。 15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。
16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。 会推导两种平衡微分方程
17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量
（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主
要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数
18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形
的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式
(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；
(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量
(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全
5.平面问题的应力边界条件为
)
()()()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσ填空
7.圣维南原理的三个积分式
如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为
8.艾里应力函数
?
?
?
??
?--±=--±=--±=?±=??±=??±=?2
/2/2/2/2/2
/2/2/2
/2
/2/2/1
)(1)
(1
)(1)
(1
)(1)(h h y
h h l x xy h h x h h l x x h h x
h h l x x dy y f dy ydy y f ydy dy y f dy τσσs
h h l x xy h h l x x N h h l x x F dy M
ydy F dy =?=?=??
??-=-=-=2/2/2
/2/2/2
/1)(1)(1)(τ
σ
σy x y x y f x y x x f y y x xy
y y x x ???-=-??=-??=)
,(,),(,),(2
2222φτφσφσ计 算 理 解 计算
一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．相容方程
B ．近似方法
C ．边界条件
D ．附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）
的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A ．几何上等效
B ．静力上等效
C ．平衡
D ．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。
4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444=??+???+??y
Φ
y x Φx Φ，
6、设有函数???
?
??-+???? ??-+-=Φh y h y qy h y h y qx 332332251344， （1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h ）。（15分）
解：
（1）将φ代入相容方程024422444=??+???+??y
Φ
y x Φx Φ，显然满足。因此，该函数可以作为应
力函数。
（2）应力分量的表达式：
???
? ??--=??Φ?-=???? ??-+-=?Φ?=-+=?Φ?=2
23
23322333222461342,
3346y h h
qx
y x h y
h y q x h qy
h qy h y qx y xy y x τσσ
考察边界条件：在主要边界y ＝±h/2上，应精确满足应力边界条件
()q h y h y q h
y h
y y -=????
??-+-=-=-=2
332
1342σ ()
013422
332
=???? ??-+-===h
y h
y y h y h y q σ ()
0462
2232
=???? ??--=±=±=h
y h
y xy y h h qx τ 在次要边界x ＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：
())(0
3342
/2/3302
/2/奇函数=???
?
??-=??-=-dy h qy h qy dy h h x h h x σ