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绝对值几何意义突破
目标一 熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义 目标二 掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法
目标三
掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法
2
知识目标
思维引入——最值的含义
知识导航
最大值与最小值统称为最值， 一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：
当x 等于任意数时，代数式2-x 能取到无数个值．但其中最小的值是0．因此可以说, 仅当x ＝2时．2-x 取得最小值为0；此时2-x 可以无穷大．因此它没有最大值．
当1≤x ≤3时，2x －3能取到无数个值，但当x ＝1时2x －3取得最小值为－1；当x ＝3时 ， 2x －3取得最大值为3．这里也可以描述为．当l ≤x ≤3时,－1 ≤2x －3≤3．
练习——最值的含义的理解
1. π-x 2的最小值是 ，当x ＝ 时它取得最小值； 一()2
3x -的最大值是 ，当x ＝ 时它取得最大值；
当x ＝ 时，(1－3x )2 ＋2取得最小值为 ； 当x ＝ 时，3一1+x 取得最大值为 ； 2.先化简43-+-x x ，再求它的最值，并说明相应的x 的取围．
3． 先化简51---x x ，再求它的最值，并说明相应的x 的取值范围.
总结归纳
虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通 过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较 大，耗时又易错.
初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数， 后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数 轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义， 融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的 学习也大有裨益．
本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．
模块一 绝对值的几何视角——距离
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通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．??
?-≥-=-)
()
b (b a a b a b a b a ＜ ，这 让我们看到
一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当1-x 这个式子出现在我们眼前，它就
被我们强迫症般的在脑海中变成了??
?-≥-=-)1(1)
1(11＜
x x x x x ．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．
实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a 表示数轴上数a 对应的点到原点的距离，n m -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.
所以，当1-x 这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x 对应的点与1对应的点之间的距离”．
练习 几何视角
1. 21--的几何意义是数轴上表示－1的点与表示2的点之间的距离，则21--＝ ； 2．π-x 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离：
π-x ＝1的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离是 ： 3. b a -的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，且a b b a -=-； b a +的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，b a b a --=+；
4．2+x 的几何意义是数轴上表示 点与表示 点之间的距离；若2+x ＝2，则x ＝ ； 5． 当x ＝－1时，25++-x x ＝ ，当x ＝π时，25++-x x ＝ .
例1．
(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为
p ,q ，r ，s ．若,10=-r p
9,12=-=-s q s p 则r q -＝ ．
(2)有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且它们满足以下三个条件： ①d b -比b a -，d c c b d a c a ----、、、都大；②c d c a a d -=-+-； ③c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数．则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 .
练
满足b a b a +=-成立的条件是( )．
A ． ab ≥0
B ．ab ＞1
C . ab ≤0
D . ab ≤1
模块二 绝对值之和求最小值
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求21-+-x x 的最小值；
1-x 即数轴上x 与1对应的点之间的距离，2-x 即数轴上x 与2对应的点之间的距离，
把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A 、B 、P 三点对应的数分别是1、2、x .
当l ≤x ≤2时，即P 点在线段AB 上，此时121==+=-+-AB PB PA x x ；
当x ＞2时，即P 点在B 点右侧，此时21-+-x x ＝ P A ＋PB ＝AB ＋2PB ＞AB ；
当x ＜1时，即P 点在A 点左侧，此时21-+-x x ＝P A ＋PB ＝AB ＋2P A ＞AB ；
综上可知，当l ＜x ＜2时（P 点在线段AB 上），21-+-x x 取得最小值为1． 此结论可以推广：若已知以a ＜b ，则当a ≤x ≤b 时，b x a x -+-取得最小值为b －a . 题型一 两个绝对值相加求最小值 例2
（1）当x 满足 时,2005-+-x x 取得最小值为 ；
当x 满足 时,43-++x x 取得最小值为 ； 当x 满足 时，46+++x x 取得最小值为 ．
（2）当－1≤x ≤6时，x x +-2的最小值为 ,最大值为 . （3）当31-++x x 取得最小值时，试化简55-++x x ＝ ．
总结归纳
绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别 求出每一段的取值范围，最后得到最值．
练
（1）当x 满足 时，π-++x x 8取得最小值为 ；
当x 满足 时．11
32
x x +
++取得最小值为 ． （2）已知x 为整数，且满足44=++x x ,则x 的所有可能值之和为 . （3）求54++-x x 的最小值，并写出相应的x 的范围．
挑战压轴题
（2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对 值，例：如图所示，点A 、B 在数轴上分别对应的数为a 、b ，则A 、B 两点间的距离表示为b a AB -=，根据以上知识解题：
(1) 若数轴上两点A 、B 表示的数为x 、－1.
①A 、B 之间的距离可用含x 的式子表为 ； ②若该两点之间的距离为2,那么x 值为 .
(2) 21-++x x 的最小值为 ，此时x 的取值范围是 ； 已知()()152321=++--++y y x x ，求x －2y 的最大值和最小值.
拓◆
已知y y x x +---=-++15912，求x ＋y 的最值．
题型二 多个绝对值相加求最小值
以四个绝对值之和为例，求4321-+-+-+-x x x x 的最小值；
设A 、B 、C 、D 、P 五点对应的数分别为1、2、3、4、x ，在数轴上画出各点，排 好序之后由远及近依次两两一组求和。
①当1≤x ≤4时，41-+-x x ＝P A ＋PD ＝4－1＝3，取得最小值； ②当2≤x ≤3时，32-+-x x ＝PB ＋PC ＝3－2＝1，取得最小值；
所求的PD PC PB PA x x x x +++=-+-+-+-4321，即上面两式41-+-x x
与32-+-x x 之和，如果这两式能同时取得最小值，即P A ＋PD 与PB ＋PC 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．
故当2≤x ≤3时，4321-+-+-+-x x x x 的最小值为(4－1)＋(3－2)＝4． 再以三个绝对值之和为例，求21-+-+x x x 的最小值；
设A 、B 、C 、P 四点对应的数分别为0、1、2、x ．
①当0≤x ≤2时，2022=-=+=-+PC PA x x ，取得最小值； ②当x ＝l 时，01==-PB x ，取得最小值；
所求的21-+-+x x x ＝P A ＋PB ＋PC 即上面两式之和，如果这两式2-+x x 和1-x 能同时取得最小值，即P A ＋PC 与PB 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．
故仅当x ＝l 时，21-+-+x x x 的最小值为(2 – 0)＋0＝2．
若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值． 例3
（1）当x 满足 时，6413-+-+-++x x x x 取得最小值为 ；
当x 满足 时，x x x x +++++-123取得最小值为 ； 当x 满足 时，x x x x -+++++--4731取得最小值为 ； (2)当x 满足 时，512-+-++x x x 取得最小值为 ； 当x 满足 时，x x x ++-+-562取得最小值为 ；
（3）当x 满足 时，201621-++-+-x x x 取得最小值为 ；
当x 当x 满足 时，10121-++-+-x x x 取得最小值为 ； （4）若0＜a ＜10,则当x 满足 时，1010--+-+-a x x a x 的最小值是 ；
总结归纳
奇数个x 取“中间点”
若1221-n a a a ＜＜
＜ ，当x 满足 时，1221+-++-+-n a x a x a x 取得最小值；
最小值为()()()()023*******+-++-+-+-+-+n n n n n a a a a a a a a . 偶数个x 取“中间段”
若n a a a 221＜＜＜ ，当x 满足 时，n a x a x a x 221-++-+- 取得最小值； 最小值为()()()()n n n n n n a a a a a a a a -+-++-+-----11221212 .
练
(1)当x 满足 时，48-+-++++x x x x ππ取得最小值为 ； 当x 满足 时，x x x ++++
2
1
31取得最小值为 . (2)求654++++-+x x x x 的最小值，并写出相应的x 的范围．
拓◆
求13121-+-+-x x x 的最值； ○
2求13
1
121-+-x x 的最值.
模块三 绝对值之差求最值
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求21---x x 的最大值：
设A 、B 、P 三点对应的数分别为l 、2、x ，
当1≤x ≤2时，即P 点在线段AB 上，此时21---x x ＝P A －PB ，其值在－1到1之间， 其中，当x ＝l 时，P A －PB ＝－l ，当x ＝2时P A －PB ＝1,当l ＜x ＜2时，－1＜P A －PB ＜1.
当x ＞2时，即P 点在B 点右侧，此时21---x x ＝P A －PB ＝AB ＝1．
当x ＜l 时，即P 点在A 点左侧，此时21---x x ＝P A －PB ＝－1．
综上可得：
当x ≤l 时（P 点在A 点左侧）．21---x x 取得最小值为－l ： 当x ≥2时（P 点在B 点右侧）．21---x x 取得量大值为1．
用绝对值代数意义展开亦可知21---x x ＝??
?
??≤--≥)2(1)21(3221x x x x ＜＜）（
此结论可以推广：
b x a x ---的最大值为b a -．最小值为－b a -，
至于当x 满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算． 例4
（1）用绝对值的几何意义求53---x x 的最值.
(2)用“零点分段法”化简14+--x x ，求出最值，并说明相应的x 的取值范围．
(3)求75+-x x 的最值．
练
（2012武昌七校七上期中）
①当x 在何范围时，21---x x 有最大值，并求出最大值.
②当x 在何范围时，4321---+---x x x x 有最大值，并求出它的最大值．
③代数式100994321---++---+---x x x x x x 最大值是 ．
模块四 定值问题
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定值即指代数式的值恒为某一个数．
例如．用“零点分段法”化简可得??
?
??≤-<<-≥=---)1(1)21(32)2(121x x x x x x .可见当x ≥2时21---x x 的
值恒为1．即定值为1；当x ≤l 时21---x x 的值恒为－1，即定值为－1．
再如，令s ＝21+++x x ，化简可得s ＝21+++x x ＝??
?
??-<---≤≤-->+)2(32)12(1)1(32x x x x x ，可见对于
－2≤x ≤－l 范围内的任意x 值，s 的值恒为常数1，我们就说当－2≤x ≤－1时s 为定值．
综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x 无关．因此，定值问题 的核心任务是，找到x 的某个取值范围，使得代数式中的x 正好可以相互抵消．
例5
(1)如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝31-++x x 为定值，则此定值为 ，相 应的x 的范围是 ．
（2）如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝25+--x x 为定值，则此定值为 ． (3)如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝922-5++x x 为定值，则此定值为 ， 相应的x 的范围是 .
练
如果对于某一给范围内的x 值，m ＝733-2++x x 为定值，则此定值为 ，相 应的x 的范围是 .
总结归纳
定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义——转化为距离来求解，但它并不是此类题型 的本质解法，仅在x 的系数都为l 时此法较为便捷．
产生定值的根本原因是x 相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法” 的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配x 的系数使它为0，从而迅速找到相应的x 的范围， 并求出定值.
当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案．如果是需要写过程的大题，无论 是求最值还是定值，都只能用“零点分段法，，分类讨论求解．
例6
(1) 若431542+-+-+x x x 的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为少？（2）（2014武昌七校中）如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，
s ＝x x x 523222-+-+-的值恒为一常数，刚此常数值为（ ）. A .0 B .2 C ．4 D .6
(3) 已知对于某一特定范围内a 的任意允许值，a a a 42576---+的值恒为一常教．
则此常数值为( )．
A . 12
B .2
C ．－12
D ．12或－12
(4)如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝2016321-++-+-+-x x x x 的 值恒为一常数，则相应的x 的取值范围是 .
练 若a a a 3433--+-的值是一个定值，求a 的取值范围.
拓
（2012外校七上期中）已知x 为正数，且对于x 在某一范围内任意取值，代数式
282726252423222-+-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x x 的值恒为定值，试求出x 的取值范围及这个定值．
第2讲 绝对值几何意义突破（课后作业）
1.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴对应的点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-， 那么点A 、B 、C 在数轴上的位置关系是( )
A ．点A 在点
B 、
C 之间 B .点B 在点A 、C 之间 C ．点C 在点A 、B 之间
D .以上三种情况均有可能 2． 已知0＜ p ＜
20，当p ≤x ≤20时，2020--+-+-p x x p x 的最小值是( )．
A . 40
B ．0
C . 20
D ．一个与p 有关的代数式
3. 如果对于某一特定范围内的任意允许值，p ＝x x x x x 8171615141-+-+-+-+- 的值恒为一常数，则此值为( )．
A .－1
B ．0
C ．1
D ．1或－1
4. 如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝x x x 3723++--为定值，则此定值为 ． 相应的x 的范围是 ．
5．根据绝对值的几何意义可知：033-=，它在数轴上的意义是表示3的点与原点之间 的距离；又如式子38-，它的几何意义是表示8的点与表示3的点之间的距离，那么： （1）5+x 在数轴上的意义是 ； （2）41-+-x x 的最小值为 ；
（3）654321-+-+-+-+-+-x x x x x x 的最小值为 .
6. 如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，S ＝100321-++-+-+-x x x x 的
值恒为一常数，则此常为 ，相应的x 的取值范围是 . 7. 已知a 为整数，且满足532=-++a a ，则a 的值为 . 8. （1）当x 满足 时，3-x 取得最小值为 ； （2）当x 满足 时，x --24取得最大值为 ； （3）当x 满足 时，x x -+-51取得最小值为 ；
（4）当x 满足 时，987-+-+-x x x 取得最小值为 ； （5）当x 满足 时，54---x x 取得最大值为 ； （6）当x 满足 时，54+-+x x 取得最小值为 .
9. 已知a ＜b ＜c ＜d ．求d x c x b x a x y -+-+-+-=的最小值，并求出此时x 的取值范围．
10.求x x --+42的最值．
11.当32-+-x x 的值最小时，求112--+++x x x 的最值.
12．如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使 这5台机床到供应站P 的距离总和最小，点P 应建在哪？最小值为多少？
绝对值几何意义和绝对值方程 Ⅰ重点突破 重点针对复习 【重点知识点1】绝对值的几何意义 [针对训练1] （南雅-15）1.阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示； 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2； 在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5； 在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；…… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． （1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于； （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝；若|x+2|+|x﹣4|═10，则x＝； ②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于．
2.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是． （4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．
不等式2级 含参不等式 不等式3级 不等式的应用 不等式4级 方程与不等式综合应用 春季班 第七讲 春季班 第五讲 怎么就不一样？ 漫画释义 满分晋级阶梯 8 方程与不等式 综合应用
编写思路： 对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。 本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主. 对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题. 【引例】 已知3242 231x y k x y k +=+??+=+? ，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围. 【解析】 ⑴ 解方程组3242231x y k x y k +=+??+=+?得 425 15x k y k ? =+ ????=-- ?? ， ∵ 12k <<，∴ 224k <<，∴ 444224555k +<+<+，即1424 55 x <<， 同理可得116 55 y -<<-. 例题精讲 思路导航 知识互联网 题型一：方程解的取值范围
⑵ 4162224555x y k k k ? ?-=+---=+ ?? ?, 可得66641442555k ?+ <+？ ⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y k x y +=??-=? 得到的、x y 的值 ① 都小于1；② 都不小于1 2． 整体法： ⑶已知32432370x y a x y a x y +=+?? +=+??->? ，则a 的取值范围是 . ⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y a x y a +=+??+=-? 的解满足0x y +>，那么a 的取值范围 是 . ⑸ 若方程组31 33x y k x y +=+??+=? 的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围. 3.与绝对值非负性综合： ⑹ 已知()2 2230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 . ⑺ 如果12 x y =??=?是关于x 、y 的方程()2 1280ax by ax by +-+-+=的解， 求不等式组1314 > 33 x x a b ax x +? -???-<+?的解集. 【解析】 ⑴ 解方程组得3 5x m y m =-??=-? ，∵x y >，∴35m m ->-，∴4m >. ⑵ 解方程组得2 2x k y k =+??=-? ， ① 2121 x k y k =+
绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
数学测试卷（目标中考满分班） 一、选择题（每题3分，共30分，将答案填在下面的空格处） 1. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A ．3251x y x +=??=? B ．26 7x y x y -=?? +=? C ．1019x x y =??-=? D ．153x xy =??=? 2. 下列说法正确的是（ ） A. 2(1)-的平方根是1- B. 1-的平方根是1- C. 2-是8-的立方根 D. 16的平方根是4 3. 下列运算正确的是（ ） A. 3 21a a -= B. 842x x x -= C. 2- D. ()3 26328x y x y -=- 4. 已知21x y = ??=?是二元一次方程组8 1mx ny nx my +=??-=? 的解，则2m n -的算术平方根为（ ） A ．2± B C ．2 D ．4 5. 一个样本有20个数据： 3531333537393538403936343537363234353634，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 其中众数为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 6. 为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测 验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且、、、． 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ） A ．甲、乙 B ．甲、丙 C ．甲、丁 D ．乙、丙 7. 等于（ ） A. 3.14π- B. 3.14π- C. 3.14π+ D. (3.14)π-+ 8. 若关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=??-=? 的解也是二元一次方程236x y +=的解，则 1002=甲 s 1102=乙s 1202=丙s 902 =丁s
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|