对数的运算性质
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a
a a M
M N N
=；
（3）log log ()n
a a M n M n R =∈．
证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p
M a =，q
N a =， ∴p
q
p q
MN a a a
+=?=，
∴log ()a MN =p q +，
即证得log log log a a a MN M N =+．
练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的，
)(log )(log 10210102
10-=-是不成立的；
（4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ?≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。 2．例题分析：
例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy
z ； （2
）log a
解：（1）log a xy
z
log ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；
例2．求下列各式的值： （1）(
)75
2log 42
?； （2
）．
解：（1）原式=7
5
22log 4log 2+=227log 45log 2725119+=?+?=； （2）原式=2
1
22lg10lg105
55
=
= （2
）log a
log (log a a x =-
2log log log a a a x =+
11
2log log log 23
a a a x y z =+-．
（性质3）
设log a M p =，
由对数的定义可得 p
M a =， ∴n np
M a =，
∴log n
a M np =，
即证得log log n
a a M n M =．
例3．计算：（1）lg14-21g
18lg 7lg 37-+； （2）
9lg 243lg ； （3）2
.1lg 10
lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=?--+-? lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；
解法二：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)3
7(714lg
2??lg10==；
说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）2
53lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===；
（3）2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133
2
2
2
3
(lg32lg 21)
lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg
10
+-+-==?+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形：
22121.44 1.2(3210)-==??，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解：2
2
12
lg1.44lg1.2lg(3210)-==??2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+?-=． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例5．已知log log a a x c b =+，求x ．
分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式。 解：（法一）由对数定义可知：b
c a a
x +=log log a c b b a a c a =?=?．
（法二）由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log ，由对数定义知：b a c
x
=，∴ b x c a =?． （法三）
log b a b a =，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =?，∴ b x c a =?．
说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。 例6．（1）已知32a
=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b
=，用a 、b 表示 30log 3． 解：（1）∵32a
=，∴3log 2a =， ∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 3
2
log 33
-=-=a ． （2）∵35b =， ∴3log 5b =，
又∵3log 2a =，∴30log 3=
()31log 2352??()33311
log 2log 3log 5(1)22
a b =++=++． 换底公式
1．换底公式：log log log m a m N
N a
=
( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)
证明：设log a N x =，则x
a N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =，
从而得：a N x m m log log =
， ∴ a
N
N m m a log log log =．
说明：两个较为常用的推论：
（1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n
a a n
b b m
=
（a 、0b >且均不为1）
． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b
a a
b a b b a ；（2） lg lg log log lg lg m n n
a m
a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 3
5-； （2
）492log 3log 2log ?+．
解：（1）原式 =
0.25
1log 3log 3
55
5
151553
=
=
=； （2） 原式 = 2
3
45412log 452log 213log 21232=+=+?．
例2．已知18log 9a =，185b
=，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12
18
log 1818
， ∴18log 21a =-， 又∵185b
=， ∴18log 5b =， ∴a
b
a -+=++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．
例3．设1643>===t z
y x ，求证：
y
x z 2111=-． 证明：∵1643>===t z
y x ，∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===
，，， ∴
y
t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．
解：∵8log 3p =， ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p ，
又∵ q ==
3lg 5lg 5log 3，∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ， ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq
pq
3135lg +=． 例5．计算：4
2
1
938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．
解：原式2325
4
312
223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 4
5)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++
= 2
5
4545452log 233log 6532=+=+?=
． 例6．若 2log log 8log 4log 4843=??m ，求m ． 解：由题意可得：
218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =??m ， ∴3lg 2
1
lg =m ，∴3=m ． 对数函数
例1．求下列函数的定义域：
（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2
x y a -=．
分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
解：（1）由2
x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}
0x x ≠；
（2）由04>-x 得4 4x x <； （3）由9-02 >-x 得-33< 33x x -<<． 说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。 例2．求函数251-?? ? ??=x y 和函数2211 2+? ? ? ??=+x y )0( 解：（1）125x y ?? =+ ??? ∴115 ()log (2)f x x -=+ (-2)x >； （2） 21 1-22x y +??= ? ?? ∴-1()f x =5 (2)2x <<． 例4．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是2log 3.4<2log 8.5； （2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是0.3log 1.8>0.3log 2.7； （3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是log 5.1a 当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是log 5.1a >log 5.9a ． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.9 1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． （3）∵0.9 01.1 1.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=， 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=， ∴0.9 1.1 >0.7log 0.8> 1.1log 0.9． （4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴ 4411log log m n <，当1m >，1n >时，得4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得 4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<． 综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例7．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）2 2log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2 3t x =-，则03t <≤， ∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2 2 47(2)33t x x x =-+=-+≥， 当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例8．判断函数22()log (1)f x x x =+-的奇偶性。 解：∵21x x +>恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 22()log (1)f x x x -=++ 2 21log 1x x =-++22 222 1log (1)x x x x +-=-+-22log 1()x x f x =-+-=-，所以，()f x 为奇函数。 例9．求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解：令2 2 3132()2 4u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增，在3 (,]2 -∞上递减， 又∵2 320x x -+>， ∴2x >或1x <， 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13 2log y u =为减函数， 所以，函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。 说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调 区间。 例10．若函数2 2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。 解：令2 ()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数， ∴2 ()u g x x ax a ==--在区间(,13)-∞-上递减，且满足0u >，∴132(13)0a g ?≥-???-≥? ，解得2232a -≤≤， 所以，a 的取值范围为[223,2]-． 对数函数 1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次 为( )． （A ） （B ） （C ） （D ） 2.函数y=log x －1(3－x)的定义域是 如果对数)56(log 2 7+++x x x 有意义，求x 的取值范围； 解：要使原函数有意义，则 26507071x x x x ?++>? +>??+≠? 解之得： -7 (-1，+∞) 函数]4 5)2(lg[2 +++=x k x y 的定义域为一切实数，求k 的取值范围。 5252k --<<- 利用图像判断方程根的个数 3．已知关于x 的的方程a x =3log ，讨论a 的值来确定方程根的个数。 解：因为?? ?<<->==) 10(log ) 1(log log 333x x x x x y 在同一直角坐标 系中作出函数与a y =的图象，如图可知：①当0 ②当0=a 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个； ③当0>a 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。 4．若关于x 的方程4)lg()lg(2 =?ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围． 解：由原方程可化为 4)lg 2)(lg lg (lg =++x a x a ，变形整理有 04lg lg lg 3lg 222=-+?+a x a x （*） 1>x ，0lg >∴x ，由于方程（*）的根为正根，则 ?????? ??? >->-≥--=?0)4(lg 2 10 lg 2 3 0)4(lg 8lg 92 22a a a a 解之得2lg - 5．求函数)32(log 22 1--=x x y 的单调区间． ．解：设u y 2 1log =，322--=x x u ，由0>u 得0322 >--x x ，知定义域为 ),3()1,(+∞?--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当),3(+∞∈x 时，u 是增函数，而u y 2 1log =在+R 上是减函数 ) 33(2 1 2log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞ 题目2】求函数1 2 log y x x = 2 15 （-3+） 22的单调区间。 正解】由 0x x >215 -3+22得x ＜1或x ＞5，即函数12 log y x x =215（-3+）22的定义域为{x| x ＜1或x ＞5}， 当x ＜1时，t x x = 215 -3+22是减函数，12log y t =是减函数，所以12log y x x =215（-3+）22是增函数； 当x ＞5时，t x x = 215 -3+22是增函数，12 log y t =是减函数，所以12log y x x =215（-3+）22是减函数； 所以1 2 log y x x =2 1 5 （-3+） 22的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。 6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围． 分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题． 解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ． 已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2 +(a +1)x +1］. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围. 解：(1)(a 2－1)x 2 +(a +1)x +1＞0对x ∈R 恒成立. a 2－1=0时，a =±1，经检验a =－1时恒成立； a 2－1≠0时， a ＜－1或a ＞ ， ∴a ≤－1或a ＞ . (2)a 2 －1=0，即a =1时满足值域为R ； a 2－1≠0时， 1＜a ≤ . ∴1≤a ≤ . 72 log y x x = +2 （a +a 1） 的定义域为R ，求a 的取值范围。 【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R ； ②当a ≠0时，由题意得：2 00440a a a a >?? ?< ； 由①②得a 的取值范围为[0，4）。 【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式x c x +2 a +b >0不一定是一元二次不等式。 8.函数y =log 2 1［(1－x )(x +3)］的递减区间是( ) A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞) 【解析】设t ＝(1－x )(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2 ＋4由(1－x )(x ＋3)＞0得－3＜x ＜1当x ∈(－3，－1)时， t ＝(1－x )(x ＋3)递增∴y ＝log 2 1［(1－x )(x ＋3)］的递减区间是(－3，－1) 9.已知函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A.0＜a ＜1 B.a ＞1 C.1＜a ＜2 D.1＜a ≤2 【解析】若0＜a ＜1，则函数在定义域上是增函数；若a ＞1，则当0≤x ≤1时，2－ax ＞0恒成立即x ＜a 2，因此a 2＞1∴1＜a ＜2 10.求函数y=log a (2-a x -a 2x )的值域。 【解】由于2-a x -a 2x >0，得-2 <1。∴t=2-a x -a 2x =(a x + 21)2+4 9 ∈（0，2）。 又当a>1时，y=log a t 递增，∴y 故当a>1时，所求的值域为（-∞，log a 2）；当0 2x ·log 24 x (x ∈［1,8］)的最大值和最小值. 【解】 令t =log 2x ,x ∈［1,8］,则0≤log 2x ≤log 28即t ∈［0,3］ ∴y =(log 2x －1)(log 2x －2)=(t －1)(t －2)=t 2 －3t +2=(t － 23)2－4 1 t ∈［0,3］ ∴当t =23,即log 2x =23,x =223 =22时，y 有最小值=－4 1 . 当t =0或t =3，即log 2x =0或log 2x =3,也即x =1或x =8时，y 有最大值=2. 12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。 【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义， 则???>< ???>>->.1,30,0lg ,03, 0y x y x x 即又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=103x(3-x) (0 +9x ≤4 27。∴1 。 ∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，104 27）。 13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___． 或 ； 14已知函数 ．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； ② 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值． ①在 上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ． 15、已知函数y=log a (1－a x )(a ＞0且a ≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x 对称。 (1)当a ＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a ＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。 (2)由y=log a (1－a x )，得1－a x =a y ，即a x =1－a y ，∴x=log a (1－a y )，∴f －1(x)=log a (1－a x )=f(x)。 ∵f(x)与f －1的图象关于直线y=x 对称，函数y=loga(1－a x )的图象关于直线y=x 对称。 16、.设? ?? ???∈91,271x ，求函数)3(log 27log )(33x x x f ??? ??=的最大值。 、12 17、已知函数 )(log )1(log 11 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=。 (1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log 2(p+1)－2)； 当1＜p=≤时，f(x)的值域为(－∞，1+log2(p+1))。 18、已知 3log 7)(log 22 122 1≤++x x ， 求函数 ) 4 (log )2(log 2 12x x y ?=的最大值和最小值 、 41 ,2- 19：已知[] y ax x a =-log ()201在，上是的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[) 2，+∞ 答案：B 。 解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有a a >≠01，，故u ax =-2在[0，1]上定为减函 数，依题设必有a >1，故应排除A 和C ，在B 、D 中要作选择，可取a =3，则已知函数为y x =-log ()323，但是此函数的定义域为-∞?? ?? ?，23，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D ，从而决定选B 。 20．函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值． 解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对 称，则它为偶函数，即 ， 21 已知f (x )= ［3－(x －1)2 ］，求f (x )的值域及单调区间. 分析：分清内层与外层函数. 解：令u (x )=－(x －1)2 +3≤3，则f (x )≥ 3=－1，∴f (x )值域为［－1，+∞). f (x )的定义域u (x )＞0，即－(x －1)2+3＞0，x ∈(1－ ，1+ ).u (x )在(1－ ，1］上递增，在(1，1+ )上递 减. ∵0＜ ＜1，∴f (x )在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增. 22已知y =log 0.5(x 2 －ax －a )在区间(－∞，－ )上是增函数，求实数a 的取值范围. 解：函数y =log0.5(x 2 －ax －a )由y =log 0.5t 与t =x 2 －ax －a 复合而成，其中y =log 0.5t 为减函数，又y =log 0.5(x 2 －ax －a ) 在(－∞，－ )上是增函数，故t =x 2 －ax －a 在区间(－∞，－ )上是减函数.从而 a ∈［－1， ］. 23.已知函数f (x )=log a (ax 2 －x )， 是否存在实数a ，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a 可取哪些值;如果不存在，说明理由. 解：设g (x )=ax 2－x .当a ＞1时，为使函数y =f (x )=log a (ax 2 －x )在x ∈［2，4］上为增函数，只需g (x ) =ax 2 －x 在［2，4］上为增函数，故应满足 得a ＞ .∴a ＞1. 当0＜a ＜1时，为使函数y =f (x )=log a (ax 2－x )在x ∈［2，4］上为增函数，只需g (x )=ax 2 －x 在x ∈［2，4］上为减函数， 故 无解.∴a 不存在.∴当a ＞1时，f (x )=log a (ax 2 －x ) 在x ∈［2，4］上为增函数. 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一． 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 （一） 图象的平移变换 例1． 画出函数)2(log 2+=x y 与)2(log 2-=x y 的图像，并指出 两个图像之间的关系？ 解：函数x y 2log =的图象如果向右平移2个单位就得到)2(log 2-=x y 的图像；如果向左平移2个单位就得到 )2(log 2+=x y 的图像，所以把)2(log 2+=x y 的图象向右平移4个单位得到)2(log 2-=x y 的图象 注：图象的平移变换：1.水平平移：函数)(b x f y ±=，)0(>a 的图像，可由)(x f y =的图像向左（+）或向右()-平移a 个单位而得到. 2.竖直平移：函数b x f y ±=)(，)0(>b 的图像，可由)(x f y =的图像向上（+）或向下()-平移b 个单位而得到. （二）图像的对称变换 例2．画出函数2 2log x y =的图像，并根据图像指出它的单调区间. 解：当0≠x 时，函数2 2log x y =满足)(log )(log )(2 22 2x f x x x f ==-=-，所以2 2log x y =是偶函数，它的图象关于y 轴对称。当0>x 时，x x y 22 2log 2log ==。因此先 画出 x y 2log 2=，（0>x ）的图象为1c ，再作出1c 关于y 轴对称 2c ，1c 与2c 构成函 数2 2log x y =的图像，如图： 由图象可以知道函数2 2log x y =的单调减区间是()0,∞-，单 调增区间是),0(+∞ 例3．画出函数x y 3log =与x y 3 1log =的图像，并指出两个图 像之间的关系？ 解：图象如图：把函数x y 3log =的图象作关于x 轴对称得到x y 3 1log =的图像 注：图象的对称变换：①)(x f y -=与)(x f y =关于y 轴对 称 ②)(x f y -=与)(x f y =关于x 轴对称 ③)(x f y --=与)(x f y =关于原点轴对称 ④)(1 x f y -=与)(x f y =关于直线x y =轴对称 ⑤)(x f y =的图像可将 )(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶函数的图像关于y 轴对称，作出0 二． 利用对数函数的图象解决有关问题 （一） 利用图像求参数的值 例4．已知函数)(log b x y a +=的图像如图所示，求函数a 与b 的值. 解：由图象可知，函数的图象过)0,3(-点与)3,0(点，所以得方程)3(log 0b a +-=与 b a log 3=，解出2=a ，4=b 。 （二）利用图像比较实数的大小 例5．已知2log 2log n m >，1,>n m ，试确定实数m 和n 的大小关系. 解：在同一直角坐标系中作出函数x y m log =与x y n log =的图象，再作2=x 的直 线，可得n m <。 注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在1>x 的部分底越大图象就越接近x 轴）②底都小于1时，底大图高（即在10< 例6．解关于x 的不等式1)6(log 2+<+x x 解：在同一直角坐标系中作出函数)6(log 2+=x y 与1+=x y 的图的解集为{} 2>x x 象，如图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式（四）利用图像判断方程根的个数 例7．已知关于x 的的方程a x =3log ，讨论a 的值来确定方程根的个数。 解：因为? ??<<->==)10(log ) 1(log log 333x x x x x y 在同一 直角坐标系中作出 函数与a y =的图象，如图可知：①当0 根的个数为0个； ②当0=a 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个； ③当0>a 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。 能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来 研究复杂函数的性质。运 用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 对数函数练习题(有答案) 1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( ) A ．????12，＋∞ B ．????23，＋∞ C ．????23，1∪(1，＋∞) D ．??? ?12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－ x }，且 x ∈A ，则有( ) A ．1＞x 2＞x B ．x 2＞x ＞1 C ．x 2＞1＞x D ．x ＞1＞x 2 3．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( ) A ．1＜a ＜b B ．1 ＜b ＜a C ．0 ＜a ＜b ＜1 D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45 ＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45 或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是 A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( ) 7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 8．若函数f (x )＝log 12 ()x 3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________． 10．不等式????1310－3x ＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x －x 的图象．(2)函数 f (x )＝????12|x －1| ，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为 ． 13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________． 14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a 2－3) x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 对数函数精选练习题（带答案） 1．函数y ＝ log 23 (2x －1)的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.????12，1 D.??? ?1 2，1 答案 D 解析 要使函数解析式有意义，须有log 23 (2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以1 2 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. 指数函数和对数函数基础练习题 姓名:_______ 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果______，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定： __________= __________ 正数的负分数指数幂的意义，规定 __________= __________ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）__________= __________ （2）__________= __________ (3)__________= __________ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数____________________ 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为__________ 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是______或________； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当 R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二.练习题 1．64的6次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4 a 4＝a C.22＝2 D ．a 0＝1 3.(a － b )2 ＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 4．若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 5．根式a －a 化成分数指数幂是________． 6.( )() () [ ] 2 13 43 1 01 .0-16 2---064075 .0--308 7-+++? =________ 7．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) A ．a m a n ＝a mn B ．(a m )n ＝a m ＋n C ．a m b n ＝(ab )m ＋n D ．(b a )m ＝a －m b m 8．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 9．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．11 D ．a ∈R 10．设13<(13)b <(1 3)a <1，则( ) A ．a a （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 函数 31．（本小题满分14分） 已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设() ()g x f x x = ． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 32．（2010年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数m,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有 0()()0()() ③2x +1f(x)=x ,xlnx+1g(x)=lnx ; ④2 2x f(x)=x+1 ,-x g(x)=2x-1-e )（. 其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (2010年高考天津卷理科 16)设函数2()1f x x =-，对任 意 3[,)2x ∈+∞,2()4()(1)4()x f m f x f x f m m -≤-+ 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 34．（2010 年高考江苏卷试题11）已知函数21,0()1, 0x x f x x ?+≥=? 的x 的范围是__▲___。 35．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 剪成两块，其中一块是梯形，记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ,则S 的最小值是____▲____。 36已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2 '()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .对数函数典型例题
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