新定义问题

专 题 突 破 (十)

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[新定义问题]

新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．

新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不仅来源于课本且高于课本，结构独特．

1．[2016·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，

点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．

图Z 10－1

(1)已知点A 的坐标为(1，0)，

①若点B 的坐标为(3，1)，求点A ，B 的“相关矩形”的面积；

②点C 在直线x ＝3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式； (2)⊙O 的半径为2，点M 的坐标为(m ，3)．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．

2．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的

点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图Z 10－2为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定CP ′＝0.

(1)当⊙O 的半径为1时．

①分别判断点M(2，1)，N(3

2，0)，T(1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求

其坐标；

②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．

(2)当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1，直线y ＝－

3

3

x ＋2 3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B.若线段．．AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．

Z 10－2

3．[2014·北京] 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z 10－3中的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数y ＝1

x (x>0)和y ＝x ＋1(－4

其边界值；

(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤x ≤b ，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；

(3)将函数y ＝x 2

(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位长度，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足3

4

≤t ≤1?

Z 10－3

4．[2013·北京] 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB ＝60°，则称P 为⊙C 的关联点．

已知点D(12，1

2

)，E(0，－2)，F(2 3，0)．

(1)当⊙O 的半径为1时，

①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是________；

②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO ＝30°，若直线l 上的点P(m ，n)是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；

(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．

图Z 10－4

1．[2016·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P ′为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足r ≤PP ′≤2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的限距点，图Z 10－5为点P 及其关于⊙C 的限距点P ′的示意图．

(1)当⊙O 的半径为1时，

①分别判断点M(3，4)，N ? ??

??52，0，T(1，2)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；

②点D 的坐标为(2，0)，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上．若点P 关于⊙O 的限距点P ′存在，求点P ′的横坐标的取值范围；

(2)保持(1)中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1，0)，半径为r.

若点P 关于⊙C 的限距点P ′不存在，则r 的取值范围为________．

图Z 10－5

2．[2016·东城一模] 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线．

(1)当⊙O 的半径为1时，

①分别判断在点D ? ??

??12，14，E(0，－3)，F(4，0)中，是⊙O 的相邻点有________； ②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图中作出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；

③点P 在直线y ＝－x ＋3上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； (2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y ＝－

3

3

x ＋23与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．

图Z 10－6

3．[2016·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是图形W 上的任意两点．若||x 1－x 2的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度l x ＝m ；若||y 1－y 2的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度l y ＝n.如图Z 10－7①，图形W 在x 轴上的投影长度l x ＝|3－1|＝2；在y 轴上的投影长度l y ＝|4－0|＝4.

图Z 10－7

(1)已知点A(3，3)，B(4，1)．如图②所示，若图形W 为△OAB ，则l x ＝________，l y

＝________；

(2)已知点C(4，0)，点D 在直线y ＝－2x ＋6上，若图形W 为△OCD.当l x ＝l y 时，求点D 的坐标；

(3)若图形W 为函数y ＝x 2

(a ≤x ≤b)的图象，其中0≤a

4．[2016·海淀二模] 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为

p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零．例如，图Z 10－8中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.

图Z 10－8

(1)分别判断函数y ＝x －1，y ＝1x ，y ＝x 2

有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；

(2)函数y ＝2x 2

－bx ，

①若其不变长度为零，求b 的值；

②若1≤b ≤3，求其不变长度q 的取值范围；

(3)记函数y ＝x 2

－2x(x ≥m)的图象为G 1，将G 1沿x ＝m 翻折后得到的函数图象记为G 2.函数G 的图象由G 1和G 2两部分组成，若其不变长度q 满足0≤q ≤3，则m 的取值范围为______________．

专题突破(十) 新定义问题

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1．解：(1)①S ＝2×1＝2.

②C 的坐标可以为(3，2)或者(3，－2)，设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ， 将A ，C 的坐标分别代入AC 的表达式得到

?????0＝k ＋b ，2＝3k ＋b ，或?????0＝k ＋b ，－2＝3k ＋b ， 解得?

????k ＝1，b ＝－1，或?????k ＝－1，

b ＝1. 所以直线AC 的表达式为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.

(2)若⊙O 上存在点N ，使M ，N 的“相关矩形”为正方形，则直线MN 与x 轴的夹角为45°(正方形一条对角线所在直线)，即过M 点作与x 轴的夹角为45°的直线，与⊙O 有交点，即存在N.

当k ＝－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图中l 1与l 2，直线l 1与⊙O 切于点N 1，ON 1＝2，∠ON 1M 1＝90°，

∴l 1与y 轴交于P 1(0，－2)． 又∵M 1(m 1，3)，

∴3－(－2)＝0－m 1， ∴m 1＝－5，M 1(－5，3)． 同理可得M 2(－1，3)．

当k ＝1时，极限位置是直线l 3，l 4(与⊙O 相切)，可得M 3(1，3)，M 4(5，3)． 因此m 的取值范围为－5≤m ≤－1或1≤m ≤5.

2．解：(1)①点M(2，1)关于⊙O 的反称点不存在． 点N(32，0)关于⊙O 的反称点存在，反称点N ′(1

2

，0)．

点T(1，3)关于⊙O 的反称点存在，反称点T ′(0，0)．

②如图①，直线y ＝－x ＋2与x 轴，y 轴分别交于点E(2，0)，点F(0，2)．

设点P 的横坐标为x.

(i)当点P 在线段EF 上，即0≤x ≤2时，0＜OP ≤2， ∴在射线OP 上一定存在一点P ′，使得OP ＋OP ′＝2，

∴点P 关于⊙O 的反称点存在，其中点P 与点E 或点F 重合时，OP ＝2，点P 关于⊙O 的反称点为O ，不符合题意，∴0＜x ＜2.

(ii)当点P 不在线段EF 上，即x ＜0或x ＞2时，OP ＞2， ∴对于射线OP 上任意一点P ′，总有OP ＋OP ′＞2， ∴点P 关于⊙O 的反称点不存在．

综上所述，点P 的横坐标x 的取值范围是0＜x ＜2.

(2)若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，则1＜CP ≤2.

依题意可知点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，2 3)，∠BAO ＝30°. 设圆心C 的坐标为(x ，0)．

①当x ＜6时，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，如图②，

∴0＜CH ≤CP ≤2，∴0＜CA ≤4， ∴0＜6－x ≤4，∴2≤x ＜6，

并且，当2≤x ＜6时，CB ＞2，CH ≤2， ∴在线段AB 上一定存在点P ，使得CP ＝2，

∴此时点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴2≤x ＜6. ②当x ≥6时，如图③.

∴0≤CA ≤CP ≤2，

∴0≤x －6≤2，∴6≤x ≤8.

并且，当6≤x ≤8时，CB ＞2，CA ≤2，

∴在线段AB 上一定存在一点P ，使得CP ＝2，

∴x ＝8时，点P 关于⊙C 的反称点为C ，且点C 在⊙C 的内部，∴6≤x ≤8. 综上所述，圆心C 的横坐标x 的取值范围是2≤x ≤8. 3．解：(1)y ＝1

x (x ＞0)不是有界函数．

y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)对于y ＝－x ＋1，y 随x 的增大而减小，

当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，a ＝－1， 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1.

?

????－2≤－b ＋1＜2，b ＞a ， ∴－1＜b ≤3.

(3)由题意，函数图象平移后的表达式为

y ＝x 2

－m(－1≤x ≤m ，m ≥0)．

当x ＝－1时，y ＝1－m ；当x ＝0时，y ＝－m ；

当x ＝m 时，y ＝m 2

－m. 根据二次函数的对称性，

当0≤m ≤1时，1－m ≥m 2

－m.

当m ＞1时，1－m ＜m 2

－m. ①当0≤m ≤1

2时，1－m ≥m.

由题意，边界值t ＝1－m. 当34≤t ≤1时，0≤m ≤14， ∴0≤m ≤14

.

②当1

2＜m ≤1时，1－m ＜m.

由题意，边界值t ＝m. 当34≤t ≤1时，3

4≤m ≤1， ∴3

4

≤m ≤1. ③当m ＞1时，由题意，边界值t ≥m ， ∴不存在满足3

4

≤t ≤1的m 值．

综上所述，当0≤m ≤14或34≤m ≤1时，满足3

4

≤t ≤1.

4．解：(1)①D ，E

如图①所示，过点E 作⊙O 的切线， 设切点为R.

∵⊙O 的半径为1， ∴RO ＝1. ∵EO ＝2，

∴∠OER ＝30°，

根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E 点是⊙O 的关联点．

∵D(12，1

2)，E(0，－2)，F(2 3，0)，

∴OF ＞EO ，DO ＜EO ，

∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点与点F 的连线的夹角等于60°， 故在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是D ，E. ②由题意可知，若P 刚好是⊙C 的关联点，

则⊙C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角为60°， 由图②可知∠APB ＝60°，则∠CPB ＝30°. 连接BC ，则PC ＝

BC

sin ∠CPB

＝2BC ＝2r ，

∴若点P 为⊙C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d ≤2r.

由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，则点P 到原点的距离OP ＝2×1＝2， 如图③，过点O 作直线l 的垂线OH ，垂足为H ，∵∠GFO ＝30°， ∴∠OGF ＝60°，OG ＝2， 可得点P 1与点G 重合．

过点P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ， 可得∠P 2OM ＝30°，

∴OM ＝OP 2cos 30°＝3，

从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，

∴0≤m ≤ 3.

(2)若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF 的中点．

考虑临界情况，如图④，

即恰好点E ，F 为⊙K 的关联点时，则KF ＝2KN ＝1

2

EF ＝2，

此时，r ＝1，

故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r 的取值范围为r ≥1.

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1．解：(1)①点M ，点T 关于⊙O 的限距点不存在；

点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为(1，0)．

②∵点D 的坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ， ∴切点坐标为? ????1

2，32，? ????12

，－32.

如图所示，不妨设点E 的坐标为? ????12，32，点F 的坐标为? ????1

2，－32，EO ，FO 的延长线

分别交⊙O 于点E ′，F ′，则E ′? ????－12，－32，F ′? ??

??－1

2，32.

设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x.

Ⅰ.当点P 在线段EF 上时，直线PO 与的交点P ′满足1≤PP ′≤2，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足－1≤x ≤－1

2

.

Ⅱ.当点P 在线段DE ，DF(不包括端点)上时，直线PO 与⊙O 的交点P ′满足0

Ⅲ.当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点P ′(1，0)满足PP ′＝1，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x ＝1.

综上所述，点P 关于⊙O 的限距点P ′的横坐标的范围为－1≤x ≤－1

2或x ＝1.

(2)0

6

2．解：(1)①D ，E

②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点．(答案不唯一)

③∵⊙O 的半径为1，所以点P 到点O 的距离小于或等于3，且不等于1时，符合题意． ∵点P 在直线y ＝－x ＋3上， ∴0≤x P ≤3. (2)0≤x C ≤9.

3．解：(1)4，3

(2)设点D(x ，－2x ＋6)．

①当x ≤0时，l x ＝4－x ，l y ＝－2x ＋6. ∵l x ＝l y ，∴4－x ＝－2x ＋6，

∴x ＝2>0(舍去)．

②当0

③当x ≥4时，l x ＝x ，l y ＝2x －6. ∵l x ＝l y ，∴x ＝2x －6， ∴x ＝6.∴D(6，－6)．

综上满足条件的D 点的坐标为(1，4)或(6，－6)．

(3)0≤a<1

2

.

4．解：(1)函数y ＝x －1没有不变值；

函数y ＝1

x 有－1和1两个不变值，其不变长度为2；

函数y ＝x 2

有0和1两个不变值，其不变长度为1；

(2)①∵函数y ＝2x 2

－bx 的不变长度为零，

∴方程2x 2

－bx ＝x 有两个相等的实数根． ∴b ＝－1.

②解方程2x 2

－bx ＝x ，得x 1＝0，x 2＝b ＋12

.

∵1≤b ≤3，∴1≤x 2≤2.

∴函数y ＝2x 2

－bx 的不变长度q 的取值范围为1≤q ≤2. (3)m 的取值范围为1≤m ≤3或m<－

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