第二十一章 二次根式
1. 一般地,我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式,“”称为二次根号。即)0(≥a a 是一个非负数。
2. 一般地,()()02≥=a a a ;)0(2≥=a a a ;)0(2<-=a a a 。
3. 一般地,对二次根式的乘法规定:)0,0(≥≥=?b a ab b a ;对二次根式的除法规定:)0,0(>≥=b a b a b
a 。 4. 分母有理化:33333
131
=??=;()
()()2323232
31231+=+-+?=-
5. 最简二次根式:1、被开方数不含分母;2、被开放数中不含能开得尽方的因数或因式。
6. 二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并(合并时,将二次根号下具有相同因数或因式的作为同类项)。
第二十二章 一元二次方程
1. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式()002≠=++a c bx ax 。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。
2. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
3. 配方法:09102=++x x 解:移项,得=+x x 102
方程左边配方,得__________9________522+-=+??+x x ,
左边写成平方形式,得()______________2
=+x 。 降次,得______________±=+x 。
∴=1x ,=2x 。
4. 公式法:一般地,式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax (0≠a )根的判别式,通常用希腊字母?表示它,即ac b 42-=?。
根据ac b 42-=?可以判断放在的值的三种情况:
①当042
>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根: a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---= ②当042=-ac b 时,方程有两个相等是实数根:a
b x x 221-
==; ③当042<-ac b 时,方程没有实数根。 ★当Δ≥0时,方程()002
≠=++a c bx ax 的实数根可写成a ac b b x 242-±-=的形式。 5. 因式分解(降次)法:用因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。
★配方法、公式法适用于所有一元一次方程,因式分解法用于某些一元二次方程。
6. 根和系数的关系(韦达定理):a b x x -=+21,a
c x x =21。 7. 实际问题与一元二次方程:①传染问题;②增长率问题;③面积问题;④利润问题;⑤球赛问题。
第二十三章 旋转
1. 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度,就叫做图形的旋转。点
O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。新图形的点P'与原图形的点P 为对应点。
对应点到旋转中心的距离相等:'OB OB =,'OA OA =
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角:即'BOB ∠或'AOA ∠
旋转前、后的图形全等:即''OA B BOA ??? 2. 若把一个图形绕着某一个点旋转180o,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
中心对称的两个图形是全等图形。
若把一个图形绕着某一点旋转180o,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
3. 平面直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P (x ,y )关于原点的对称点为P '(x -,y -)。
第二十四章 圆
1. 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,是最长的弦。
B'A'B
A O
2. 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。以A、B为端点的弧记作⌒AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧,一般用三个点表示如⌒
ABC;小于半圆的弧叫劣弧,一般用两个点表示如⌒AB。
3. 能够重合的两个圆叫做等圆。那么,半径相等的两个圆是等圆,反之,同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧。
4. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
5. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。又有:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
6. 顶点在圆心的角叫做圆心角;顶点在圆上、两边是圆的弦的角叫做圆周角。(或顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。)在同圆或等圆中,等弧所对的圆周角是圆心角的一半;或者是圆心角是圆周角的两倍。
7. ①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;
②在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等;
③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。
简言之,同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
8. 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90o的圆周角所对的弦是直径。
9. 由圆周角定理,在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。
10. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。
11. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
12. 点、直线、圆和圆的位置关系
①点和圆的位置关系
点P在圆外r
d<
?。
?;点P在圆内r
d>
?;点P在圆上r
d=
②直线和圆的位置关系
当直线l和圆有两个公共点,我们说这条直线l和圆相交,这条直线l叫做圆的割线,这两个点叫做交点:直线l与⊙O相交r
?;
d<
当直线l和圆有一个公共点,我们说这条直线l和圆相切,这条直线l叫做圆的切线,这个点叫做切点:直线l与⊙O相切r
?;
d=
当直线l和圆没有公共点,我们说这条直线l和圆相离:直线l与⊙O相离r
?。
d>
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
③圆和圆的位置关系
圆心距:两圆圆心的距离,为d 。
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离(两种情况:外离和内含)(特殊的内含是两圆同心):圆与圆外离21r r d +>?,圆与圆内含21r r d ->?;
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交:圆与圆相交2121r r d r r +<<-?;
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切(两种情况:外切和内切):圆与圆外切21r r d +=?,圆与圆内切21r r d -=?。
13. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。
14. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等。
15. 正多边形和圆
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
16. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
17. 正多边形平分外接圆,内角总和为()??-1802n 。
18. 弧长和扇形面积
在半径为R 的圆中,因360o的圆心角所对的弧长就是圆周长R C π2=,所以n o的圆心角所对的弧长为?
=180R n l π。 19. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。同圆或等圆中,圆心角越大,扇形面积也就越大。
20. 在半径为R 的圆中,因360o的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=,所以圆心角
为n o的扇形面积为lR R n S 2
13602=?=π扇形。 21. 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线。如左图。
22. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得扇形。设圆锥的母线长为l ,底面圆的
半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为r π2,因此圆锥的侧面积为rl π,圆
锥的全面积为()r l r +π。
第二十五章 概率初步
1. 在一定条件下,有些事情必然会发生,称为必然事件;有些事情必然不会发生,叫做不可能事件。必然事件和不可能事件统称确定性事件。
2. 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
3. 概率是指对于一个随机事件A ,其发生可能性大小的数值,记为P (A )。
4. 一般地,如果在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A 包含其中的m 种结果,那么事件A 发生的概率()n
m A P =。 5. 一般,()10≤≤A P 。特别地:当A 为必然事件时,()1=A P ;当A 为不可能事件时,()0=A P 。
6. 事件发生的可能性越大,它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,它的概率越接近0。
7. 列举法有列表法(当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果)、树形图(当一次试验要涉及3个或更多的因素时,列方形表不便,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图)。
8. 一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发生的频率
n
m 会稳定在某个常数p 附近,那么事件A 发生的概率()p A P =。
第二十六章 二次函数
1. 定义:一般地,如果c bx ax y ++=2(a ,b ,c 是常数,0≠a ),那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。
2. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2
(顶点式);⑤c bx ax y ++=2(一般式)。
3. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 ②平行于y 轴(或重合)的直线记作直线h x =。特别地,y 轴记作直线0=x 。 4. 二次函数2ax y =的性质: ①抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴; ②函数2ax y =的图像与a 的符号关系: (1)当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点,y 有最小值;