《二次根式》培优习题训练
【知识要点】
1.二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中
叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.
2. ()()
a aa
20
=≥.
3. 公式a a
a a
a a
2
==
≥
-<
?
?
?
||
()
()
与()()
a aa
20
=≥的区别与联系.
(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.
(2)()a2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.
(3)a2和()a2的运算结果都是非负的.
4、性质:(1)非负性:a a()
≥0是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.
(2).()()
a aa
20
=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,
反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完
全平方的形式:a a a
=≥
()()
20
(3)a a
a a
a a
2
==
≥
-<
?
?
?
||
()
()
注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,
应把负号留在根号外.
5、(1)最简二次根式:①被开方数是整数,因式是整式;
②被开方数中不含能开得尽方的数或因式; 分母中不含根号.
(2)同类二次根式(可合并根式):
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,
这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。
6、(1)分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
(2)有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们
的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有
理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:利用a
=来确定,如:,
b
a-与b
a-等分别互为有理化因式。
②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a+与a,
(3)分母有理化的方法与步骤:
①先将分子、分母化成最简二次根式;
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式
7、二次根式的运算:
(1)二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,
等于这两个因式积的算术平方根。反过来就是积的算术平方根的性质。
(2)二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等
于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。
注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从
等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最
后把运算结果化成最简二次根式.
(3)二次根式的加减法法则:需要先把二次根式化简,然后把
被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开
方数不变。
注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通
常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次
根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.
8、混合运算:(1)确定运算顺序;(2)灵活运用运算定律;
(3)正确使用乘法公式;(4)大多数分母有理化要及时;
(5)在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;
9、比较大小:
(1)根式变形法:当0,0
a b
>>时,①如果a b
>>
②如果a b
<。(2)平方法:当0,0
a b
>>时,①
如果22
a b
>,则a b
>;②如果22
a b
<,则a b
<。(3)分母有
理化法:通过分母有理化,利用分子的大小来比较。(4)分子有
理化法:通过分子有理化,利用分母的大小来比较。(5)倒数法
(6)媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递
性进行比较。(7)作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如
下性质:①0a b a b ->?>;②0a b a b -<(8)求商比较
法它运用如下性质:当a>0,
b>0时,则:①1a
a b
b
>?>; ②1
a
a b
b
<
【典例解析】
一、概念
1
1x
、
x>0)
1x y
+
x ≥0,y ≥0)
.
2y>0)化为最简二次根式结果是( ).
A
y>0) B y>0) C
y>0) D .以上都不对
3
.(x ≥0)
4.
_________. 5
是同类二次根式的是(
).
A .①和②
B .②和③
C .①和④
D .③和④
6.
、-是同类二次根式的有
7.
n 是同类二次根式,求m 、n 的值.
8.+的有理化因式是________; x -的有理化因式是_________.
的有理化因式是_______
. 2.把下列各式的分母有理化 (1
;
(2
; (3 (4.
二、二次根式有意义的条件:
1.(1)当x 在实数范围内有意义?
(2)当x 是多少时,
1
1
x +在实数范围内有意义?
(3)当x 2
在实数范围内有意义?
(4)当__________
2. x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数 3.已知,求x
y
的值.
6.要是下列式子有意义求字母的取值范围
(1(2)
(3) (4)
三、二次根式的非负数性
1,求a 2004+b 2004的值.
2.2440y y -+=,求xy 的值。
四、?????-==a a a a 2
的应用
1.先化简再求值:当9=a 时,求的值,甲乙两人
a <0
的解答如下:甲的解答为:原式
=a+(1-a)=1;乙的
解答为:原式
(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.
2. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│
3.化简
).
A
B
C.
D.
五、求值问题:
1.当
7
15-,求x2-xy+y2的值
2.已知
b=3-
a2b-ab2=_________.
3.已知
-1,求a3+2a2-a的值
4.先化简,再求值.
(
-(
,其中x=
3
2
,y=27.
六、大小的比较
1.
比较
与的大小。(用两种方法解答)
2.
3.
的大小。
七、其他
1
=)
A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1
2.
=,且x为偶数,求(1+x
.3 C.4 D.1
3.如果, 则x的取值范围是。
4.设a=2
3-,b=3
2-,c=2
5-,则a、b、c的大小关系
是。
5.若n
243是一个整数,则整数n的最小值是。
6.已知1
11-的整数部分为a,小数部分为b,试求()()1
11+
+b
a的
值
八、计算
·((m>0,n>0)
2.-(a>0)
3.
22
- 4.
2
x
=-
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式:形如...a (其中a ______ )的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ;⑵被开方数中不含______ ;⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式: 二次根式化成______________ 后,若 ___________ 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: (1)G.-/a )= ____ (其中a ___ )( 2)a2 = _______ (其中a ___ ) 5. 二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号;如果被开方数是代数和的形式,则先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面。 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数。 JOb= _________ (其中a^_ b ______ );J a= ______________ (其中a—一b ____ ). \ b (4)分母有理化:把分母中的根号化去,就叫分母有理化,方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式,两个根式相乘后不再含有根式,这样的两个根式就叫互为有理化因式,如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ,b 的有理化因式就是需- Ub . (5)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. (6)二次根式的加减乘除运算,最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简: 二次根号里又含有二次根式,称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是: 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b,贝U a 2、 b = (x y) 2、_ xy = C、x)2(、._ y)22 xy = (、x .. y)2
八年级数学培优练习题及答案大全 1.如图所示,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=?14,?AC=19,则MN的长为. A. B.2.C.D.3.2.如图,在周长为20cm的□ABCD 中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图,在平行四边形 ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠EAF=45,且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图,已知正方形纸片ABCD,M,N分别是AD,BC 的中点,把BC向上翻折,使点C恰好落在MN上的F点处,BQ为折痕,则∠FBQ= A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部,且DE=EF=FG=GH=HB=2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从顶点A出发,沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路线的长是. 7、已知一组数据10,10,x,8的众数与它的平均数相等,则这组数的中位数是. 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动 路程和时间,已知甲的速度比乙快,下列说法:①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系;②甲的速度比乙快1.5米/秒;③甲让乙先跑12米;④秒钟后,甲超过了乙,其中正确的说法是。
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念:一般地,形如 a 的式子叫做二次根式. 注意:这里被开方数 a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义:,二次根式无意义:. 3、二次根式的性质: ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则: a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘. 要点诠释: ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中 a 、 b 都必须是非负数;( 在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式,则应化简,如16 4 . 5、除法法则:a b a( a≥0,b>0).即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意, a 0, b 0,因为b在分 母上,故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念:①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式.要点诠释: ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; ( 2 )根号下不含分母,分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型: ① m a 与;② a b 与;③ a b 与;④ m a n b 与. 7 、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 22 8、互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2,同时它
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ; . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有: 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于: (1) 具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ,那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x , y 的值. 【例2】 若实数a ,b , c 满足222 9a b c ++= ,则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:运用乘法公式 ,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算